ТЕМА 1. Теория катастроф
ТЕМА 1
1. Теория катастроф
2. Поиск равновесия
3. Модели с обратной связью
1. теория катастроф
Под катастрофой в математике понимается скачкообразное изменение состояния системы при малом изменении управляющих параметров. Такое изменение бывает возможно далеко не всегда, и лишь тогда, когда система находится в неустойчивом состоянии (состояние неустойчивого равновесия). Например, мы повернули руль совсем чуть-чуть не вправо, а влево, и автомобиль оказался в кювете; оператор АЭС совсем немного выдвинул стержни, и реактор начал разогреваться в аварийном режиме. С катастрофой в математике связан также термин "бифуркация".
Бифуркация – означает «раздвоение». Этот термин употребляют в широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек и метаморфозу различных параметров, от которых они зависят.
Важную роль в создании теории катастроф сыграли работы Р. Тома («Структурная устойчивость и морфогенез»), в которой он рассматривал проблемы морфогенеза с точки зрения прикладной математики. Речь идет о выделении наиболее существенных особенностей на начальных стадиях развития организма и их математическом описании. Наиболее важным в морфогенезе является появление новых качеств, например, изменения типа симметрии, наблюдаемые в ходе развития организма.
Рекомендуемые материалы
Характерной чертой биологических и многих других систем (технических, социальных) являются скачки – внезапные перестройки, происходящие при непрерывном варьировании параметров. Эти внезапные изменения были названы Р. Тома катастрофами.
В динамике систем иногда возникают ситуации, когда при плавном изменении параметра l в критической точке происходит скачок. Пример – см. рис. 2, когда скачком появляется или исчезает мера состояний равновесия.
В технике с этой биофуркацией часто связан эффект «хлопка» или «прощелкивания».
В ряде случаев они являются причинами аварий.
При исследовании динамики большой системы, когда цель не является четко обозначенной, часто делается попытка минимизации некоторой функции полезности (функции цены).
Пусть, например, l1, l2 …lk – параметры управления большой системы. Они принимают значения х1*, х2*, х*n в состоянии равновесия, при котором достигается локальный минимум функций f(x1 , x2 … xn , l1,l2… lк). Значение хi* зависят от выбора параметров a, т.е.
хi* = хi* (l), I = 1, n. .В этом случае катастрофа – это скачкообразные изменения параметров х, происходящие в результате плавного изменения параметров А.
Теория катастроф позволила провести классификацию «типичных» критических точек и выяснить, какими бывают «типичные катастрофы» при различном числе параметров l, определяющих состояние системы («катастрофы» сборки…).
Пример. Рассматриваются биржевые операции (Состояние системы описывается скоростью изменения индекса Доу-Джонса на бирже).
Входные переменные:
l1 – дополнительный спрос на акции со стороны покупателей;
l2 – доля денежных средств, направленная на спекулятивные операции.
Для моделирования функционирования биржи предлагается использовать уравнение типа сборки
Используется тот факт, что вдоль линий сборки
.
и определяется связь между l1 и l2, а затем минимальные изменения Dl1 и Dl2 для пересечения бифуркационной кривой..
Вместе с этой лекцией читают "64. Фотобиологические процессы".
В частности, для модели биржевых операций было получено Dl1>Dl2, т.е. модель биржевых операций обладает более высокой адаптивностью (~ в 2 раза) по отношению к изменению спроса на акции со стороны покупателей, чем к изменению средств, направленных на спекулятивные операции.
Ограничения к применению математического аппарата теории катастроф:
1) динамика большой системы описывается гладкой функцией;
2) вектор параметров системы имеет не больше пяти компонентов;
3) большая система рассматривается как «черный ящик».
Таким образом, математический инструментарий весьма ограничен, несмотря на большую философскую привлекательность теории катастроф.
