Операционное исчисление

Операционное исчисление

Опр. Функция  называется оригиналом, если:

         1)  определена при ,  и являются кусочно-непрерывными на любом конечном интервале,

         2) при

         3).

Утв. Если -многочлен степени n,  то .

Док-во:

, по правилу Лопиталя  ;.

Опр.  называется изображением, соответствующим оригиналу f(t), если F(p) – интеграл Лапласа:

Рекомендуемые материалы

;  .

Теорема. Если f(t) оригинал, то - изображение ,

       1) сходится в полуплоскости ,

       2) является в полуплоскости  аналитической функцией от p.

Док-во:

1)

   

    ,  таким образом F(p) сходится.

2) Аналитичность следует из теоремы, доказанной в предыдущей лекции.

След. Если F(p) – изображение некоторого оригинала, то

Зам. Если , то F(p) сходится равномерно.

Свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность

2. Однородность.

 .

Док-во для 2:

  

Теорема о дифференцировании оригинала.

Если f(t) – оригинал, -оригинал, F(p)-изображение f(t), ,

то .

Док-во:

.

Следствие. Если -оригиналы, то .

Док-во:

далее по индукции.

Теорема о дифференцировании изображения.

Если , то .

Теорема об интегрировании оригинала.

Если , то .

Док-во:

1)  Докажем, что -оригинал.
         а) кусочная гладкость – по свойству интеграла.

         б) , t>0 –очевидно.

         в)

2) .

   .

Теорема об интегрировании изображения

Если f(t) – оригинал, – оригинал, то .

Док-во:

.

,   

.

Обратите внимание на лекцию "7. Математическое описание основных структур".

Теорема о запаздывание

Если -оригинал, ,  то .

Док-во:

.

Теорема смещения

Если , то .