Кривые пирсона и распределение пирсона

5. кривые пирсона и распределение пирсона

Кривые Пирсона это название семейства непрерывных рас­пределений вероятностей (распределений Пирсона), плотно­сти которых  удовлетворяют дифференциальному уравнению

 ……………………… (*)

где параметры  — действительные числа. Более точ­но, кривыми Пирсона называются графики зависимости  от . Распределения, являющиеся решениями уравнения (*), совпадают с предельными формами гипергеометрического распределения. Кривые Пирсона классифицируются в зависимости от ха­рактера корней уравнения

Семейство кривых Пирсона составляют 12 типов и нормальное распре­деление. Многие важнейшие распределения в математической статистике могут быть получены с помощью преобразований из уравнения (*).

Систематическое описание типов кривых Пирсона дано английским учёным У. Элдертоном (1938). В упрощённом виде классифи­кация по типам такова.

Тип 1:

, , ;

частный случай — бета-распределение 1-го рода.

Рекомендуемые материалы

Тип II:

, , .

(вариант кривой Пирсона типа I); частный случай — равномерное распре­деление.

 Тип III.

, , , .

частные случаи — гамма-распределение, хи-квадрат распре­деление.

Тип IV.

, , , .

Tип V:

, , а>0,

(сводится преобразованием к типу III).

Тип VI:

, , ;

частные случаи — бета-распределение 2-го рода, Фишера -распределение.

Тип VII:

, , ;

частный случай — Стьюдента распределение.

Тип VIII:

, , .

Тип IX:

, , .

Тип X:

, ,

 — показательное распределение.

Тип XI:

, , ;

частный случай — Парето распределение.

Тип XII:

, ,

(вариант типа I).

Наиболее важны в приложениях типы 1,111,VI.VII.

Всякая кривая Пирсона однозначно определяется своими первыми че­тырьмя моментами

,

если они конечны. Это свойство семейства кривых Пирсона используется для приближённого описания эмпирических распределений.

Метод подгонки кривых Пирсона к некоторому эмпирическому распре­делению состоит в следующем. По независимым результатам наблюдений вычисляют первые четыре выборочных момента, затем определяется тип подходящей кривой Пирсона и методом моментов находятся значения неизвестных параметров искомой кривой Пирсона. В общем случае метод моментов не является эффективным мето­дом получения оценок кривых Пирсона. Проблема более точной аппрокси­мации распределений с помощью кривых Пирсона получила новое реше­ние в работах отечественного учёного Л. Н. Большева (1963) по асимптотическим преобразованиям.

Кривые Пирсона были введены английским математиком К. Пирсоном (1894).

Вместе с этой лекцией читают "Лишайники".

Распределение Пирсона это семейство распределений вероятностей, плотности которых  удовлетворяют диф­ференциальному уравнению

,

где  — действительные числа. Соответствующие графики , изображающие зависимость плотности ве­роятности от , называются обычно кривыми Пирсона. Распределения Пирсона классифицированы в зависимости от значений параметров  и области изменения . Семейство распределений Пирсона образуют 12 типов и нормальное распределение. Примерами распределений Пирсона явля­ются Стьюдента распределение,  распределение. Всякое распределений Пирсона однозначно определяется своими первыми четырь­мя моментами:

,

Это свойство семейства распределений Пирсона используется для описания час­то встречающихся на практике распределений. Метод подгон­ки распределений Пирсона к некоторому эмпирическому распределению состоит в следующем: для независимых результатов наблюдений с не­известной плотностью распределения вычисляются первые че­тыре выборочных момента, определяется тип распределений Пирсона и методом моментов находятся значения неизвестных параметров искомо­го распределения Пирсона.

Распределения Пирсона впервые были применены для приближённого пред­ставления эмпирического распределения английским математиком К. Пирсоном (1894).