Механические свойства костной ткани. Определение модуля упругости кости по изгибу

Цель работы: изучить  физические  основы  воздействия  на  биологические ткани механических  нагрузок и биомеханические свойства костной ткани в связи с особенностями ее структурной организации. Освоить один из методов определения модуля упругости (модуля Юнга) кости.

Важность изучения  и  понимания механических свойств биологических тканей обусловлена:

1) потребностью   совершенствования  средств  защиты  человека  от неблагоприятных силовых воздействий,  методов лечения травм, задачей протезирования органов и тканей;

2) необходимостью создания новых  высокопрочных  материалов  близких  к часто  технологически более совершенным биотканям;

3) необходимостью изучения  механизмов,  обуславливающих  процессы роста и развития биологических тканей.

Биологические ткани принято разделять  на  жидкости  (кровь  и  лимфа), мягкие ткани (эпителий,  хрящевые и мышечные ткани) и твердые ткани (кость). В данной работе рассматриваются, главным образом, механические  свойства костной ткани.

1.Физические основы воздействия на ткани механических нагрузок

Определим содержание основных понятий и величин, которые обычно используются для характеристики механических свойств различных сред, в том числе, биотканей  и которые будут необходимы для понимания следующего ниже материала.

Рекомендуемые материалы

Механические свойства  тел проявляются  в  их реакции на внешние силы (нагрузки).  Изменения формы и/или размеров образца из  соответствующего материала под  действием  внешних  сил называют    деформацией.

Различают упругие и пластические  деформации. Упругость  определяют как  способность  деформируемого  тела восстанавливать исходные размеры после  снятия  нагрузки;  пластичность  -  как  способность получать  остаточные деформации без разрушения и сохранять их после снятия нагрузки.

На рис.1  показаны   основные   виды   деформации   твердых   тел. Направления  внешних сил указано стрелками.  Пунктир соответствует деформированному образцу.

В теле человека внешние силы чаще всего вызывают сжатие, растяжение и изгиб соответствующих элементов.

Мерой  деформации  является   относительная   деформация,   равная отношению абсолютной   деформации   к   величине,   характеризующей первоначальные размеры или форму образца. Например, для одноосного растяжения  (сжатия)  (см.  рис.1.,b,c) относительная деформация e =D l/l,  где l-начальная длина образца, Dl — абсолютная деформация; e   -   величина   безразмерная.

Обычно на   тела   действуют   сосредоточенные   в    точке    или распределенные   по   определенной   поверхности  силы  (нагрузки).   Различают  также  статические  и  динамические нагрузки.  Статические нагружают тело медленно и затем не  изменяют своей величины с течением времени.  Примерами динамических нагрузок являются ударные и повторно-переменные (циклические) нагрузки.

Механическое напряжение -   величина,   которая   характеризует внутренние  силы,  возникающие   в   образце   при   деформации. Эти силы противодействуют внешним силам,  которые вызывают деформацию.

Напряжение определяется значением  внешней  силы,  приходящейся  на единицу  площади сечения образца,  и обозначается буквами  s  ( при растяжении или сжатии),  t при сдвиге);  его размерность в  СИ  - Н/м² (Па).

Модуль упругости  (модуль  Юнга)  Е  -  отношение   напряжения   к относительному удлинению (сжатию),  характеризует способность материала,  из которого  сделан  деформируемый  образец,  сопротивляться упругой деформации растяжения(сжатия);  размерность в СИ - Н/м² .  Рассматривают также модуль сдвига G при деформации сдвига и коэффициент Пуассона m. Последний характеризует  относительное  изменение объема тела при  упругой деформации. Если  m=0,5,  то материал из  которого  сделано  деформируемое  тело, называется    несжимаемым.   

Прочность   деформируемого   тела   - способность тела сопротивляться  разрушению  при  действии  внешних сил.   При   исследовании  прочности  используют  предел  прочности материала - напряжение в материале при различных видах  деформации, соответствующее  максимальному  (до  разрушения  образца)  значению нагрузки,  или  разрушающее   напряжение -   отношение   нагрузки, необходимой  для  полного  разрушения  образца,  к  его поперечному сечению  в  месте   разрушения.  

Выделим   присущие   большинству биологических  тканей  общие  черты  в механическом поведении. 

1) Большинство этих тканей  анизотропно, т.е.  их  физические,  в  том числе  и   механические  свойства в различных направлениях различны. Анизотропия  биотканей  связана,  прежде  всего, с определенным порядком  в  расположении строящих ее структурных элементов. 

 2) Почти все  биоткани  обнаруживают  при  деформировании  характерные временные  эффекты:  а)  при   фиксированной  деформации  происходит релаксация (спад)  напряжения;  б)  при   фиксированной   нагрузке (напряжении)  рост  деформации  во  времени;  данное явление иногда называют течением материала, чаще ползучестью или  крипом;  в)  при  циклическом  нагружении колебания   напряжений   и   деформаций  различаются  по  фазе; г) механические  характеристики  тканей  часто  зависят  от   скорости деформации.

3)Зависимостям напряжения от деформации при нагрузке и разгрузке  соответствуют разные кривые, формируется   так называемая "петля   гистерезиса".

Перечисленные   в   пунктах  2  и  3  факты  являются  проявлением вязкоупругого  поведения биоткани.

Остановимся на содержании понятия "вязкоупругость"  несколько подробнее.    Можно представить  себе  два результата воздействия на материал внешних сил, при котором они совершают работу по его деформированию. Во-первых,  работа  внешних сил может запасаться в единице объема среды в виде потенциальной энергии деформации,  обычно называемой объемной плотностью упругой энергии W (удельной энергией упругой деформации).  Во-вторых,  работа  внешних сил может  необратимо рассеиваться  (диссипировать),  расходуясь  на преодоление  сил  внутреннего трения и переходя в тепло.  Этот процесс характеризуется интенсивностью диссипации D в  единице  объема  среды в единицу времени. Если при деформации W ¹ 0, а D = 0, среда называется  упругой , при деформировании такой среды диссипация внешней работы отсутствует, и вся запасенная энергия при разгрузке тела переходит в работу по восстановлению формы и размеров образца.  Если же  W = 0, D ¹ 0, среда называется  вязкой, при ее деформировании вся внешняя работа диссипирует (превращается в тепло).  После снятия нагрузки вязкая среда остается в том же состоянии,  в  котором она была в момент снятия нагрузки. Все деформации в вязкой среде необратимы. Наконец, если W ¹ 0 и D ¹ 0, среда называется  вязкоупругой. При ее деформировании какая-то часть внешней работы диссипирует (т.е. необратимо рассеивается в виде тепла), а остальная запасается в материале в виде энергии упругой деформации. После прекращения действия внешних сил в такой среде происходит упругое восстановление и одновременно с этим диссипация накопленной в ней энергии.  Это и приводит к образованию  петли гистерезиса, о которой упоминалось раньше.  Таков общий подход  к описанию многих механических свойств реальных, в том числе биологических сред.

Одна из главных задач механики деформируемых сред - установление связей между механическими напряжениями, деформациями и скоростями деформации. Рассмотрим несколько примеров:

а) идеально упругое изотропное тело Гука, W¹0, D = 0.  В этом  случае для  одноосного  растяжения  (сжатия, см.рис.1 b,с)  

            s = Е ×e (закон Гука для этих видов деформации)                                               (1)

 Для деформации сдвига имеет вид:  

                              t  = G  g ,                                                                        (2) 

g   - угол сдвига,  мера деформации сдвига (рис.1,е), , m - коэффициент Пуассона.

б) ньютоновская вязкая жидкость.  Здесь W=0, D ¹ 0  и возникающее в текущей жидкости напряжение t связано с градиентом скорости (скоростью сдвига)  следующим образом

t = h,                                                                     (3)

h  - коэффициент динамической вязкости, характеристика текущей жидкости.

в) простейшее вязкоупругое твердое тело (тело Кельвина), приближенный анализ явления  ползучести.  Напомним,  что  в данном случае W ¹ 0, D ¹ 0.

Рассмотрим одну из возможных комбинаций упругости и вязкости. При суммировании напряжений тела Гука и ньютоновской вязкой жидкости получим следующее уравнение:

t = G g + h,    или      t = G g + h  (t - время).                                 (4)

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Лекция 4 - Вычисление Z-передаточных функций.

Пусть в теле, которому соответствует уравнение (4) в момент времени t=0 возникает напряжение  t = t₀,  которое затем поддерживается постоянным. Тогда решение (4), которое приводится без вывода, имеет вид:

,                                                                      (5)

где  l = h/G. Этот параметр имеет размерность времени, называется  временем запаздывания  и характеризует  запаздывание  реакции  материала (деформации)  на приложенную нагрузку:  развитие  упругой деформации тормозится вязкостью среды.

После снятия  внешней  нагрузки происходит упругое восстановление тела, которое описывается формулой:

.                                                                   (6)

Для той же среды  можно показать, что 1) при циклическом нагружении возникает разность фаз между напряжением и  деформацией,  возрастающая с увеличением   частоты  внешнего  воздействия  и   времени  запаздывания; 2) отклик среды на внешнее воздействие зависит от скорости ее деформирования.