Основные трансцендентные функции
Основные трансцендентные функции.
Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.
Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.
Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:
См. Представление функций по формуле Тейлора.
Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.
Рекомендуемые материалы
Также справедливы равенства:
Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.
Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:
Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:
Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.
Пример. Найти sin(1+2i).
Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.
Если w = u + iv, то 
и Arg ew =
= v.
Тогда eu = 
.
Итого: 
Для комплексного числа z = a + ib 
Определение. Выражение 
называется главным значением логарифма.
Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:
1) 
2) 
3) 
4) 
Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:
Обратите внимание на лекцию "Культурный, социальный и политический смысл церковного Раскола".
