Достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного (сформулировать и доказать)
Достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного (сформулировать и доказать)
Производная функции комплексной переменной вводится так же, как и для функции действительной переменной
.
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде
, то есть - бесконечно малая при . Главная линейная относительно часть приращения функции в точке , называется дифференциалом функции в точке , ().
Замечание. Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке (), если ее приращение в этой точке можно представить в виде
++,
где , - бесконечно малые при ,
, .
Рекомендуемые материалы
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала ее конечная производная в этой точке.
Доказательство. Проводится так же, как и для функции действительной переменной с использованием теоремы о связи функции, предела и бесконечно малой.
Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда
Ещё посмотрите лекцию "25. Орфей" по этой теме.
,
Делим обе части на
. Так как - бесконечно малая при , то по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой, .
Поэтому - формула для вычисления дифференциала.
Достаточность. Пусть в точке существует конечная производная функции . Тогда по теореме о связи функции, предела и бесконечно малой . Умножая на , получим . Следовательно, функция дифференцируема в точке .
Функция называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.