Конформные отображения
Конформные отображения
Опр. Отображение обладающие свойствами консерватизма углов и постоянства растяжений называется конформным.
Теорема. Если 
аналитическая функция в области G 
в G, то задает конформное отображение области G.
Док-во:
; 
;
; 
;
Рекомендуемые материалы
- постоянство растяжений.
- консерватизм углов.
Доказано.
1. Линейная функция.
1) 
- параллельный перенос.
2) 
При линейном преобразовании прямые переходят в прямые, окружность переходит в окружность.
2. Дробно-линейная функция.
, т.е. дробно-линейное преобразование сводится к линейному и функции 
.
Опр. Обобщенная окружность:
, т.е. это окружность или прямая.
Теорема. Дробно-линейная функция отображает обобщенную окружность в обобщенную окружность.
Док-во:
- обобщенная окружность.
Опр. Точки B и С - сопряженные относительно окружности Г, если любая окружность 
, проходящая через эти точки, ортогональна Г.
Лемма. Если точки В и С явл. Сопряженными относительно окр-ти с центром О, А-точка пересечения Г и ., то 
.
Утв. Если 
дробно – линейное отображение, то переводит точки, сопряженные относительно окружности, в точки, сопряженные относительно ее образа.
; 
, т.е. сопряженными являются точки 0 и 
.
Примеры решения задач:
Задача 1.
Отобразить полуокружность в единичный круг.
Решение:
и 
сопряженные относительно Ох, т.е. действительная ось отображается в окружность.
; 
- искомое отображение.
Задача 2.
Отобразить отрезок в единичный круг.
Решение:
- отобразить отрезок в 
;
;
;
;
Задача 3.
Отобразить полосу в единичный круг.
Решение:
;
;
;
;
;
;
Функция Жуковского
; 
;
;
,
Ещё посмотрите лекцию "87 Криволинейные интегралы" по этой теме.
1) 
- эллипс 
2) 
- функция, обратная функции Жуковского.
Теорема Римана
Если G – односвязная область, граница которой состоит более чем из одной точки, то существует аналитическая функция, задающая конформное отображение G на единичный круг.
