Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида
где P и Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное число, не равное 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку , с помощью которой, уравнение Бернулли приводится к линейному.
Для этого разделим исходное уравнение на yn.
Применим подстановку, учтя, что .
Рекомендуемые материалы
Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z.
Решение этого уравнения будем искать в виде:
Пример. Решить уравнение
Разделим уравнение на xy2:
Полагаем
.
Полагаем
Произведя обратную подстановку, получаем:
Пример. Решить уравнение
Разделим обе части уравнения на
Полагаем
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:
Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Российская империя в начале XX века.
Получаем:
Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ: