Тема 7. Ряды динамики

7.1. Ряды динамики и правила их построения

Ряд динамики – ряд расположенных в хронологической последовательности числовых показателей. Каждый ряд динамики состоит из двух элементов:

1) время – моменты или периоды времени, к которым относятся приводимые показатели;

2) уровни ряда – показатели на определенный момент или за период времени.

Если уровни ряда динамики приурочены к какому – то моменту времени (напр. на первое число месяца, квартала или года), то такой ряд называется моментным. В том случае когда уровни ряда относятся к периоду времени (году, кварталу, месяцу и т.д.), такой ряд называется интервальным или периодическим.

Важное аналитическое отличие этих рядов состоит в том, что сумма уровней периодических рядов дает вполне реальный показатель, сумма же уровней моментного ряда реального содержания не имеет.

Примером моментного ряда динамики может служить ряд, характеризующий изменение количества ИТК в России на начало года:

Таблица 7.1

В табл. 7.2 приведен периодический ряд динамики.

Таблица 7.2

При построении временного ряда прежде всего должна быть обеспечена одинаковая полнота охвата различных частей явления. Это требование означает, что уровни ряда за отдельные периоды времени должны характеризовать размер явления по одному и тому же кругу входящих в него частей.

В случаях изменения состава явления применяют прием смыкания. Так в УК РСФСР с 1994 г. существенно был расширен перечень тяжких преступлений, а в соответствии с УК 1996 г. этот перечень был принципиально изменен. Чтобы привести ряд динамики тяжких преступлений за 1991-1997 г.г. к сопоставимому виду применяют прием смыкания рядов динамики, при котором абсолютные уровни заменяются относительными, обычно выраженными в процентах.

Таблица 7.3

Динамика тяжких преступлений в районе (1991-1996 гг.)

Для получения сомкнутого ряда данные о количестве тяжких преступлений за 1994 г. принимаем за 100 % как для последующих, так и предыдущих лет. Следовательно за 100% для последующих лет будет взята величина 138, а для предыдущих – 75. Деля все предыдущие уровни на 75, а последующие на 138 и получим сомкнутый ряд динамики тяжких преступлений (в % к 1994 г.).

Таблица 7.4

Ряды динамики тяжких преступлений в районе (1991–1996 гг.).

Для обеспечения сравнимости уровней ряда динамики необходимо использовать единую методику их расчета. Особенно часто эта проблема возникает при международных сопоставлениях.

Непременное условие сопоставимости уровней временных рядов – одинаковость территориальных границ и единиц измерения. Если происходит их изменение, то также применяют прием смыкания.

Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней. Если же такие пропуски неизбежны, их восполняют условными расчетными значениями.

Одним из условий сопоставимости уровней периодических рядов динамики является равенство периодов времени за которые приводятся данные.

Если это требование нарушается, то исходный ряд преобразуется так, чтобы периоды времени были равными. Например:

Таблица 7.5

Преобразуем этот ряд в ряд среднемесячных данных:

Таблица 7.6

В моментных рядах динамики уровни ряда должны относиться к одной и той же фазе движения, т. е. по состоянию на какую – либо одну и ту же дату (например 1, 5, 10, 15, 31 число каждого месяца, квартала, года).

Несопоставимость статистических показателей рядов динамики может быть обусловлена и различной структурой совокупности за разные годы. Например, коэффициенты преступной  активности населения в значительной мере связаны с возрастной структурой населения, которая различна в различные годы. Для приведения данных к сопоставимому виду можно использовать так называемую стандартизацию структуры. В качестве стандартной структуры может приниматься, например, структура одного из периодов времени, а все коэффициенты других периодов рассчитываются по этой структуре.

Поскольку каждый отдельный ряд динамики отражает изменение отдельных социальных явлений, он не дает возможность решить задачу выявления взаимосвязи явлений. Поэтому нужно стремиться не только к построению отдельных изолированных рядов динамики, а системы взаимосвязанных рядов. Именно системы рядов играют большую роль в углублении анализа, в раскрытии причинной зависимости явлений.

7.2. Показатели ряда динамики и методы их расчета

Для характеристики скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики рассчитывается система цепных и базисных показателей.

Показатели динамики с переменной базой (цепные показатели) характеризуют интенсивность изменения уровня от периода к периоду (или от даты к дате).

Показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели) характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда от периода, к которому относятся базисный уровень, до данного (i-того) периода.

В результате такого сравнения вычисляют систему показателей, в которую включаются абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста, темп прироста и абсолютное значение одного процента прироста.

Абсолютный прирост (D) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает на сколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения.

Базисный абсолютный прирост вычисляется по формуле:

.

Цепной абсолютный прирост будет равен:

.

В этих формулах - уровень сравниваемого периода,  – уровень базисного периода, - – уровень предшествующего периода.

Коэффициент роста (К) определяется как отношение двух сравниваемых уровней и показывает, во сколько раз данный уровень превышает уровень, принятый за базу сопоставления.

При сравнении с постоянной базой

:.

При сравнении с переменной базой

:.

Коэффициенты роста, выраженные в процентах, называются темпами роста:

.

Темп прироста (t)  показывает на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) уровня, взятого за базу сравнения. Этот показатель может быть рассчитан двояко:

как разность между темпом роста и 100%.

,

2) как отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения

    (базисный), или

   (цепной).

Абсолютное значение одного процента прироста (А) рассчитывается делением абсолютного прироста на темп прироста. Этот показатель вычисляется только как цепной.

.

Если эту формулу преобразовать, то получим следующее выражение:

.

Для обобщающей характеристики динамики уровней определяют:

1)средние уровни ряда;

2) средние показатели изменения уровней.

Для моментного ряда динамики средний уровень вычисляют по формуле средней хронологической (если промежутки времени между датами одинаковы)

,

где  – число уровней ряда,

 – уровни ряда

Если промежутки времени между датами различны, то средний уровень определяется по формуле средней арифметической взвешенной, а в качестве веса (t) берется продолжительность времени между датами ().

Для периодического (интервального) ряда динамики средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

.

Средний коэффициент роста определяется по формуле средней геометрической:

            или    ,

где  K₁, K₂, K₃, …..K_n- цепные коэффициенты роста,

средний темп роста: ,

средний темп прироста: .

Проведем расчеты изложенных показателей по данным табл. 7.7.

Таблица 7.7

Динамика преступности в районе

Коэффициент частоты преступлений по сравнению с первым уровнем ряда (1995 г.) ежегодно значительно возрастает, а по сравнению с каждым предшествующим годом рост снижается.

Здесь коэффициент 1,012 показывает, что количество преступлений на 100 тыс. населения в 1999 г. возросло по сравнению с 1998 г. в 1,012 раза, а коэффициент 1,249 говорит о том, что количество преступлений в 1999г. по сравнению с 1995г. возросло в 1,249 раза и т. п.

Наблюдается снижение цепных темпов роста уровня преступности и рост базисных темпов роста.

Следовательно, уровень преступности в 1999 г. по сравнению с 1998 г.  возрос на 1,2%, а по сравнению с 1995 г. на 24,9% и т. д.

Абсолютное значение 1% прироста:

:10,9=28   или   2 800:100=28,

:6,9=31     или   3 105:100=31,

:4,2=33     или   3 318:100=33,

:1,2=34      или   3 456:100=34.

Среднегодовой коэффициент роста:

.

В среднем за 1995-1999 годы уровень преступности возрастал ежегодно в 1, 057 раза.

Среднегодовой темп роста:

.

Среднегодовой темп прироста:

.

В среднем уровень преступности ежегодно возрастал на 5,7%.

Средний уровень преступности за 1995-1999 г. г. составил:

преступлений на 100 тыс. человек населения района.

7.3. Измерение сезонности

Уровни рядов динамики, слагаясь под совместным влиянием систематических и случайных факторов, иногда испытывают воздействие причин, обусловленных периодичностью колебаний. Сезонные колебания – это внутригодичные колебания уровней динамического ряда. Они выражаются в том, что в отдельные месяцы года уровни возрастают,  в другие – снижаются. Потребление энергии, перевозки пассажиров, спрос на отдельные виды продукции, например, носят сезонный характер. Сезонные колебания характерны и для ряда показателей правовой статистики: поступление жилищных дел в суды, имущественные преступления, преступления против личности.

Для измерения сезонных колебаний статистикой предложены различные методы, одним из которых является построение индексов сезонности.

Наиболее простой прием расчета индексов сезонности в рядах динамики, которые обнаруживают тенденцию к росту или снижению уровней за каждый месяц по годам состоит в том, что данные за отдельные месяцы соотносятся со среднемесячным уровнем данного года, а затем из полученных по каждому месяцу величин исчисляется средняя арифметическая. Этот метод расчета индексов сезонности изложен в табл. 7.8.

Среднемесячный уровень за 1997, 1998, 1999 г.г. определяется делением годового количества преступлений на 12 месяцев. А затем уровень каждого месяца относится к среднемесячному уровню соответствующего года. Результаты этих расчетов, выраженные в процентах, отражены в графах 5, 6, 7 табл. 7.8.

Индексы же сезонности определяются как величина средняя арифметическая простая из помесячных данных.

За январь:    (74,6+74,2+73,9):3=74,2%, за февраль:

За февраль: (77,9+77,4+77):3=77,4% и т. д.

Для количественного измерения силы сезонных колебаний применяются показатели вариации.

Приближенное представление о мере сезонности дает размах вариации колебаний, который вычисляется по каждому ряду динамики. Его расчет осуществляется, вычитанием из максимального индекса сезонности минимального индекса.

Таблица 7.8

    Например, по данным таб. 7.8 размахи колебаний составили:

1997 г.              121,5-74,6=46,9%.

1998 г.              123,6-74,2=49,4%.

1999 г.              126,5-73,5=52,6%..

Сравнение размахов колебаний за несколько лет позволяет судить о направлении в изменении сезонности. Так по данным нашего расчета видно что происходит усиление сезонных колебаний.

Однако размах вариации не дает полного представления о глубине сезонных колебаний, т. к. опирается только на два экстремальных значения индексов сезонности.

Поэтому рассчитывается коэффициент сезонности колеблемости методом среднего квадратического отклонения:

.

Для нашего примера:

При исчислении показателей колеблемости из сезонной волны (индексов сезонности) среднее квадратическое отклонение тождественно коэффициенту вариации, т. к. средней величиной для индексов сезонности является 100.

Сравнение коэффициентов сезонности, вычисленных за несколько периодов, покажет сдвиги в сезонности. Если эти показатели уменьшаются, значит сезонный характер преступности идет на убыль.

Рассмотрим вычисление сезонной волны в стабильном ряду динамики, в котором нет ярко выраженной тенденции к росту или снижению, когда внутригодичные колебания происходят вокруг некоторого постоянного уровня – . Индексы сезонности в этом случае исчисляются по формуле:

   (2.1.1)

где  – средняя из фактических уровней одноименных месяцев;

       – общая средняя за исследуемый период.

Рассчитаем индексы сезонности по данным о перевозке грузов автотранспортным предприятием за три года (см. табл. 7.9.).

Как видно из приведенных данных, ярко выраженной тенденции к росту или снижению объема перевозок в ряду динамики не наблюдается.

Индексы сезонности исчисляются в три этапа:

1. Рассчитываются среднемесячные уровни перевозок () поданным за три года по формуле средней арифметической простой (гр.6 = гр. 5 : 3). Это позволяет избавиться от случайных колебаний месячных уровней.

Таблица 7.9

2. Определяется общая средняя за исследуемый период () делением общего итога графы 5 на 36 месяцев (39510 : 36 = 1097,5).

3. Исчисляются индексы сезонности, которые представлены в графе 7 табл. 7.9.

Рассмотрим анализ сезонных колебаний по методу Персонса

Измерение сезонности методом У. Персонса применяется в рядах динамики, отражающих развитие явлений, общая тенденция которых изменяется по средней геометрической, т.е. по сложным процентам. Суть метода У.Персонса заключается в исчислении показателей средней сезонной волны как медианных значений (а не как простых средних арифметических) из цепных отношений. Здесь погрешность, вызванная влиянием общей тенденции, устраняется с помощью среднего коэффициента подъема (или снижения) общей тенденции по средней геометрической. При использовании этого метода первым шагом является вычисление цепных отношений как процентных отношений каждого уровня ряда к уровню ряда предшествующего. Затем исчисляют средние из медианных значений. Медиана за первый отрезок времени принимается за единицу (или 100 %), а для остальных периодов средние исчисляются путем  последовательного  перемножения  медианных средних (см. табл. 7.10.). При перемножении преобразованного медианного значения за четвертый квартал на медианное значение первого квартала должна получиться единица (100,0 %). Однако результат обычно бывает больше единицы или меньше ее, поскольку он отражает действительность, на развитие которой оказывает влияние общая тенденция увеличения или уменьшения.

Таблица 7.10

При анализе сезонности методом относительных величин разность теоретического и действительного исключалась равномерно из каждого квартального показателя, а в способе У. Персонса исключение разности основано на применении формулы сложных процентов.

Измерим сезонные колебания по данному методу, используя условные данные о продаже сахара в городе по кварталам за шесть лет, рассчитав на их основе вначале цепные отношения (темпы роста).

Относительные числа сезонности продажи сахара по данным табл. 7.10 рассчитаем в нижеследующей таблице:

Таблица 7.11

Определим среднеквартальные показатели как медианные значения из цепных отношений уровней продажи, расположенных по возрастающим значениям, а не по значениям времени возникновения.

Для первого квартала ранжированный ряд цепных отношений будет иметь вид: 88,11; 88,72; 92,27; 96,46; 103,12. Медиана этого ряда – 92,72 – центральный член нечетного числа членов ряда.

Для второго квартала ранжированный ряд цепных отношений следующий: 92,48; 100,5; 101,46; 107,41; 108,67; 115,35. Медиана этого ряда рассчитывается как средняя двух центральных членов ряда четного числа членов (101,46 + 107,41) : 2 = 104,435.

Таким же образом определяются медианные значения для третьего и четвертого кварталов из их цепных отношений (см. табл.7.12.)

Таблица 7.12

Медианные значения, исчисленные из цепных отношений, необходимо преобразовать в базисные, приняв за основание медиану первого квартала. Значение для второго квартала в отношении к первому уже было установлено – 104,435 %, для третьего квартала оно определяется перемножением показателя второго квартала на медианное значение из цепных отношений третьего квартала(104,435 · 117,7):100; для четвертого квартала – (122,92 ·80,78): 100.

Перемножение преобразованного значения за четвертый квартал на медианное значение первого квартала (99,29 · 92,72):100 =92,06 обнаруживает, что под влиянием общей тенденции развития ряда динамики к снижению, сезонные колебания сдвинулись на –7,94 %  (92,06 – 100).

Исправление погрешности по методу У. Персонса (–7,94 %)основано на предположении развития ряда динамики по формуле сложных процентов. Величина ошибки характеризуется ежеквартальным увеличением или уменьшением, вызванным общей тенденцией. Ежеквартальная поправка исчисляется по следующей формуле:

где r – коэффициент поправки;

      y_n – последний уровень ряда динамики;

      y₁ – начальный уровень;

      n – число уровней.

Для нашего примера эта поправка составит:

По методу Персонса для исключения общей тенденции, т.е. для того, чтобы выразить только сезонные колебания, необходимо преобразованные медианные значения уменьшить в следующих отношениях: для второго квартала 104,435 : 0,9795 = 106,62; для третьего -122,92 : (0,9795 - 0,0205) = 122,92 : 0,959 = 128,175 ; для четвертого - 99,29 : (0,959 - 0,0205) = 99,29 : 0,9385 = 105,77.

Таким образом, исчислены сезонные колебания в чистом виде, но средняя сезонных колебаний составляет 110,14 % , а по выправленной сезонной волне должна быть равной 100 %. Принимая среднюю арифметическую (110,14 %) из исправленных сезонных колебаний за100 %, определяем непосредственно сезонную волну:

для первого квартала                        

для второго квартала                         

для третьего квартала                       

для четвертого квартала                   

При исчислении средних как медианных значений редкие случайные отклонения не сказываются на индексах сезонности, они не принимаются в расчет. Однако исключение общей тенденции по этому методу производится по сложным процентам, а в действительности же, как было показано выше, развитие ряда динамики может происходить по самым различным траекториям. Поэтому правильнее при анализе сезонности явлений, в которых наблюдается тенденция увеличения или снижения , прежде всего установить форму связи между изменениями времени и уровнями явления, определить общую тенденцию развития явления, исключить ее, а потом уже исчислять показатели сезонности и производить их анализ.

7.4. Выявление основной тенденции ряда динамики

Выявление основной тенденции развития (тренда) динамического ряда предполагает ее количественное выражение, в определенной мере свободное от случайных воздействий. Выявление основной закономерности осуществляется методами выравнивания.

Наиболее простым приемом обнаружения общей тенденции развития явления является укрупнение интервала динамического ряда. Суть этого приема состоит в том, что исходный ряд динамики заменяется другим, уровни которого относятся к большим по продолжительности периодам времени.

Вновь образованный ряд может содержать или абсолютные или средние величины, в которых взаимопогашаются случайные отклонения и обнаруживается основная линия развития, обусловленная действием основных факторов.

При выявлении основной тенденции методом скользящей средней по-особому укрупняются интервалы времени. Каждый последующий  интервал получают постепенно сдвигаясь от начального уровня динамического ряда на один уровень. Так первый интервал будет включать уровни ; второй уровни  ; третий –  и т. д.

Таким образом, скользящая средняя – это подвижная динамическая средняя, которая подсчитывается по динамическому ряду при последовательном передвижении на один срок. По укрупненным интервалам рассчитывается скользящая средняя, которая относится к середине укрупненного интервала. Если же интервал берется по четному числу уровней, то производится центрирование, т. е. нахождение средней из средних для отнесения полученного уровня, к отдельному моменту (периоду) времени.

Проиллюстрируем эти два приема нахождения основной тенденции ряда на числовом примере.

Таблица 7.13

Способ укрупнения интервалов.

В качестве укрупненного интервала возьмем три года и рассчитаем процент раскрываемости преступлений в среднем за каждое трехлетие:

1990-1992 г.г.                   (67,6+67+70,1):3=68,2%,

1993-1995 г.г.                   (74,.8+78,1+76,6):3=76,5%,

1996-1998 г.г.                  (78,1+77,9+78,8):3=78,3%.

Недостатком рассмотренного способа является то, что при его использовании из поля зрения выпадает процесс изменения внутри укрупненных интервалов.

Способ скользящей средней.

Продолжительность периода, который включается в расчет при исчислении скользящей средней также возьмем равным трем годам:

1991г. (67,6+67+70,1):3=68,2,

1992г. (67+70,1+74,8):3=70,6,

1993г. (70,1+74,8+78,1):3=74,,3

1994г. (74,8+78,1+76,6):3=76,5,

1995г. (78,1+76,6+78,1):3=77,6,

1996г. (76,6+78,1+77,9):3=77,5,

1997г. (78,1+77,9+78,8):3=78,3.

Скользящая средняя действительно помогла более отчетливо выявить тенденции в развитии изучаемого показателя.

Возникает вопрос какой период укрупнения интервала (скользящей средней) следует брать? Если в изучаемом ряду динамики имеются периодические колебания, то период скользящей средней (укрупненный интервал) следует брать равным периоду (циклу колебания). Если в ряду периодические колебания отсутствуют, то период скользящей или ступенчатой средней начинают с наименьшего возможного укрупненного интервала ( у нас – двухгодичного). При необходимости ( в тех случаях когда тенденция сразу не выявляется) переходят к следующему возможному интервалу до тех пор, пока не будет более или менее ясно выступать тенденция развития.

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание ряда динамики. Суть выравнивания состоит в том, что исходные данные могут быть приближенно выражены определенным математическим уравнением, которое подбирается на основе теоретического анализа. При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно  изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция времени . Чаще всего при выравнивании используются линейная, параболическая, экспоненциальная зависимости.

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе не обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста).

Чаще всего на практике приходится иметь дело с выравниванием по прямой.

Применительно к динамическим данным уравнение прямой можно записать так:

,

где  - ординаты прямой, т. е. выравненные уровни ряда;

t – порядковый номер периода или момента времени, к которому относятся данные;

а и в – параметры прямой.

Параметры а и в рассчитываются по методу наименьших квадратов:

В целях упрощения расчетов параметров а и в систему можно упростить. Для этого отсчет времени следует вести так, чтобы сумма показателей времени ряда  была равна нулю. В этом случае при нечетном числе уровней ряда динамики, уровень находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (этому периоду или моменту времени придается нулевое значение). Даты времени, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1, -2, -3 и т.д.), а ниже – со знаком плюс (+1, +2, +3 и т.д.) (см. гр 3. табл. 7.14).

Если число уровней ряда четное, рекомендуется обозначить периоды верхней половины ряда (от середины) –1, -3, -5 и т. д., а нижней половины +1,+3,+5 и т. д.

    При условии, что , система нормальных уравнений принимает вид:

,

откуда      .

Выравняем ряд динамики раскрываемости преступлений по прямой, для чего расчет параметров уравнения произведем в таб. 7.14.

Таблица 7.14

Используя итоги граф 2,4,5 определим параметры уравнения прямой:

а = 669:9=74,33;      в = 95,3:60=1,588

Записываем уравнение прямой:

.

Подставляя значение t (гр3 табл. 7.14) рассчитаем для каждого года теоретические значения:

1990г.   

1991г.     и т. д. (см гр. 6 табл. 7.14).

Вам также может быть полезна лекция "16 Экологический механизм управления природопользованием и охраной окружающей среды".

Правильность расчета уровней выравненного ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда (итог гр. 2) должна совпадать с суммой выравненных уровней (итог гр. 6):.

Нахождение значений ряда динамики для последующих периодов на основе тенденции, наблюдавшейся в прошлом, называется экстраполяцией. По данным уравнения прямой можно экстраполировать уровни для последующих лет. Так, если подставить в уравнение значение t=5, можно найти уровень раскрываемости  преступлений в 1999 г. равный 82,47%.

Возможность проведения экстраполяции основана на следующих положениях:

1) Общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпевают существенных изменений в будущем;

2) тенденция развития явления характеризуется тем или  иным аналитическим уравнением.

Значение , полученное в результате экстраполяции, используют для определения прогнозного значения на будущее.