Узловой метод получения математических моделей систем
Узловой метод получения математических моделей систем
Узловой метод является популярным при создании программных комплексов анализа динамических систем. В качестве вектора базисных координат в этом методе используется вектор переменных типа узловых потенциалов, в качестве топологических уравнений - уравнения типа первого закона Кирхгофа.
(7),
где 
- вектор переменных, величин типа потенциала, характеризующих состояние узла (скорости, давления, температуры); I - вектор переменных величин типа потока (токи, силы, расходы, тепловые потоки).
Топологические уравнения типа (7) могут быть получены с помощью матрицы инциденций А:
(8)
Из уравнений обобщенного метода получения топологических уравнений уравнение (8) может быть выведено следующим образом. В эквивалентную схему объекта вводятся фиктивные ветви, связывающие все узлы схемы с базовым (базовым может быть любой узел эквивалентной схемы; как правило, это узел, к которому подключено наибольшее количество ветвей). Проводимости этих ветвей равны нулю, т. е. переменная типа I в этих ветвях равна нулю. В дерево включается только эти фиктивные ветви.
Рис. 5. Матрица инциденций графа.
Рекомендуемые материалы
Для графа, изображенного на рис. 5, без учета ветвей, отмеченных пунктиром, построим матицу инциденций А (таблица 7).
Таблица 7.
|
| а | б | в | г | д | е | ж | з | и |
| 1 | -1 | +1 | |||||||
| 2 | -1 | +1 | +1 | ||||||
| 3 | -1 | +1 | +1 | ||||||
| 4 | -1 | -1 | +1 | ||||||
| 5 | -1 | +1 | +1 | ||||||
| 6 | -1 | -1 |
Для этого же графа с учетом того, что ветви, отмеченные пунктирными линиями, являются его деревом, построим М-матрицу (таблица 8).
Таблица 8.
| к | л | м | о | н | п | |
| а | +1 | |||||
| б | -1 | +1 | ||||
| в | -1 | +1 | ||||
| г | -1 | +1 | ||||
| д | -1 | +1 | ||||
| е | -1 | +1 | ||||
| ж | -1 | -1 | ||||
| з | -1 | +1 | ||||
| и | -1 |
Фиктивные ветви в эквивалентной схеме имеют направление от небазового узла к базовому.
Сравним полученную М-матрицу с матрицей инциденций А. Если каждой фиктивной ветви поставить в соответствие узел, из которого она выходит, то 
.
Преобразуем общие топологические уравнения:
(1)
(2)
Так как ветви дерева фиктивные, то 
и из уравнения (2) получим 
, где I - вектор переменных типа потока реальных ветвей.
Из уравнения (1) получим уравнение связи переменных типа потенциала 
с переменными типа разности потенциалов U на реальных ветвях. Так как 
, то 
или 
.
Рис. 6. Граф.
В узловом методе в вектор неизвестных включается вектор 
или 
, компонентные уравнения алгебраизуются так же, как и в табличном методе, но накладывается ограничение на вид компонентного уравнения: оно обязательно должно быть представлено в виде зависимости переменной типа потока от переменной типа потенциала, т.е. 
, либо от времени.
Тогда алгебраизованная и линеаризованная система уравнений приобретает вид
(9)
где 
- матрица частных производных компонентных уравнений по переменным типа разности потенциалов; К - вектор невязок компонентных уравнений.
Исключим из вектора неизвестных подвекторы 
и 
. Из первого уравнения системы (9) имеем 
. Подставим это значение в третье уравнение системы, а полученный результат - во второе: 
, или
(10)
где 
- матрица Якоби (матрица узловых проводимостей), алгоритм экономического вычисления которой будет рассмотрен ниже; 
- вектор сумм переменных типа потока в узлах схемы.
Уравнение (10) и есть линеаризованная MMС для узлового метода.
Рассмотрим, что представляет собой матрица 
.
Для графа, показанного на рис. 6, построим матрицу инциденций (таблица 9), приняв за базовый узел 5.
Таблица 9
|
| а | б | в | г | д | е |
| 1 | -1 | -1 | +1 | |||
| 2 | +1 | -1 | ||||
| 3 | +1 | -1 | -1 | |||
| 4 | +1 | -1 |
Матрица Y31 при оговоренной структуре компонентных уравнений будет диагональной с размерностью, равной количеству ветвей. Для удобства обозначим 
именем ветви, тогда:
Покажем, что элементы матрицы Y есть не что иное, как узловые проводимости 
. Узловой поток
Поток в ветви считается положительным, если направлен от узла:
Предполагая, что 
, 
, 
, получим 
, т. е. элемент y11 и матрицы Y.
Аналогично можно определить остальные элементы матрицы. Рассмотрим экономичную процедуру формирования матрицы Якоби: поочередно выбирается каждая ветвь эквивалентной схемы. Пусть очередная k-я ветвь включена между узлами с номерами i и j. Тогда проводимость этой ветви 
даст слагаемое в элементы матрицы 
и 
со знаком плюс, а в элементы 
и 
- со знаком минус.
Отличительная черта узлового метода - простое формирование ММС, имеющих в своем составе многополюсные элементы. Допустим, есть элемент, включенный между тремя узлами с номерами i, j, k. Тогда этот элемент даст слагаемые в элементы матрицы Якоби:
Примечание. В матрице Якоби многополюсник представлен только своими внешними узлами, в то время как может иметь и внутренние.
При применении узлового метода в эквивалентной схеме допускаются и зависимые ветви, но аргументами функциональных зависимостей должны быть только элементы вектора . Допустим, переменная типа потока в k-й ветви, включенной между узлами с номерами i и j, зависит от переменных величин типа потенциала в l-м m-м узлах:
.
Тогда эта зависимость приведет к появлению следующих элементов матрицы:
Достоинство узлового метода - простота формирования матрицы Якоби и низкий порядок получаемой системы уравнений, поскольку именно для этого метода характерно предварительное исключение большого числа неизвестных из обобщенного базиса.
Недостаток узлового метода - ограничения, накладываемые на тип используемых элементов: в узловом методе, запрещены идеальные источники переменной типа разности потенциалов, а также ветви, зависимые от переменных типа потока. Эти недостатки в узловом методе можно устранить введением специальных ветвей, которые не должны искажать физических процессов в объекте. Последовательно с идеальным источником типа разности потенциалов включается ветвь типа R, благодаря чему этот источник можно свести к источнику типа потока (рис. 8).
Рис. 8. Преобразование источника типа Е в источник типа I.
Последовательно с ветвями, потоки через которые являются управляющими, включается ветвь, у которой связь между переменными типа потока и типа разности потенциалов - линейная, т. е. ветвь типа R. Тогда зависимость от переменной типа потока через ветвь может быть заменена зависимостью от разности потенциалов на этой вспомогательной ветви.
Вместе с этой лекцией читают "ДЕКАРТ Рене".
Объясним сказанное. Пусть есть зависимый источник потока с компонентным уравнением 
, где 
- поток через управляющую ветвь, последовательно с ней включается ветвь типа R с компонентным уравнением 
тогда компонентное уравнение зависимого источника можно записать в виде 
.
Преобразования эквивалентной схемы, выполняемые для снятия ограничений в узловом методе, не всегда удобны для пользователя, более формально подобные ограничения снимаются в модифицированном узловом методе. Он получается, если базис узлового метода расширить переменными типа потока управляющих ветвей и источников типа разности потенциалов. Поскольку увеличивается количество неизвестных, соответственно должно увеличиться количество уравнений. Уравнения узлового метода дополняются компонентными уравнениями управляющих ветвей и источников типа разности потенциалов. Аддитивный вклад модели в левую и правую части системы уравнений 
:
Здесь 
и 
- потенциалы узлов 1 и 2, к которым подключен источник; IЕ - ток, протекающий через источник (значения IЕ определяются по результатам предыдущих итераций); 
- приращения соответствующих переменных.
Достоинство модифицированного узлового метода - получение ММС сравнительно невысокого порядка при практически любых зависимых ветвях, недостаток - дискретизация компонентных уравнений реактивных ветвей методами интегрирования, в результате чего смена метода интегрирования может привести к необходимости смены всех подпрограмм элементов, содержащих реактивные элементы, т. е. библиотека методов интегрирования САПР в этом случае жестко связана с библиотекой моделей элементов.
