Поверхностные интегралы

Лекция 7. Поверхностные интегралы.

Задача о массе поверхности.

Задача о массе поверхности приводит нас к поверхностному интегралу 1 рода, точно так же, как задача о массе кривой привела нас к криволинейному интегралу первого рода.

Пусть в каждой точке кусочно-гладкой поверхности s задана поверхностная плотность f(x, y, z).

1. Введем разбиение s на элементарные области  Ds_i – элементы разбиения так, чтобы они не имели общих внутренних точек ( условие А).

2. Отметим точки M_i на элементах разбиения Ds_i. Вычисляем f (M_i) = f (x_i, y_i, z_i) и считаем плотность постоянной и равной f (M_i)  на всем элементе разбиения Ds_i..Приближенно вычислим массу ячейки разбиения  как f (M_i) Ds_i . Приближенно вычислим массу поверхности s, просуммировав массы ячеек (составим интегральную сумму) . В интегральной сумме  - это площадь поверхности элементарной ячейки. Здесь, как и ранее, традиционно употребляется одно и то же обозначение для самой элементарной ячейки и для ее площади.

3. Измельчаем разбиение и переходим к пределу в интегральной сумме при условии  (условие B). Получаем поверхностный интеграл первого рода, который равен массе поверхности (если только f(M_i)>0 на поверхности).

= .

Рекомендуемые материалы

Теорема существования. Пусть функция  непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной поверхности . Тогда поверхностный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.

= .

Замечание. Интеграл (как предел интегральных сумм) не зависит:

1) от выбора разбиения поверхности (лишь бы выполнялось условие А),

2) от выбора отмеченных точек на элементах разбиения,

3) от способа измельчения разбиения (лишь бы выполнялось условие В).

Свойства поверхностного интеграла первого рода.

(они аналогичны по формулировке и доказательству свойствам рассмотренных ранее интегралов первого рода).

1) Линейность.

2) Аддитивность

3)  - площадь поверхности.

4) Если , то  (если , то ),

5) Теорема об оценке. Если , то ,

6) Теорема о среднем. Пусть функция  непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной поверхности . Тогда на поверхности найдется точка С, такая что 

Доказательство. Первые четыре свойства доказываются аналогично подобным свойствам в двойном, тройном интегралах, криволинейном интеграле первого рода (записью соотношений в интегральных суммах и предельным переходом). Во втором свойстве используется возможность такого разбиения поверхности на две части, чтобы ни один элемент разбиения не содержал граничные точки этих частей в качестве своих внутренних точек.

Теорема об оценке следует из свойств 3, 4.

Теорема о среднем, как и ранее, использует теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

Раньше во второй лекции  мы вычисляли площадь поверхности с помощью двойного интеграла, то есть сводили интеграл  к двойному интегралу. Теперь нам надо свести интеграл к двойному интегралу. Повторяя вновь те же выкладки с той лишь разницей, что под интегралом стоит функция , получим аналогичную формулу для поверхности, заданной соотношением

=.

Если поверхность задана уравнением , точно так же получим формулу

= . Здесь надо учитывать, что точка (x, y, z) лежит на поверхности .

Пример. Найти массу поверхности однородной полусферы , z>0 с постоянной поверхностной плотностью W.

. .

Обозначим D - круг – проекцию полусферы на плоскость OXY.

=

=.

Поверхностный интеграл второго рода.

Поверхность  называется ориентируемой, если в каждой ее точке существует вектор нормали к , - непрерывная вектор – функция на .

Поверхность называется односторонней, если при обходе поверхности по контуру g вектор нормали меняет свое направление на противоположное.

Поверхность называется двусторонней, если при обходе поверхности по контуру g вектор нормали не меняет свое направление.

Примером односторонней поверхности является петля Мебиуса, примерами двусторонних поверхностей – плоскость, сфера, гиперболоиды и т.д.

Задача о потоке жидкости через поверхность.

Поток жидкости через поверхность .– это количество жидкости, протекающее через поверхность в единицу времени.

Здесь мы  вычисляли дифференциал потока, а затем интегрировали по всей поверхности – это метод дифференциалов при построении интеграла.

Можно строить интеграл с помощью метода интегральных сумм, как мы действовали обычно.

- Введем разбиение области на элементы так, чтобы соседние элементы не содержали общих внутренних точек (условие А),

- на элементах разбиения отметим точку М. Предполагая перемещение частиц жидкости постоянным на элементе и равным  (M), вычислим приближенно поток через элемент разбиения и просуммируем его по элементам, получая интегральную сумму .

- Измельчим разбиение при условии  (условие В) и перейдем к пределу получая поверхностный интеграл второго рода

.

По виду это – поверхностный интеграл первого рода, он и имеет те же свойства, что поверхностный интеграл первого рода, но имеет еще и свойство ориентируемости. Интеграл по внешней стороне поверхности отличается знаком от интеграла по внутренней стороне поверхности, так как на различных сторонах поверхности нормали в той же точке нормали направлены по одной прямой в различные стороны.

Теорема существования формулируется так же, как для поверхностного интеграла первого рода с тем же замечанием о независимости интеграла от способа выбора разбиения (лишь бы выполнялись условия А), от выбора точек на элементах разбиения, от способа измельчения разбиения (лишь бы выполнялось условие В).

Запись поверхностного интеграла второго рода.

Запишем вектор перемещений частиц и нормаль в точке M(x, y, z), выделяя скалярные компоненты векторов

,

, . Знак «+» выбирается, если угол между нормалью к поверхности и осью (OX в первом интеграле, OY во втором, OZ в третьем) острый, знак «-» выбирается, если угол тупой. В самом деле, в поверхностных интегралах площади элементов поверхности положительны, а знаки «+» или «–» компенсируют знак косинуса угла между нормалью и координатной осью. При переходе от поверхностных интегралов к двойным одна из координат подставляется из уравнения поверхности, чтобы точка (x, y, z) находилась на поверхности .

Пример. Найти поток радиуса-вектора через полную поверхность тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x + y + z = 1

Поток равен .

Вычислим поток через двойные интегралы проектированием на координатные плоскости. Поток радиус-вектора через координатные плоскости нулевой. Тогда

=

=.

Получили тот же результат.