Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ

Применение метода ранговой корреляции не позволяет достаточно точно сделать вывод о характере влияния фактора (систематическое или случайное). Для этого используется метод дисперсионного анализа (ДА), который позволяет оценить значимость дисперсии, обусловленной действием соответствующего фактора, в сравнении с дисперсией, обусловленной действием фактора случайного. Как правило, ДА используется для выявления факторов, слабо влияющих на выходной параметр. Основные предпосылки метода следующие:

ž серии наблюдений представляют собой случайные выборки из генеральных совокупностей, подчиняющихся нормальному распределению,

ž дисперсии, обусловленные ошибкой эксперимента, однородны.

Рассмотрим этапы проведения однофакторного ДА.

1. Из множества факторов, влияющих на рассеяние выходной величины y, выбирается фактор, например А, имеющий наибольшее влияние на это рассеяние. Его делят на несколько  (k) уровней: А₁...А_к. Остальные факторы являются фоном (ошибкой эксперимента), их рандомизируют.

2. На каждом i-м уровне фактора для повышения точности и оценки фактора случайности проводится по n наблюдений с целью измерения выходного параметра (функции отклика). (Для упрощения расчетов целесообразно число параллельных опытов сделать одинаковым.) Результаты измерений заносятся в таблицу (табл. 2).

 Таблица 2.

3. При соблюдении условия воспроизводимости эксперимента по данным таблицы вычисляются оценки дисперсии, связанные с

-   изменением уровней исследуемого фактора, т.е. дисперсия между выборками s_A² :

(21)

где в числителе стоит сумма квадратов отклонений средних значений выходного параметра на каждом уровне исследуемого фактора от главного экспериментального среднего, определяемого по формуле:

(22)

-  и ошибкой эксперимента, т.е. дисперсией, характеризующей рассеяние внутри выборок,  s_ош²:

(23)

где s_i² – дисперсия внутри i-ой выборки.

4. Для проверки гипотезы об отсутствии эффекта уровней исследуемого фактора используется критерий Фишера:

(24)

Если расчетное значение критерия окажется меньше табличного, которое находится исходя из заданного уровня значимости и чисел степеней свободы f₁=k-1 и f₂=kn-k, то делается вывод о том, что результаты эксперимента не противоречат выдвинутой гипотезе. В противном случае следует сделать вывод о том, что исследуемый фактор вносит существенный эффект в разброс выходной величины y.

ДА более эффективно применять при значительном объеме выборки, поскольку при этом удается выделить даже слабое влияние фактора на фоне шума. ДА можно использовать и при оценке нескольких факторов (как правило, не более трех) – двух- и трех- факторные ДА. В этом случае удается выявить (или констатировать отсутствие) влияние не только самих факторов, но и их взаимодействий.

Двухфакторный ДА при отсутствии параллельных наблюдений применяется для изучения влияния на процесс одновременно факторов А и В, между которыми нет взаимодействия (табл. 3). 

Таблица 3

             Чтобы оценить фактор случайности, следует определить средневзвешенную дисперсию по столбцам, обусловленную влиянием фактора В и фактора случайности (S²_B – S²_ош), и вычесть из нее рассеяние в средних по строчкам, связанное с влиянием фактора В и фактора случайности (учитывая, что дисперсия среднего в  n раз меньше дисперсии единичного измерения: S²_B – S²_ош / k). После преобразований получится, что:

(25)

с числом степеней свободы (k-1)(n-1).

          Рассеяние в средних по столбцам относительно общего среднего не зависит от фактора В, т.к. все уровни фактора В усреднены, а только от влияния факторов А и случайного, тогда:

(26)

c числом степеней свободы k-1.

          Рассеяние по строчкам не зависит от фактора А и:

(27)

с числом степеней свободы n-1.

             Далее проверяют последовательно нулевые гипотезы о незначимости факторов А и В по критерию Фишера (см. однофакторный ДА).

             Введение еще одного исследуемого фактора приводит к необходимости проведения трехфакторного ДА, в этом случае эксперимент проводится в соответствии со специальным планом, который называется латинский квадрат. При этом факторы разбиваются на одинаковое число уровней, как правило, не меньшее 4, при этом уровни первого фактора располагаются по столбцам плана, уровни второго – по строкам, а уровни третьего, обозначенные латинскими буквами, - в поле плана, причем их комбинация должна быть такой, чтобы каждая буква встречалась в каждой строке и каждом столбце только один раз (табл. 4).

Таблица 4

План эксперимента типа латинский квадрат

Использования диаграмм рассеивания

При исследовании сложных процессов экспериментатор имеет дело с большим количеством факторов. Для первоначального исследования бывает желательно оставить факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на функцию отклика. В этом случае эксперименты проводят, используя насыщенные, либо сверхнасыщенные планы.  Экспериментальный материал обрабатывается в несколько этапов с помощью диаграмм рассеивания. Суть метода заключается в следующем. По оси ординат диаграммы (рис. 4) откладываются экспериментальные значения функции отклика, а по оси абсцисс – учитываемые в эксперименте факторы. Поле рассеяния экспериментальных точе представляет собой две колонки точек, соответствующих верхнему и нижнему уровням варьирования фактора. При анализе диаграммы рассеяния для данного фактора мы отвлекаемся от действия других факторов. Если фактор влияет на выходной параметр, то при переходе его с одного уровня на другой произойдет смещение центра распределения.