Дискретное преобразование Фурье
![]()
Лекция 4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
В данной лекции установим свойства дискретного преобразования Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и т.п будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.
Основное определение: 
Формула обращения
Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что 
. В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если 
, то обратное преобразование задается формулой 
. Данная формула вытекает из соотношения: интеграл 
равен 0 при 
и 1 иначе.
Свертка
Свертка двух последовательностей определяется формулой: 
Предложение. ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований Фурье, а ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.
Доказательство. Найдем преобразование от произведения последовательностей. Имеем 
= 
=
.
В силу периодичности подынтегральных функций, получим 
.
Найдем ДПФ от свертки. По определению 
, 
. Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим 
Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности: 
.
Пример вычисления ДПФ
Рекомендуемые материалы
Ранее было подсчитано ДПФ от единичной последовательности. В реальных условиях полагают, что в отрицательные моменты времени сигнал отсутствует. В этой связи интересно найти ДПФ от дискретного аналога функции 
.
Предложение. 
Доказательство. Положим 
=
. Теперь
Задача 3. Доказать, что 
Линейные инвариантные системы.
Рассматриваются последовательности 
. Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате сдвига получается новая последовательность 
. Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью различных устройств.
|
|
Система 
осуществляет это преобразование: 
.. отметим, что выходная последовательность является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.
Определение. Система называется инвариантной, если 
для любого 
.
Рекомендация для Вас - Тема 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧЕЛОВЕКА СО СРЕДОЙ ОБИТАНИЯ.
Примеры.
1. Точечные системы: 
, где 
произвольная функция ,- инвариантная система..
2. 
для произвольного фиксированного 
- инвариантная система
3. 
не будет инвариантной. Действительно, пусть . Согласно определению 
Определение. Система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.
Преобразование в примере 2 осуществляется ЛИС.
