Оси симметрии

2.4. Оси симметрии

Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол фигура совмещается сама с собой.

            Наименьший угол поворота, приводящий фигуру к самосовмещению, называется элементарным углом поворота оси. Элементарный угол поворота оси a содержится целое число раз в 360^°:

360/a = n

где  n – целое число.

            Число n, показывающее сколько раз элементарный угол поворота оси содержится в 360⁰, называется порядком оси.

            В геометрических фигурах могут присутствовать оси любых порядков, начиная от оси первого порядка и кончая осью бесконечного порядка.

            Элементарный угол поворота оси первого порядка (n = 1) равен 360⁰. Так  как каждая фигура, будучи повернута вокруг любого направления на 360⁰, совмещается сама с собой, то всякая фигура обладает бесконечным количеством осей первого порядка. Такие оси не являются характерными, поэтому они обычно не упоминаются.

            Ось бесконечного порядка отвечает бесконечно малому элементарному углу поворота. Эта ось присутствует во всех фигурах вращения в качестве оси вращения.

Рекомендуемые материалы

            Примерами осей третьего, четвертого, пятого, шестого и т. д. порядков являются перпендикуляры к плоскости рисунка, проходящие через центры правильных многоугольников, треугольников, квадратов, пятиугольников и т.п.

            Таким образом, в геометрии существует бесконечный ряд осей различных порядков.

            В кристаллических же многогранниках возможны не любые оси симметрии, а только оси первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка.

            Оси симметрии пятого и выше шестого порядка в кристаллах невозможны. Это положение является одним из основных законов кристаллографии и называется законом симметрии кристаллов.

            Как и др. геометрические  законы кристаллографии, закон симметрии кристаллов объясняется решетчатым строением кристаллического вещества. Действительно, раз симметрия кристалла есть проявление симметрии его внутреннего строения, то в кристаллах возможны только такие элементы симметрии, которые не противоречат свойствам пространственной решетки.

            Докажем, что ось пятого порядка не удовлетворяет законам пространственной решетки и тем самым докажем ее невозможность в кристаллических многогранниках.

            Предположим, что ось пятого порядка в пространственной решетке возможна. Пусть эта ось будет перпендикулярна плоскости чертежа, пересекая ее в точке О (рис.2.9). В частном случае точка О может совпадать с одним из узлов решетки.

Возьмем ближайший от оси узел решетки А₁, лежащий в плоскости чертежа. Так как вокруг оси пятого порядка все повторяется пять раз, то ближайших к ней узлов в плоскости чертежа должно быть всего пять А₁,А₂,А₃,А₄,А₅. Располагаясь на одинаковых расстояниях от точки О в вершинах правильного пятиугольника,  они совмещаются друг с другом при повороте вокруг О на 360/5=72°.

                 Эти пять узлов, лежащие в одной плоскости, образуют плоскую сетку пространственной решетки и поэтому  к ним приложимы все основные свойства решетки. Если узлы А₁ и А₂ принадлежат ряду плоской сетки с промежутком А₁А₂, то через любой узел решетки можно провести ряд, параллельный ряду А₁А₂. Проведем такой ряд через узел А₃. Этот ряд, проходящий и через узел А₅, должен иметь промежуток, равный А₁А₂, т. к.  в пространственной решетке все параллельные ряды обладают одинаковой плотностью.

            Следовательно, на расстоянии А₃А_x = А₁А₂ от узла А₃ должен находиться еще один узел А_x. Однако дополнительный узел А_x оказывается лежащим ближе к точке О, чем узел А₁, взятый по условию ближайшим к оси пятого порядка.

Таким образом, сделанное нами допущение о возможности оси пятого порядка в пространственных решетках привело нас к явному абсурду и поэтому является ошибочным.

Обратите внимание на лекцию "Оценка отклонений".

Поскольку существование оси пятого порядка несовместимо с основными свойствами пространственной решетки, то такая ось невозможна и в кристаллах.          

            Аналогичным образом доказывается невозможность существования в кристаллах осей симметрии выше шестого порядка и, наоборот, возможность в кристаллах осей второго, третьего, четвертого и шестого порядка, присутствие которых не противоречит свойствам пространственных решеток.

            Для обозначения осей симметрии употребляется буква L, а порядок оси указывается маленькой цифрой, располагаемой справа от буквы (например, L₄ - ось четвертого порядка).

            В кристаллических многогранниках оси симметрии могут проходить через центры противоположных граней перпендикулярно к  ним, через середины противоположных ребер перпендикулярно к ним (только L₂) и через вершины многогранника. В последнем случае симметричные грани и ребра одинаково наклонены к данной оси.

            Кристалл может иметь несколько осей симметрии одного порядка, количества которых указывается коэффициентом перед буквой. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствует 3L₂, т. е. три оси симметрии второго порядка; в кубе имеются 3L₄, 4L₃ и 6L₂, т. е. три оси симметрии четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка и т. д.