Оценка сложных систем в условиях определенности

Оценка сложных систем в условиях определенности

Теория систем основным объектом исследования, как правило, имеет сложные системы. Напомним, что под сложными понимаются системы, которые можно расчленить на конечное количество подсистем. Подсистемы в свою очередь могут быть разбиты на еще более мелкие подсистемы и т.д. до элементарных составляющих. Таким образом, любая сложная система имеет древовидную, иерархическую структуру. Все элементы сложных систем находятся во взаимодействии друг с другом (внутренняя среда) и с элементами и факторами внешней среды.

Результатом жизнедеятельности системы может быть совершенно определенный (детерминированный) исход. Так, например, изменения количества сотрудников детерминировано отразится на величине налогов, начисляемых на выплачиваемую заработную плату; увеличение НДС коррелирует с серыми схемами расчетов; продолжительный период морозов вызывает увеличение потребления энергоресурсов; наступление летнего сезона увеличивает спрос на вентиляторы и кондиционеры и т.п. Зависимости такого рода связаны с функциями системы или ее элементов, поэтому ее логично называют функциональной.

Определенность имеет место в большинстве математических задач, а также во многих моделях линейного и нелинейного программирования. Это могут быть модели поиска вариантов распределения ресурсов, дающих, наибольшую отдачу по определенному показателю (такому, как прибыль или стоимость), или наименьшему значению некоторого другого критерии (такого, как затраты) в условиях заданных ограничений.

Взаимодействия между объектами внутренней или внешней среды сложной системы, вызывающие определенные (детерминированные)  последствия могут быть исследованы следующими методами системного анализа:

• методы математического программирования (например, метод теории поля, рассматривающий зависимость функций элементов от параметров сложной системы);
• методы структурного анализа сложных систем, позволяющие выделить в сложных системах подсистемы с их функциональными и количественными зависимостями;
• методы качественной теории сложных систем - исследование устойчивости систем.

Рассмотрим более подробно данные методы.

Многочисленная группа методов математического программирования исследователями обычно разбивается на несколько подгрупп-классов. Например, по характеру области допустимых значений и виду целевой функции эти методы можно разделить на следующие классы задач:

• линейного программирования – целевая функция и функция-ограничения имеют прямую зависимость, линейны;
• нелинейного программирования – зависимость целевой функции и функции-ограничения не имеют прямой, линейной зависимости.

По способу решения:

• аналитические;
• графические;
• численные.

Рекомендуемые материалы

По другим критериям – на статические и динамические (по фактору времени), дискретные и непрерывные (по характеру процесса), одномерные и многомерные (по типу и количеству переменных) и т.д.

   Задачи математическое программирование достаточно хорошо изучены и используется достаточно широко не только для информационно-аналитических систем, например, для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа, но и для практических задач управления хозяйственно-экономических  систем.

   Приведем пример задачи производства и поставок, предлагаемой в качестве классического примера математического программирования в условиях определенности Г.И.Корниловым в «Основах теории систем и системного анализа»:

Пример.Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как  штраф за это можно считать бесконечно большим.

Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции C_x=10 копеек в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет  C_p =400 руб.

Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год — слишком велики затраты на хранение!  Где же “золотая середина”, сколько партий в год лучше всего выпускать?

Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год —  p = N / n  24000 / n.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Получается, что интервал времени между партиями составляет 

t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе  —  n/2 штук.

Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз?

Сосчитать нетрудно — 0.1 · 12 · n / 2  руб.  на складские расходы в год и 400p  руб. за запуск  партий по n штук изделий в каждой.

В общем виде годовые затраты составляют

E =  Tn / 2 + N / n                                                

где T = 12 —  полное время наблюдения в месяцах.

Перед нами типичная вариационная задача:  найти такое n₀, при котором сумма   E достигает минимума.

Решение этой задачи найти совсем просто — надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает

n₀ =    ,                                                                   

что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий  величиной  в 2 месяца. 

Затраты при этом минимальны и определяются как 

E₀ =  ,                                                  

что для нашего примера составляет 4800 руб. в год.

   С помощью алгоритмов линейного программирования решаются задачи управления запасами, распределения ресурсов. Кстати, первые задачи такого характера были исследованы еще задолго до появление собственно кибернетики и компьютерных технологий – в 1915 году. Это была задача минимизации затрат на заказ и хранение запасов при заданном спросе на продукцию и заданным уровнем цен. Основателем теоретического и практического исследования задач линейного программирования были положены Д.Данцингом и Л.В.Канторовичем. В 60-х годах XX века способы построения математических моделей сложных систем и методы их исследования выделились в самостоятельную научную дисциплину – теорию сложных систем.

Рекомендация для Вас - Казанское ханство.

В самом общем виде задача линейного программирования может быть представлена в следующем виде: требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции)

E(X) = C1X1 + C2X2 + ......+ CiXi + ... CnXn                     

при следующих условиях: все  Xi  положительны и, кроме того, на все Xi  налагаются m ограничений  (m < n)

На практике только немногие ситуации могут оставаться определенными в достаточно длительном интервале времени. Поэтому, чаще всего мы встречаемся с ситуациями, имеющими два и более вероятностных исхода, т.е. с факторами неопределенности.