Относительное движение жидкости и твердого тела

3. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

3.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

3.1.1. Общие понятия

При обтекании твердого тела потоком жидкости или при движении твердого тела в покоящейся жидкости воз­никают гидравлические сопротивления. Эти сопротивле­ния проявляются в непосредственной близости от самого тела и определяются действием сил вязкости и сил, оп­ределяемых разностью давления перед обтекаемым те­лом и за ним. Соотношение между силами трения и дав­ления может быть различным, в зависимости от формы твердого тела, направления движения потока, обтекаю­щего тело, и ряда других факторов.

Так, например, при обтекании потоком жидкости пло­ской тонкой пластинки, установленной вдоль направле­ния векторов скорости набегающего потока, сопротивле­ние определяется главным образом силами трения, возникающими на боковых поверхностях пластинки (рис. 17.1, а).

Рис. 1.1. Примеры взаимодействия потока вязкой жидкости с твер­дым телом

Рекомендуемые материалы

Если же поток набегает на пластинку по норма­ли к ее поверхности (рис. 17.1,6), то эффект проявления сил трения (сил вязкости) становится пренебрежимо ма­лым и сопротивление зависит в основном от разности давления перед обтекаемым телом и за ним.

При обтекании потоком тела произвольной формы силы вязкости и силы давления могут оказаться соизмеримыми по величи­не (рис 17.1,в).

3.1.2. Сопротивление трения при обтекании плоской пластины

При обтекании плоской пластины сопротивление тре­ния определяется касательными напряжениями, дейст­вующими вдоль обтекаемой потоком жидкости или газа твердой поверхности (рис. 17.2). Эти напряжения могут быть опре­делены для полубесконечной плоской пластины непо­средственно из системы уравнений Прандтля, записываемых в виде

                  (17.1)

Наиболее точным решением системы (17.1) является решение Блазиуса, полученное в результате замены ис­ходной системы дифференциальных уравнений в част­ных производных обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка. Эта замена оказывается возможной при введении в уравнения движения функ­ции тока, определяемой соотношениями

 и

Рис. 1.2. К вы­воду уравнений движения жид­кости в плоском по­граничном слое

Толщина ламинарного пограничного слоя в соответ­ствии с решением Блазиуса

                               (17.2)

Касательные напряжения по Блазиусу при обтекании пластины       

                              (17.3)

Теоретическое решение Блазиуса хорошо подтверждается многочисленными опытными данными.                                 

Несколько худшее совпадение с опытом дают результаты решения уравнения ко­личества движения для плоского пограничного слоя, называемого в гидромеханике инте­гральным соотношением Кармана

                                              (17.4)

Решения уравнения (17.4) интегрального соотношения Кармана записываются в виде

                                                                      (17.5)

                                         (17.6)

Введем понятие местного коэффициента сопротивле­ния трения

удобного при определении силы трения в случае обтека­ния плоской пластины вязким потоком. Эта сила, отне­сенная к единице ширины обтекаемой пластины дли­ной ,

или

                                                  (17.7)

где - средний по длине  коэффициент сопротивления трения;  - площадь обтекаемой поверхности пластины.

Коэффициент  определяется для ламинарного по­граничного слоя непосредственно из ранее приведенных уравнений (17.3) и (17.6):

по Блазиусу

                           (17. 8)

по интегральному соотношению Кармана

                           (17.9)

При двустороннем обтекании плоской пластины ко­нечной длины  сила трения и средний по длине коэф­фициент сопротивления трения удваиваются, поэтому уравнения, например, для коэффициента  имеют вид:

                                          (17.10)

                                             (17.11)

где

Гидравлические сопротивления в турбулентном по­граничном слое в значительной степени зависят от ше­роховатости поверхности пластины. При определении этих сопротивлений выделяют режимы гидравлически гладких поверхностей, гидравлически шероховатых по­верхностей и переходный между ними.

В первом случае гидравлические сопротивления обу­словлены только вязкими напряжениями, влияние шеро­ховатости пренебрежимо мало. Коэффициент сопротив­ления трения  для гидравлически гладких поверхнос­тей определяется по формуле Кармана

                             (17.12)

или по формуле Шлихтинга

                                    (17.13)

Уравнения (17.12) и (17.13) являются равнозначными. Первое из них получено при условии, что распределение скоростей вблизи твердой поверхности подчиняется сте­пенному закону  второе - на основе ап­проксимации результатов расчета в соответствии с лога­рифмическим законом распределения скоростей. Обе формулы применимы в области .

Для режима гидравлически шероховатых поверхно­стей влиянием вязкости пренебрегают.

В этом случае коэффициент гидравлического сопротивления трения обычно рассчитывают по формуле Шлихтинга

                    (17.14)

где  - длина пластины;  - абсолютная   эквивалентная шероховатость поверхностей пластины.

Уравнение (17.14) справедливо при

А. Д. Альтшулем для коэффициента гидравлического сопротивле­ния по длине было получено уравнение

,    (17.15)

которое может быть  использовано для расчета во всей области турбулентного течения вдоль пластины.

3.1.3. Отрыв пограничного слоя

Сопротивления при обтекании твердого тела (кроме пластины, ориентированной вдоль векторов скорости на­бегающего потока) жидкостью или газом определяются не только касательными напряжениями, возникающими на твердой границе, но и влиянием образующейся за телом области вихревого течения. Образование этой об­ласти связано с явлением отрыва пограничного слоя.

При обтекании тела с резко меняющимся профилем поверхности отрыв пограничного слоя является следст­вием проявления инерции жидких частиц в пределах пограничного слоя. Картина отрыва пограничного слоя в этом случае изображена на рис. 17.3.

 

Рис. 1.3. Отрыв пограничного слоя на ломаной поверхности

При обтекании плав­ной криволинейной поверхности отрыв пограничного слоя связан с характером изменения давления вблизи твердой поверхности. Рассмотрим подробнее механизм этого явления (рис. 17.4).

На участке АВ скорость частиц жидкости, находя­щихся в пограничном слое, увеличивается , а на участке ВС уменьшается (ди/дх<0). Тогда в соот­ветствии с уравнением Бернулли давление на участке АВ уменьшается (др/дх<0), а на участке ВС увеличи­вается (др/дх>0).

При движении невязкой жидкости искривление ли­ний тока у твердой границы АС привело бы лишь к пе­рераспределению кинетической и потенциальной энергии любой жидкой частицы. В случае же движения вязкой жидкости часть кинетической энергии теряется за счет трения внутри пограничного слоя. Оставшейся части кинетической энергии может не хватить на преодоление действия положительного градиента давления, стремя­щегося изменить направление движения жидких частиц.

Рис. 1.4. Отрыв по­граничного слоя на криволинейной по­верхности

В результате частицы жидкости могут начать движение в обратном направлении и привести тем самым к отры­ву потока от твердой границы. В точке отрыва (точка М) касательные напряжения на твердой поверхности обтекаемого тела равны нулю, так как в этой   точке   градиент   скорости   обращается   в   нуль .

За точкой отрыва пограничный слой трансформиру­ется в отрывное течение, характеризуемое сильной неус­тойчивостью образующихся крупномасштабных вихрей. Отдельные вихри, отрываясь от твердой поверхности, сносятся потоком, на их месте образуются новые вихри и т. д. Образование, взаимодействие и перемещение вих­рей за обтекаемым телом создают совершенно иную по структуре область течения, которую часто называют гидродинамическим (или аэродинамическим) следом Основной поток, разделенный гидродинамическим сле­дом на две (в условиях плоской задачи) части, восста­навливает свою структуру лишь на некотором расстоя­нии от обтекаемого тела. При этом протяженность сле­да зависит главным образом от формы тела и от числа Рейнольдса .

Область отрывного течения, несмотря на совершенно иную структуру, не изолирована от основного (невозму­щенного) потока. Турбулентное перемешивание, знако­переменный градиент давления, изменение направления течения внутри этой области создают условия для не­прерывного взаимодействия между отрывным течением и основным потоком. Однако вследствие замкнутости осредненных во времени линий тока в пределах рассмат­риваемой области массобмен между ней и невозмущен­ным потоком невелик, что необходимо учитывать при расчете и проектировании аэрации жилых кварталов, зданий и промышленных сооружений.

Рассмотрим простой случай образования отрывного течения за отдельно стоящим зданием с двускатной кры­шей. Испытания модели такого здания (рис. 17.6) показали, что в зависимости от изменения скорости не­возмущенного потока картина обтекания существенно меняется. При относительно малых скоростях траекто­рии частиц обтекающего модель воздушного потока по существу повторяют конфигурацию здания (рис. 17.6,а). С увеличением скорости сразу же за точкой отрыва (точка А) образуется небольшой вихрь (рис. 17.6,6), который быстро увеличивается при дальнейшем повышении скорости (рис. 17.6, в) до тех пор, пока не распадется на отдельные нерегулярные вихри. С течением времени картина обтекания модели становится статистически установившейся; при этом форма и раз­меры области отрывного течения оказываются практи­чески постоянными (рис. 17.6,г).

Рис. 1.6. Стадии обтекания модели зда­ния воздушным потоком

Таким   образом, при достаточно большой   скорости поток, обтекающий твердое тело с резко меняющимся профилем, можно условно разделить на две статистиче­ски устойчивые области  течения (рис. 17.7).

Границей между ними можно назначить линию тока а-а, прохо­дящую через точку отрыва А. Ниже линии а-а распо­лагается область отрывного   течения - область ABCD. Внутри этой области осредненные во времени линии то­ка представляют собой замкнутые кривые; движение в целом носит циркуляционный характер. В верхней части области отрывного течения направление векторов скоро­сти совпадает с направлением движения невозмущенно­го потока, в нижней ее части жидкость или газ переме­щается в обратном направлении. Выше линии тока а-а располагается   невозмущенный поток, который   можно считать безвихревым,   или   потенциальным. Так как и потенциальном потоке перенос количества движения по­перек линий   отсутствует, то любую линию тока можно условно заменить твердой границей. Напом­ним, что и в том и другом случае частная производная скорости по нормали к линии   тока   равна нулю, т. е. ди/дп=0. Предполагая, что твердая граница совпадает с линией тока а-а, получим картину обтекания потен­циальным потоком твердого тела ABCD.

Рис. 1.7. Течение воздушного потока при обтекании одиночного зда­ния

В теоретической гидромеханике доказывается, что при сложении плоскопараллельного потенциального по­тока, источника и двух стоков линии тока результирующего движения качественно совпадают с линиями тока рассмотренного выше реального случая обтекания твер­дого тела. Однако такое решение дает практические результаты лишь первого приближения в условиях пло­ской задачи. В действительности же вследствие большо­го многообразия форм обтекаемого тела, а также постоянно меняющихся направления и значения скоро­сти набегающего потока решение задачи приходится искать на базе результатов опытов на моделях. В различных источниках приводятся некоторые данные, необходимые при расчете обтекания одиночного здания с плоской крышей воздушным потоком. Так, максимальная высота области отрывного течения составляет , макси­мальная длина этой области (отрезок DC) приблизи­тельно 8h, расстояние от точки А до точки В примерно 2,5h.

При обтекании потоком здания сложного планового очертания или группы зданий задача может быть реше­на путем экспериментальных исследований в каждом конкретном случае.

3.1.4. Распределение давления по поверхности обтекаемого тела. Сопротивление давления

Распределение давления вокруг обтекаемого твердо­го тела неразрывно связано с законом изменения скоро­сти набегающего потока вблизи тела. Рассмотрим прос­той случай обтекания бесконечно длинного кругового цилиндра потенциальным потоком. При обтекании кругового цилиндра бесконечно боль­шой длины потенциальным потоком картина течения у цилиндра симметрична (рис. 17.8).

Известно (см. 17.1.3), что на участках АВ и AD дви­жение ускоренное, на участках ВС и DC замедленное, в критических точках на поверхности цилиндра А и С скорость равна нулю, в точках В и D - удвоенной ско­рости невозмущенного потока. Поэтому в критичес­ких точках давление принимает максимальное значение, а в точках В и D - минимальное. Вследствие симметрии рассматриваемой задачи давление в сходственных точ­ках (например, в точках 1 и 1', 2 и 2' и т. п.) одинако­вое.

Аналогичная картина течения получается при обтекании цилиндра потоком невязкой жидкости.

Рис. 1.8. Обтекание цилиндра невязкой жидкостью

Следовательно, силы давления на лобовую и кор­мовую поверхности цилиндра будут равными, но проти­воположно направленными. Их равнодействующая рав­на нулю, а значит, и сопротивление цилиндра должно равняться нулю. Этот вывод, который противоречит дан­ным опыта, в гидромеханике известен под названием па­радокса Эйлера - Даламбера.

На рис. 17.9 приведена схема распределения давления по поверхности кругового цилиндра, обтекаемого потенциальным потоком или по­током невязкой жидкости.

Рис. 1.9. Распределение дав­ления при обтекании цилиндра невязкой жидкостью

На схеме область давления, большего давления невозмущенного потока, отмечена знаком плюс и стрелками, направленными к поверхности цилиндра; область меньшего, чем в набегающем потоке, давления - знаком минус и стрелками, направленными от поверхности цилиндра.

При обтекании цилиндра потоком вязкой жидкости вследствие отрыва пограничного слоя и образования отрывного течения давление в лобовой части цилиндра всегда оказывается больше давления в его кормовой части (рис. 17.10  5.18). Равнодействующая этих сил давления, отличная от нуля, и определяет собой сопротивление давления. В пределах гидродинамического следа давле­ние остается практически постоянным и равным давле­нию у твердой поверхности в точке отрыва пограничного слоя, давление же у лобовой поверхности практически не отличается от давления при взаимодействии цилинд­ра с невязкой жидкостью.

Рис. 1.10. Распределение давления при обтекании цилиндра вязкой жидкостью

При увеличении числа Re, вычисленного по скорости набегающего потока, равнодействующая сил давления в лобовой и кормовой частях цилиндра увеличивается, что связано со смещением точки отрыва пограничного слоя ближе к кормовой области. Смещение точки отры­ва объясняется переходом ламинарного пограничного слоя в турбулентный при возрастании числа Рейнольдса. В результате частицы жидкости, находящиеся вблизи твердой границы, приобретают дополнительную кинети­ческую энергию от невозмущенного потока, которая по­могает им дольше противостоять положительному гра­диенту давления (рис. 17.10).

На практике при сравнении распределения давления на поверхности обтекаемых тел разных размеров часто используется относительное давление или коэффициент давления

                             (17.15)

где  - избыточное давление в произвольной точке на поверхности обтекаемого тела;  - динамическое давление невозмущенного потока.

Если в качестве избыточного принимается маномет­рическое давление , коэффициент давления называют аэродинамическим коэффициентом

                              (17.16)

Аэродинамический коэффициент используется для расчета распределения давления ветра по поверхности зданий и сооружений.

Рассмотрим схему распределения аэродинамических коэффициентов по контуру одиночного здания с двускат­ной крышей (рис. 17.11).

Рис. 1.11. Распределение аэ­родинамических коэффици­ентов при обтекании одиноч­ного здания

Построение эпюры распределе­ния аэродинамических коэффициентов производится по известным правилам построения эпюры нагрузки на любой элемент сооружения: положительные значения  откладываются внутри контура здания, отрицательные - вне контура здания. Отметим, что аэродинамический коэффи­циент приобретает положительное значение при полном давлении, большем атмосферного давления, отрицательное - при разрежении.

Так как форма современных зданий и сооружений весьма далека от удобообтекаемой, можно принимать, что независимо от числа Рейнольдса аэродинамический коэффициент является функцией только формы здания и его расположения по отношению к направлению набе­гающего невозмущенного потока.

Обычно значение аэродинамического коэффициента и его распределение определяются по результатам экс­периментальных испытаний, проводимых либо в гидрав­лических лотках, либо в аэродинамических трубах. При фронтальном обтекании одиночного здания (рис. 17.11) аэродинамический коэффициент принимает значения: на наветренной (лобовой) грани К_В=0,5-0,8, на завет­ренной (кормовой) грани К_В= -(0,2-0,3). Необходимо сказать, что при фронтальном обтекании здания навет­ренная сторона испытывает повышенное давление (К_В>0), а стороны, находящиеся в области отрывных течений, - разрежение К_В <0. Разрежение может вы­звать равнодействующие силы давления, значительно большие, чем положительные, - это особенно опасно, так как конструктивные элементы рассчитаны на точно такие же усилия, но противоположные по знаку.

При расчете высоких зданий и сооружений следует учитывать распределение скоростей набегающего потока по вертикали. В первом приближении это распределе­ние оценивается с помощью, например, уравнения Г. Шлихтинга

,

где и - скорость на произвольном расстоянии h от поверхности земли;  - скорость на достаточно большом расстоянии , где она становится практически постоянной.

Неравномерность распределения давлений по поверх­ности обтекаемого тела, разность давлений в его лобо­вой и кормовой частях в ряде случаев являются основ­ными факторами, определяющими сопротивление, назы­ваемое сопротивлением давления. Обычно это случаи обтекания потоком жидкости или газа тонких профилей, расположенных поперек набегающего потока.

Рассмотрим обтекание плоского круглого диска (рис. 17.12) потоком вязкой жидкости (толщина диска  существенно меньше его диаметра d).

Очевидно, в рассматри­ваемом случае силами трения следует пренебречь, так как длина участка возможного формирования погранич­ного слоя δ ничтожна по условию. Поэтому сила сопро­тивления будет определяться только разностью давления перед диском и в области отрывного течения за ним. Расчетная формула для силы сопротивления давления имеет вид

                    (17.18)

где  - коэффициент сопротивления давления;  - площадь сече­ния обтекаемого тела по миделю (площадь проекции тела на плос­кость, перпендикулярную векторам скорости набегающего потока);  - плотность жидкости или газа;  - скорость невозмущенного потока.

Рис. 1.12. Обтекание диска потоком вязкой жидкости

Коэффициент , зависит от числа Рейнольдса и от формы   обтекаемого тела. При больших   числах Рейнольдса, т. е. в случае отсутствия влияния вязкости, коэффициент сопротивления давления зависит только от формы тела (табл. 17.1).

При определении силы давления ветра на одиночное здание или на его отдельные элементы достаточно знать закон распределения аэродинамических коэффициентов и соответствующие площади граней, воспринимающих повышенное давление или разрежение.

В этом случае можно составить очевидное расчетное соотношение. Из выражения (17.16) следует, что манометрическое давле­ние в произвольной точке на поверхности здания

                                     (17.19)

Сила давления

                                                            (17.20)

где dS - площадь элементарной поверхности здания или его от­дельного элемента, в пределах которой аэродинамический коэффи­циент можно считать постоянным.

После   подстановки   уравнения   (17.19) в формулу (17.20) получим

                                                                  (17.21)

Уравнение (17.21) решается для каждого конкретного случая.

Таблица 17.1

Значения коэффициента сопротивления давления для некоторых тел с острой кромкой

3.1.5. Суммарное сопротивление при обтекании твердого тела

В общем случае сопротивление при обтекании твер­дого тела потоком жидкости или при движении твердо­го тела в жидкости представляет собой сумму сопротив­ления трения и сопротивления давления (сопротивления формы). Неравномерность распределения давления по поверхности тела, неустановившийся характер движения в области отрывного течения сильно ограничивают круг задач, поддающихся аналитическому решению.

Суммарное, или полное, сопротивление (часто его называют лобовым сопротивлением) обычно определя­ется по формуле, структура которой была предложена еще Ньютоном          

                                                             (17.22)

где  - коэффициент лобового сопротивления.

Коэффициент лобового сопротивления зависит от формы обтекаемого тела, числа Рейнольдса и в несколько меньшей мере от степени турбулентности невозмущённого потока.

Формула (17.22) может быть получена на основе теории размерно­стей.

Рассмотрим случай обтекания твердого шара пото­ком вязкой жидкости, когда основным фактором, определяющим сопротивление, являются силы трения. В результате решения уравнений Навье - Стокса без учета инерционных членов можно получить аналитическое решение для силы сопротивления, так называемое решение Стокса

                                               (17.23)

где d - диаметр шара;  - динамическая вязкость жидкости.

Разделив и умножив правую часть выражения (17.23) на , получим

Так как  - площадь сечения шара по миделю, a , можно записать

                                                                      (17.24)

                                                (17.25)

Формула (17.25), так же как и формула (17.23), хоро­шо подтверждается опытом только для малых чисел Рейнольдса (Rel).

С увеличением числа Рейнольдса роль сил трения начинает быстро уменьшаться, что связано с развитием ламинарного пограничного слоя. Если при Rel влия­нием сил инерции можно было пренебрегать во всей области течения, как перед обтекаемым шаром, так и за ним, то при числах Re, уже немногим больших единицы, силы инерции в кормовой области не столь малы, чтобы ими можно было пренебречь. Некоторое уточнение ре­шения Стокса в этом смысле было выполнено Озееном

                                 (17.26)

Формула (17.26) пригодна до чисел Re5.

Опытные данные, полученные различными авторами в широком диапазоне изменения числа Рейнольдса для различных условий движения шаров в жидкости, позволили получить универсальную экспериментальную зави­симость

Характер этой зависимости, представленной в логарифмических координатах на рис. 17.13, определяется следующими соображениями.

Ранее указывалось, что суммарное, или лобовое, со­противление определяется суммой сопротивления трения и сопротивления давления. Первое из них обусловлено трением на твердой границе и в пределах пограничного слоя, второе - наличием отрывных течений и разностью давления в лобовой и кормовой частях твердого тела.

Рис. 1.13. Зависимость коэффициента лобо­вого сопротивления от числа Рейнольдса

Изменение числа Рейнольдса, естественно, влечет за собой изменение соотношения между действующими на тело силами трения, инерции и давления; причем увели­чение Re приводит к уменьшению влияния сил трения и повышению влияния сил инерции и давления.

Кроме того, при изменении числа Re меняется поло­жение точки отрыва пограничного слоя и его структура. До тех пор пока пограничный слой остается ламинар­ным (10<Re<10³), точка отрыва находится в лобовой части сферы (рис. 17.14,а).

В диапазоне изменения чис­ла Рейнольдса приблизительно 10³<Re<10⁵ ламинар­ный пограничный слой постепенно переходит в турбу­лентный и точка отрыва смещается в кормовую область сферы (рис. 17.14,6). В этом диапазоне чисел Re сопро­тивление (по сравнению с законом Стокса) увеличивает­ся за счет возрастающего действия разности давления перед шаром и за ним. Интенсивность увеличения сопро­тивления давления возрастает, кривая зависимости  приближается к горизонтали.

Рис. 1.14. Изменение положения точки отры­ва пограничного слоя на сфере при различ­ных числах Рейнольд

Полный переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный проис­ходит резко при числах . В этом случае угол между симметричными точками отрыва принимает минимальное значение 110-120° и величина области от­рывного течения также становится наименьшей (рис. 17.14,в). Сопротивление при этом резко уменьшается; такое явление называют кризисом сопротивления.

Зависимости, которые аналогичны рассмотренной, получены экспериментально для кругового цилиндра, круглого Диска и ряда других твердых тел.

Для твердых тел с резко меняющимся профилем (к ним можно отнести диски и пластины, расположен­ные поперек потока, кубы, некоторые профили зданий и т. п.) коэффициент лобового сопротивления практически не зависит от числа Рейнольдса.

3.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О СОПРОТИВЛЕНИИ ВОДЫ ДВИЖЕНИЮ ПЛАВАЮЩИХ СРЕДСТВ

3.2.1. Движение тела в жидкости

Предположим, что под действием какой-либо внешней силы плавающие тело начало перемещаться в жидкости с определенной скоростью. Очевидно, что окружающая тело жидкость начнет оказывать сопротивление этому перемещению и кроме гидростатических сил на плавающих тело начнут действовать со стороны жидкости силы, препятствующие его движению. Эти силы носят название гидродинамических. В отличие от воды сил гидростатического давления, гидродинамические силы, действующие на каждую элементарную площадку смоченной поверхности тела, могут быть приложены к этим площадям под углом.

Для удобства определения, их разлагают на нормальную и касательную составляющие. Нормальная составляющая гидродинамических сил называется силой давления (N), а касательная составляющая - силой трения (Т).

Элементарные гидродинамические силы, распределенные сложным образом по смоченной поверхности судна, в общем случае могут быть приведены к результирующей силе - главному вектору и главному моменту гидродинамических сил.

Для движения судна с постоянной скоростью, при сохранении неизменного положения по отношению к уровню воды, необходимо, чтобы главный вектор и главный момент гидродинамических сил уравновешивались другими силами, приложенными к судну (собственный вес, сила тяги, сила водоизмещения и др.), т. е, чтобы сумма всех действующих на судно сил равнялась нулю.

Остановимся более подробно на гидродинамических силах, являющихся основными в формировании сопротивления воды движению плавающих тел.

Рассмотрим судно, движущиеся равномерно-поступательно в потоке жидкости (рис. 17.15).

Примем прямоугольную систему координат, связанную с судном, причем начало координат выберем на свободной поверхности жидкости в плоскости мидель шпангоута.

Ось х направим горизонтально противоположно направлению скорости поступательного движения судна; ось у перпендикулярно оси х в горизонтальной плоскости, ось z вертикально вверх и спроектируем главный вектор гидродинамических сил R на оси выбранной системы координат.

Рис. 1.15. Схема движения судна в потоке жидкости

Влияние главного момента гидродинамических сил в дальнейшем рассматривать не будем.

Проекция главного вектора гидродинамических сил R на оси х, т. е. составляющая R_х, называется силой сопротивления воды движения судна; составляющая R_y - силой дрейфа; R_z - гидродинамической поддерживающей силой.

Соотношение между этими составляющими и их величины зависят от направления и скорости движения судна, размеров и формы корпуса, шероховатости подводной поверхности корпуса, а также от глубины и ширины водоема (реки) по которому происходит движение.

В большинстве случаев сила дрейфа R_y не имеет существенного значения. Остановимся на силе R_х  и пока не будем учитывать влияния силы Rz на Rх.

3.2.2. Составляющие силы полного сопротивления

Как показывают наблюдения, при движении судна в окружающей его воде можно различить три характерные области, в которых создается главным образом сила сопротивления движению судна (рис. 17.16).

Область I - находится в непосредственной близости к смоченной поверхности судна, в которой наиболее сильно сказывается действие сил трения. Называется пограничным слоем. Вихревая область II, образуется за кормой судна. Область III - характеризуется тем, что в ее пределах на свободной поверхности воды образуются различные группы гравитационных, корабельных волн. Эта область называется внешним потоком.

В соответствии с этим сопротивление движению судна считают слагающимся из следующих сил:

- сопротивление трения - R_тр,

- вихревое сопротивление - R_вихр,

- волновое сопротивление - R_волн, т. е.

R_х= R_тр+ R_вихр+ R_волн

Рис. 1.16. Схема сил сопротивления движению судна

Кроме этих сопротивлений, являющихся основными, учитывается дополнительное сопротивление от имеющихся на корпусе подводных выступающих частей и дополнительное воздушное сопротивление надводной части судна: R_выст.ч. и R_возд.

Т.о., полное сопротивление воды движению судна выражается формулой:

R_х= R_тр+ R_вихр+ R_волн+ R_выст.ч + R_возд.

В результате многочисленных экспериментов на моделях и в натуре и общих теоретических соображений установлено, что сопротивление жидкости движению в ней твердого тела зависит в основном от плотности и вязкости жидкости, размеров, характера поверхности и формы тела, скорости его движения относительно жидкости.

Сопротивление трения R_тр является проявлением сил вязкости жидкости и представляет результирующую всех касательных сил, действующих на смоченную поверхность тела.

 Сила сопротивления трения R_тр изучена более детально и основывается на современном учении о пограничном слое. На величину сопротивления трения оказывает влияние шероховатость поверхности судна и в очень слабой степени кривизна судовой обшивки.

Сопротивление трения выражается формулой

где ζ_тр - коэффициент сопротивления трения вычисляют по эмпирическим формулам, ρ - плотность жидкости, V - скорость судна, Ω - смоченная поверхность судна.

В отдельных случаях значение сопротивления трения настолько незначительно, что им пренебрегают.

Вихревое сопротивление R_вихр  вызывается разностью давления в носовой и кормовой частях судна, оно направлено против его движения и является следствием вихреобразования за кормой.

R_вихр зависит от формы обтекаемого тела и, главным образом, от очертания кормовой его части, поэтому его называют также сопротивлением формы (рис. 17.2). При этом Различают два вида обтекания: безотрывочное и отрывочное обтекание (>R_{вихр. безотр})_.

Вихревое сопротивление выражается формулой

где ζ_вихр - коэффициент вихревого сопротивления.

R_вихр составляет 20-25℅ от общего сопротивления воды движению твердого тела.

Волновое сопротивление R_волн возникает вследствие затраты энергии на создание и поддержание системы волн, образующихся в жидкости. Поскольку судно непроницаемо для жидкости, то оно при своем движении непрерывно вытесняет носовой частью некоторый объем жидкости и одновременно освобождает такой же объем за кормой. Этот объем сразу же заполняется окружающей судно жидкостью. Вблизи носа уровень жидкости поднимается по отношению к уровню невозмущенной поверхности, вследствие его вытеснения корпуса, а вблизи кормы, наоборот, понижается, получающийся при этом перепад уровней нарушает равновесие жидкости и вызывает образование на поверхности воды гравитационных волн (корабельных волн). При этом корабельные волны состоят из расходящихся волн и волн поперечных.

Величина волнового сопротивления зависит от формы тела, глубины его погружения под свободную поверхность, скорости движения, а также от глубины и ширины фарватера, где происходит движение. Для определения волнового сопротивления пользуются как теоретическими, так и экспериментальными методами. В частности, величина волнового сопротивления может быть определена по формуле

где ζ_волн - коэффициент волнового сопротивления.

R_волн составляет 10℅ от полного сопротивления.

Сопротивление выступающих частей R_выст.ч. является дополнительным сопротивлением, увеличивающим в основном вихревое сопротивление. (Такими выступающими частями являются рули, киль, гребные волны, колеса и др.). Вихревое сопротивление определяется опытным путем.

Вихревое сопротивление составляет до 25 ℅ и более от полного сопротивления.

Сопротивление воздуха R_возд слагается из сопротивления надводной части корпуса и палубных надстроек набегающему потоку воздуха.

3.2.3. Влияние гидродинамической поддерживающей силы R_z

При движении судна возникает, как отмечено выше, гидродинамическая поддерживающая сила R_z - вертикальная составляющая гидродинамических сил. В результате формула плавучести принимает вид

где γW - сила водоизмещения; R_z - вертикальная составляющая гидродинамических сил.

С увеличением скорости увеличится R_z, судно начинает всплывать, объем подводной части уменьшится, соответственно уменьшится сопротивление трения R_тр и волновое сопротивление R_волн. Всплытие будет происходить до тех пор, пока судно полностью не выйдет из воды и будет скользить по поверхности. Его вес будет уравновешен гидравлической поддерживающей силой.

В связи с этим, различают три режима движения судна:

1. Плавание ; R_z=0;

2. Переходный режим ; W₁<W (здесь W₁ - объемное водоизмещение частично всплывшего судна);

3. Глиссирование P=R_z.

3.3. ПОДЪЁМНАЯ СИЛА

3.3.1. Теорема Жуковского о подъёмной силе

Подъёмная сила - составляющая полной силы давления жидкой или газообразной среды на движущееся в ней тело, направленная перпендикулярно к скорости тела (к скорости центра тяжести тела, если оно движется непоступательно).

Теорема о подъёмной силе была сформулирована Н. Е. Жуковским в 1904.

Согласно теореме Жуковского подъёмная сила, действующая на тело в потоке жидкости или газа, обусловлена связанными с обтекаемым телом вихрями (присоединёнными вихрями), причиной возникновения которых является вязкость жидкости. Наличие этих вихрей приводит к обтеканию крыла потоком с отличной от нуля циркуляцией скорости. Если установившийся плоскопараллельный потенциальный поток (потенциальный поток - безвихревое течение жидкости, при котором каждый малый объём деформируется и перемещается поступательно, не имея вращения) несжимаемой жидкости набегает на бесконечно длинный цилиндр перпендикулярно его образующим, то на участок цилиндра, имеющий длину вдоль образующей, равную единице, действует подъёмная сила Y, равная произведению плотности среды на скорость v потока на бесконечности и на циркуляцию Г скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый цилиндр, т. е.

Y =ρvГ.

Направление подъёмной силы получается из направления вектора скорости на бесконечности поворотом его на прямой угол против направления циркуляции.

Теорема Жуковского справедлива при дозвуковом обтекании профиля сжимаемой жидкостью (газом). Для звуковой и сверхзвуковых скоростей обтекания теорема Жуковского в общем виде не может быть доказана.

Теорема Жуковского легла в основу современной теории крыла и гребного винта. С помощью теоремы Жуковского могут быть вычислены подъёмная сила крыла конечного размаха, тяга гребного винта, сила давления на лопатку турбины и компрессора и др.

Таким образом, подъёмная сила возникает вследствие несимметрии обтекания тела средой.

Например, при обтекании крыла самолёта (рис. 17.17) частицы среды, обтекающие нижнюю поверхность, проходят за тот же промежуток времени меньший путь, чем частицы, обтекающие верхнюю, более выпуклую поверхность и, следовательно, имеют меньшую скорость.

Но, согласно уравнению Бернулли, там, где скорость частиц меньше, давление среды больше и наоборот. В результате давление среды на нижнюю поверхность крыла будет больше, чем на верхнюю, что и приводит к появлению подъёмной силы.

Несимметричное обтекание крыла можно представить как результат наложения на симметричное течение циркуляционного потока вокруг контура крыла, направленного на более выпуклой части поверхности в сторону течения, что приводит к увеличению скорости, а на менее выпуклой - против течения, что приводит к её уменьшению.

Тогда подъёмная сила Y будет зависеть от величины циркуляции скорости Г и, согласно Жуковского теореме, для участка крыла длиной L, обтекаемого плоскопараллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости, справедливо выражение

Y = ρuГL,

где ρ - плотность среды, u - скорость набегающего потока.

Поскольку Г имеет размерность [ulρ], то подъемную силу можно выразить равенством, обычно применяемым в аэродинамике

где S - величина характерной для тела площади (например, площадь крыла в плане), с_у - безразмерный коэффициент подъемной силы, зависящий от формы тела, его ориентации в среде и чисел Рейнольдса Re и Маха М. Значение с_у определяют теоретическим расчётом или экспериментально.

Рис. 1.17. Обтекание профиля крыла самолёта

Скорость V_н < V_в, давление р_н > р_в, Y - подъёмная сила крыла.

3.3.2. Аэродинамические сила и момент

Аэродинамические сила и момент - величины, характеризующие воздействие газообразной среды на движущееся в ней тело (например, на самолет).

Силы давления и трения, действующие на поверхности тела, приведенные к равнодействующей R этих сил, называются аэродинамической силой, и к паре сил с моментом М, называются аэродинамическим моментом.

Аэродинамическую силу раскладывают на составляющие в прямоугольной системе координат (рис. 17.18), связанной либо с вектором скорости тела v (поточная, или скоростная, система координат), либо с самим телом (связанная система). В поточной системе сила, направленная по оси потока в сторону, противоположную направлению движения тела, называется аэродинамическим сопротивлением Х, перпендикулярная ей и лежащая в вертикальной плоскости - подъёмной силой У, а перпендикулярная к ним обеим - боковой силой Z. В связанной системе координат аналогом первых двух сил являются тангенциальная Т и нормальная N силы.

Рис. 1.18. Разложение аэродинамической силы на составляющие в поточной системе координат X, Y, Z и в связанной системе Т, N, Z;

ось Z на рисунке не изображена, она перпендикулярна плоскости чертежа

Аэродинамический момент играет важную роль в аэродинамическом расчёте летательных аппаратов, определяя их устойчивость и управляемость, и представляется обычно в виде трёх составляющих - проекций на оси координат, связанных с телом (рис. 17.19): Mx (момент крена), My (момент рыскания) и Mz (момент тангажа). Знаки моментов положительны, когда они стремятся повернуть тело соответственно от оси у к оси z, от оси z к оси х, от оси х к оси у.

Рис. 1.19. Проекции аэродинамического момента на оси координат:

M_x - момент крена; M_y - момент рыскания; M_z - мoмeнт тангажа

Аэродинамическая сила и аэродинамический момент зависят от формы и размеров тела, скорости его поступательного движения и ориентации к направлению скорости, свойств и состояния среды, в которой происходит движение, а в некоторых случаях и от угловых скоростей вращения и от ускорения движения тела.

3.3.3. Аэродинамические коэффициенты профиля

Аэродинамические коэффициенты - безразмерные величины, характеризующие аэродинамические силу и момент, действующие на тело, движущееся в жидкой или газообразной среде.

Аэродинамические коэффициенты силы C_R находят как отношение аэродинамической силы R к скоростному напору ρv²/2  и характерной площади S, а эродинамические коэффициенты момента C_М - как отношение аэродинамического момента М к ρv²/2, S и к характерной длине l , т. е.

 

где ρ - плотность среды, в которой движется тело, v - скорость тела относительно этой среды, S - характерная площадь, l - характерная длина.

Характерные размеры выбираются достаточно произвольно, например для самолёта S - площадь несущих крыльев (в плане), а l - длина хорды крыла; для ракеты S - площадь миделевого сечения (миделевое сечение - наибольшее по площади сечение движущегося в воде или воздухе тела плоскостью, перпендикулярной направлению движения), а l - длина ракеты.

Выражение аэродинамических сил и моментов в форме аэродинамических коэффициентов имеет большое значение для аэродинамических исследований и расчётов, существенно их упрощая. Так, например, аэродинамическая сила, действующая на самолёт, может достигать значений в сотни и тысячи кн (десятки и сотни mс), та же сила, действующая на модель этого самолёта, испытываемую в аэродинамической трубе, составляет десятки ньютонов (н), но аэродинамические коэффициенты для самолёта и для модели равны между собой. Или, например, аэродинамическая сила, действующая на шар, падающий с большой высоты на землю, зависит от высоты и скорости падения шара, а аэродинамический коэффициент является постоянной величиной.

Для аппаратов больших размеров, летящих на малой высоте с дозвуковой скоростью, для которых число Маха (М-число) М < 0,2, аэродинамические коэффициенты зависит только от формы летательного аппарата и угла атаки (угла между характерной плоскостью и направлением скорости полёта). В общем случае аэродинамические коэффициенты зависят от вязкости и сжимаемости газа, характеризуемой безразмерными критериями подобия: М-числом и Рейнольдса числом.

3.3.4. Определение аэродинамических коэффициентах профиля

Если аэродинамическую силу и момент разложить на составляющие по осям, то соответственно будем иметь: аэродинамические коэффициенты сопротивления - C_x, подъёмной и боковой сил - С_у и C_z, а также аэродинамические коэффициенты моментов крена, рыскания (небольшие угловые отклонения от курса (попеременно в обе стороны) относительно вертикальной оси летательного аппарата, судна) и тангажа (угловое движение летательного аппарата или судна относительно главной поперечной оси инерции).

Коэффициент сопротивления C_x - безразмерный коэффициент, характеризующий аэродинамическое сопротивление, с помощью которого аэродинамическое сопротивление  R_x определяется как

где ρ - плотность невозмущённой среды, v - скорость движения тела относительно этой среды, S - характерная площадь тела.

Численные значения C_x обычно определяют экспериментально, измеряя аэродинамические сопротивления моделей в аэродинамических трубах и других установках, используемых при аэродинамическом эксперименте. Теоретическое определение аэродинамического сопротивление возможно лишь для ограниченного класса простейших тел.

Коэффициент подъемной силы с_у - безразмерный коэффициент, зависящий от формы тела, его ориентации в среде и чисел Рейнольдса Re и Маха М. Значение с_у определяют теоретическим расчётом или экспериментально.

Так, согласно теории Жуковского, для крыла в плоскопараллельном потоке при небольших углах атаки

с_у=2m(α-α₀),

где α- угол атаки (угол между направлением скорости набегающего потока и хордой крыла); α₀ - угол нулевой подъемной силы; m - коэффициент, зависящий от формы профиля крыла, например для тонкой слабо изогнутой пластины m = p.

В случае крыла конечного размаха L коэффициент m = p, где l = L / b - удлинение крыла.

В реальной жидкости в результате влияния вязкости величина m меньше теоретической, причём эта разница возрастает по мере увеличения относительной толщины профиля; значение угла α₀ также меньше теоретического.

Кроме того, с увеличением угла α зависимость с_у от α (рис. 17.20) перестает быть линейной и величина dc_y/dα монотонно убывает, становясь равной нулю при угле атаки a_кр, которому соответствует максимальная величина коэффициента подъемной силы - с_у,мах.

Дальнейшее увеличение а ведёт к падению с_у вследствие отрыва пограничного слоя от верхней поверхности крыла. Величина c_ymax имеет существенное значение, т.к. чем она больше, тем меньше скорость взлёта и посадки самолёта.

При больших, но докритических скоростях, т. е. таких, для которых М<М_кр (M_кр - значение числа М набегающего потока, при котором вблизи поверхности профиля местные значения числа М=1), становится существенной сжимаемость газа.

 Для слабо изогнутых и тонких профилей при малых углах атаки сжимаемость можно приближённо учесть, положив

Рис. 1.20. Зависимость с_у от a.

При сверхзвуковых скоростях характер обтекания существенно меняется. Так, при обтекании плоской пластины у передней кромки на верхней поверхности образуются волны разрежения, а на нижней - ударная волна (рис. 17.21).

Рис. 1.21. Схема сверхзвукового обтекания пластинки:

nв > n1, рв < p1; n2 < nв, р2 > рв; nн < n1, рн > n1; n3> nн, p3 < рн.

В результате давление р_н на нижней поверхности пластины становится больше, чем на верхней (р_в); возникает суммарная сила, нормальная к поверхности пластины, составляющая которой, перпендикулярная к скорости набегающего потока, и есть подъёмная сила.

Для малых М>1 и малых α оэффициент подъемной силы пластины может быть вычислена по формуле

Эта формула справедлива и для тонких профилей произвольной формы с острой передней кромкой.

Бесплатная лекция: "8 Влияние влажности топлива" также доступна.

Аналогично определяют аэродинамические коэффициенты сопротивления боковой силы C_z, а также аэродинамические коэффициенты моментов крена, рыскания  и тангажа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В лекции рассмотрены основные закономерности движения жидкостей в трубопроводах. Настоящая лекция является теоретической базой для студентов строительных специальностей ву­зов, т. к. гидравлические расчеты широко применяются при проектировании систем водоснабжения и водоотведения и т. д.