Оптимальное размещение

6. Оптимальное размещение

6.1. Оптимальное размещение при фиксированном объеме выборки

Цель – найти значения ,...,,...,, которые минимизируют дисперсию оценки суммы:

при условии, что

Это задача нахождения условного экстремума.

Функция Лагранжа имеет вид:

Рекомендуемые материалы

Приравниваем нулю частные производные по :

Получаем

в силу условия, что  имеем

Следовательно

что дает

Замечание.

Проверить, что это действительно минимум можно  рассчитав вторые частные производные по .

Вывод.

Следует больше представлять в выборке те слои, в которых среднее квадратическое отклонение признака больше.

Проблема.

Дисперсии признака в слоях должны быть известными.

Пример 5.

В условиях примера 4 определим оптимальное размещение выборки по слоям и спрогнозируем соответствующую точность оценки среднего. Имеем

Так как

вычисляем

Применяем формулу оптимального размещения с :

Включаем слой 5 целиком в выборку и повторяем расчеты с :

Включаем слой 4 также целиком в выборку и повторяем расчеты с :

В случае оптимального размещения общая формула дисперсии оценки среднего имеет вид:

Проведя вычисления, получаем

Эффект плана соответственно составляет:

6.2. Оптимальное размещение при фиксированных общих затратах

Предположим, что затраты на обследование можно записать в следующем виде:

,

где  - затраты на наблюдение единицы в h-ом слое.

Две «противоположные» задачи:

1. Определить значения , минимизирующие дисперсию  при заданной величине общих затрат (C).

2. Определить значения , минимизирующие затраты (C) при заданном уровне точности .

Теорема 3.

Значения , минимизирующие дисперсию  при заданных общих затратах (C), определяются по формуле

 ,

при этом минимальная дисперсия равна

Доказательство.

Лагранжиан равен:

 ,

и  определяется из условия:

Теорема 4.

Значения , минимизирующие полные затраты (C) при заданной точности , определяются по формуле

 ,

Минимальные затраты равны

Доказательство.

Лагранжиан

,

и  определяется из условия .

При оптимальных значениях :

Интерпретация

В обоих случаях:

Поэтому в выборке наиболее представлены те слои, в которых:

· дисперсия признака больше;

· затраты на обследование самые низкие.

Замечания.

· Значения  должны быть целочисленными.

· Если при определении размещения в некоторых слоях полученные  , то

* принимаем  для этих слоев,

* пересчитываем значения  для других слоев, соответствующие оптимальному распределению:

* выполняем итерации, пока имеются слои, для которых  n_h > N _h.

· Можно задать дополнительные условия:

6.3 Практическое использование

Рассмотрим оптимальное размещение Неймана

Ясно, что дисперсии  должны быть заранее известны.

Возможно несколько решений:

· использовать оценки дисперсий , полученные из предшествующего обследования;

· экспертные оценки или тестовое исследование;

· использование вспомогательной переменной (x) сильно коррелированной с переменной (y), значения которой известны для всех единиц совокупности:

· Если верна гипотеза о равенстве коэффициентов вариации в слоях, то так как

, тогда     

· Степенное размещение:     

Замечание.

Степенное размещение обеспечивает приблизительно одинаковые по точности результаты в слоях. Показатель степени () обычно выбирается равным 1, 1/2, или 1/3.

6.4 Эффективная стратификация для нескольких переменных

Оптимальное размещение для переменной (y) может дать для других переменных существенно меньшую точность, чем та, которая может быть получена при простой случайной выборке.

Рекомендация:

Ещё посмотрите лекцию "7 Память. Микросхемы SDRAM" по этой теме.

§ Можно использовать пропорциональное распределение, что часто оказывается хорошим компромиссом.

§ Другим решением является взвешивание основных переменных на основе их дисперсии:

с дальнейшей минимизацией дисперсии (V) при фиксированных затратах (C) или же наоборот:

Задача состоит в правильном выборе значений .