Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Сформулировать определение функции, непрерывной на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Функцию f(x) называют непрерывной на [a,b], если она непрерывна на (a,b) и непрерывна справа в точке x=a и непрерывна слева в точке x=b.
Первая теорема Вейерштрасса.
Если f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке. 
.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Если f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (наибольшего) значения.
Первая теорема Больцано-Коши.
Функция 
, тогда 
Доказательство: [a,b] разделим пополам и получим отрезки [a,a+b/2] и [a+b/2,b]. Из них выберем тот, на концах которого ф-ция принимает значения, разные по знаку и обозначим [a1,b1], f(a1)*f(b1)<0. С этим отрезком поступим так же. [a1,a1+b1/2] и [a1+b1/2,b1]. Выберем отрезок с разными по знаку концами. Когда-нибудь получим отрезок 
. 
. При 
, 
. Получим систему вложенных отрезков 
. Если при делении отрезка пополам значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорему можно считать доказанной. Система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет одну общую точку => существует точка С. Докажем, что f(с)=0. Предположим, что 
. Для определенности f(c)>0. Т.к. ф-ция непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна в точке С. Раз f(c)>0, то 
; 
- притиворечие, что и треб. доказ.
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Часть первая.
Вторая теорема Больцано-Коши.
Пусть 
непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения B и A, (
, тогда для любого числа С: 
.
Доказательство. Рассмотрим F(x)=f(x)-C.
1) F(x) непрерывна на отрезке, как разность двух непрерывных функций.
2) F(a)*F(b)<0
По первой теореме Б-К 
.
