Отображение отношения функции

ОТОБРАЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ФУНКЦИИ

Понятие отображения и функции выражают зависимостью одних переменных величин от других, при этом слово величина может иметь различную смысловую нагрузку. Это может быть элемент любого множества, число, вектор и т.д.

Отображение – множества x во множество y определяется тем, что каждому элементу ставится в соответствие

 - графическое изображение отобра­же­ния, f – обозначение отображения. Закон, который выража­ет­ся или в виде формулы или в виде алгоритма, т.е. последова­тельность действий, которые надо предпринять, чтобы полу­чить зависимость элементов множества y от элементов x. Например: всякая нумерация счетного множества является его отображением на множество натуральных чисел N.

Так как отображение может быть истолковано как соот­ве­тствие, то для того, чтобы показать, что данный элемент x поставлен в соответствие элементу y, пишут  и говорят, что y есть образ элемента x при данном отображении f.

Пусть x` - подмножество множества x

           y` - подмножество множества y

тогда

Рекомендуемые материалы

Совокупность элементов множества x, образом которых является y, называется прообразом и обозначается

Рассмотрим частные случаи отображения одного множества в другое.

1. Если каждый элемент множества Y имеет прообраз, являя­ющийся элементом множества X,то в этом случае отобра­жение f называется сюръективным.

2. Отображение f называется инъективным, если для каждо­го элемента существует не более одного прообраза, т.е. при любых , если .

Если отображение f сюръективно и инъективно, то оно на­зывается биеткивным или взаимооднозначным.

Рассмотрим на примере три функции, отображающие мно­жество F действительных чисел само на себя:

1)  - инъективна, но не сюръективна т.к. , однако не каждый y имеет прообраз x т.к. y>0

2)  - сюръективна, но не инъектина, т.к. y существует при любом x, однако для образа y существует несколько прообразов, т.к. существует несколько корней кубического уравнения

3)  - биективна, т.к. x однозначно выражается через x и x однозначно выражается  через y.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Введение.

Два множества называются эквивалентными, если между ними можно установить биективное отображение.

ТОГДА:

Подмножество   называется функцией .

Таким образом функцию можно представить в виде графика, причем множество А – область определения функции, а множество В – область значения функции.

Рассмотрим, например, взаимно однозначное отображе­ние множества R на R1, где R1 есть множество всех положи­тельных чисел . Обратным ему будет отображение . Для таких отображений справедливо следующее тождество: