Системы счисления, коды, двоичная арифметика

7. Системы счисления, коды, двоичная арифметика.

7.1 Системы счисления.

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах значение конкретной цифры постоянно и не зависит от её расположении в записи числа.

Римская система записи числа: XXXV

В позиционной системе счисления зависимость конкретной цифры определяется её местоположением в записи числа. Так произвольное число R в позиционной системе счисления с основанием q в общем случае можно представить в виде полинома:

            R_q= r_n-1q^n-1 +r_n-2q^n-2+……+ r₀q⁰+……..+ r _-mq ^–m

где r_i- разрядный коэффициент (r_i=0….q=1);

       q_i- весовой коэффициент.

Рекомендуемые материалы

Число q называется основанием системы счисления.

Разряды с положительными степенями q образуют целую часть числа R_q, с отрицательными – дробную.

Цифры r_n-1 и  r _–m соответственно являются старшими и младшим разрядами числа.

            Количество различных чисел, которое может быть записано в позиционной системе счисления с основание q при заданном числе разрядов

                        N=q^n+m

В цифровой технике широкое распространение получила позиционная система счисления с основанием q=2 – двоичная система счисления, имеющая два цифровых знака 0 и 1.

В цифровой технике также используются системы счисления с основанием 4,8,10,16.

Любое цифровое устройство имеет определенное количество разрядов. Совокупность таких разрядов, в которых записывается двоичные числа, называют разрядной сеткой. Эта разрядная сетка используется для записи чисел и команд. Рассмотрим восьмиразрядную сетку:

2⁷ 2⁶ 2⁵ 2⁴ 2³ 2² 2¹2⁰

            0   1  1  1  1  1   1  1              Рис.7.1                    R₂>0    0 1 1 0 1 0 1 1

                                  мантисса числа

                   знак числа                                                      R₂<0   1 1 1 0 1 0 1 1

            Для чисел с фиксированной запятой старший разряд (восьмой) используется для записи знака числа, а остальные семь – мантиссы числа.

Введем  понятие прямого кода, обратного кода, дополнительного кода.

Прямой код                                R₂=         0 1 1 0 1 0 1 1

                                                      R_пр=        0 1 1 0 1 0 1 1

Обратный код                            R₂=         0 1 1 0 1 0 1 1

                                                      R_обр=       1 0 0 1 0 1 0 0

Дополнительный код               R₂=         0 1 1 0 1 0 1 1

                                           R_доп= R_обр+1      1 0 0 1 0 1 0 1

7.2 Двоичная система счисления.

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную

            926 2

            8     463 2

12   4     231 2

12      6   2     115 2

    6    6     3   10   57 2

    6      3   2     15 4   28 2

            2   11   14 17 2   14 2

            1   10     1 16   8 14 7 2

                   1          1   8      6 3 2

                                            1 2 1

                                               1

    0      1     1     1   1   0  0  1 1 1

926₁₀=1110011110

Система счисления – это код, в котором используются специальные символы для обозначения количества каких – либо объектов. В десятичной системе применяются символы 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Общее количество символов в десятичной системе равно 10, и поэтому её иногда называют системой счисления с основанием 10. В двоичной системе счисления используется только два символа 0 и 1, и поэтому её называют системой счисления с основанием 2.

7.3 Двоично–десятичная система счисления 8421.

                                                           Вес разряда

                                   Сотни             Десятки          Единицы

Десятичное число         9                       2                       6

                                    1001                  0010                 0110

7.4 Код с избытком 3.

Код с избытком 3 используется во многих арифметических схемах.

Чтобы представить десятичное число в коде с избытком 3, мы прибавляем 3 к каждой цифре десятичного числа и затем заменяем полученные цифры соответствующими четырехзначными двоичными числами.

                                     Десятичное число                             число в коде с избытком 3

                                         4   +   3  =  7               0111

7.5 Код Грея.

Код Грея применяется во входных и выходных устройствах систем.

7.6 Шестнадцатеричные числа 16

числа по модулю 8,

числа по модулю 4.

Шестнадцатеричная система широко применяется в микропроцессорных цифровых схемах для представления 8 и 16 разрядных двоичных чисел.

Преобразование чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

                                     С   3₁₆

                                                       11000011₂

                                1100  0011₂

Преобразование чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную

1110 1010₂

                         ЕА₁₆

   Е        А

7.7 Буквенно-цифровой код

При работе микро-ЭВМ с видеотерминалами, необходимо прибегать к коду, который одновременно включает в себя числовые и алфавитные знаки. Такие коды называются буквенно-цифровые. Наиболее распространен буквенно-цифровой код АSCII(АСКИ) – стандартный американский код обмена информации.

           U  S  S  R  1  9  1  7

      U         S          S            R 

   101 0101  101 0011  101 0011  101 0010

     1          9          1             7

     011 0001  011 1001  011 0001  011 0111

7.8 Основные арифметические операции.

А₂    1111111                                           X₁₆    67

+                                                               +

В₂                 1                                          Y₁₆    9A

       10000000                                                  101

X₄      22                                                     X₁₆     E

-                                                                    :

Y₄      12                                                     Y₁₆      2

          10                                                                 8

A₂            111   множимое

             *

B₂            101   множитель

                111

              0000

                         111

                      100011

Информация в лекции "13 Плата за земельные участки и оценка" поможет Вам.

Вычитание – сложение с обратным кодом

+  (0)  -  (1)  знак

            А₂      0111     четырехразрядная  сетка

 0010   В₂     1110

1101 стрт

1110 доп      0100