Марковские модели для оценки надежности

Лекция 11

Тема: Марковские модели для оценки надежности резервированных восстанавливаемых информационных систем

План

1. Понятие Марковского свойства, определение состояния системы.

2. Методика и алгоритм построения Марковской модели.

3. Расчетные формулы для расчета показатели надежности ТС

4. Матрица интенсивностей переходов для оценки показателей надежности резервированных восстанавливаемых ИС.

Ключевые слова

Марковская модель, состояние системы, работоспособность, матрица интенсивностей переходов, граф состояний, восстанавливаемая система, резервирование, последовательная схема, постоянный резерв, система дифференциальных уравнений, правило Колмогорова, схема расчета надежности, приближенный метод, алгоритмы построения СДУ, нормировочные условия, начальные условия, вероятность безотказной работы, интенсивность отказа.

Рекомендуемые материалы

Функционирование ИС и их составных частей можно представить как совокупность процессов перехода из одного состояния в другое под воздействием каких либо причин.

С точки зрения надежности восстанавливаемых ИС их состояние в каждый момент времени характеризуется тем, какие из элементов работоспособны, а какие восстанавливаются.

Если каждому возможному множеству работоспособных (неработоспособных) элементов поставить в соответствие множество состояний объекта, то отказы и восстановления элементов будут отображаться переходом объекта из одного состояния в другое:

Пусть, к примеру, объект состоит из двух элементов. Тогда он может находиться в одном из четырех состояний: n = 2^k = 2² = 4.

S₁ – оба элемента работоспособны;

S₂ – неработоспособен только первый элемент;

S₃ – неработоспособен только второй элемент;

S₄ – неработоспособны оба элемента.

Множество возможных состояний объекта: S = {S₁, S₂, S₃, S₄}.

Полное множество состояний исследуемой системы может быть дискретным, либо непрерывным (непрерывно заполнять один или несколько интервалов числовой оси).

В дальнейшем будем рассматривать системы с дискретным пространством состояний. Последовательность состояний такой системы и сам процесс переходов из одного состояния в другое называется цепью.

В зависимости от времени пребывания системы в каждом состоянии различают процессы с непрерывным временем и процессы с дискретным временем. В процессах с непрерывным временем переход системы из одного состояния в другое осуществляется в любой момент времени. Во втором случае время пребывания системы в каждом состоянии – фиксировано так, что моменты переходов размещаются на временной оси через равные промежутки.

В настоящее время наиболее изучены цепи, обладающие марковским свойством. Вероятности переходов обозначаются символами P_ij(t), а процесс P_ij переходов называется Марковской цепью или цепью Маркова.

Марковское свойство связанно с отсутствием последействия. Это означает, что поведение системы в будущем зависит только от ее состояния в данный момент времени, и не зависит от того каким образом она пришла в это состояние.

Марковские процессы позволяют описать последовательности отказов-восстановлений в системах, описываемых при помощи графа состояний.

Наиболее часто для расчета надежности применяется метод марковских цепей с непрерывным временем, основанный на системе дифференциальных уравнений, которая в матричной форме может быть записана как:

,                              

где P(t) = P₀ – начальные условия;

,

а Λ – матрица интенсивности переходов (матрица коэффициента при вероятностях состояний):

,

где    λ_ij – интенсивности перехода системы из i-го состояния в j-е;

P_j – вероятность того, что система находится в j-м состоянии.

При оценке надежности сложных резервированных и восстанавливаемых систем метод марковских цепей приводит к сложным решениям из-за большого числа состояний. В случае однотипных подсистем работающих в одинаковых условиях, для уменьшения числа состояний используют метод укрупнения. Состояния с одинаковым количеством подсистем объединяются. Тогда размерность уравнений уменьшается [1, 2, 3, 5, 8].

Последовательность методики оценки надежности резервированных восстанавливаемых систем с использованием метода марковских цепей следующая:

1. Анализируется состав устройства и составляется структурная схема надежности. По схеме строится граф, в котором учитывается все возможные состояния;

2. Все вершины графа в результате анализа структурной схемы разделяются на два подмножества: вершины соответствующие работоспособному состоянию системы и вершины соответствующие неработоспособному состоянию системы.

3. С помощью графа состояний составляется система дифференциальных уравнений (используется правило Колмогорова);

4. Выбираются начальные условия решения задачи;

5. Определяются вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в произвольный момент времени;

6. Определяется вероятность безотказной работы системы;

7. В случае необходимости определяются и другие показатели.

Контрольные вопросы и задания

1. Что подразумевается под цепью Маркова?

2. Приведите алгоритм оценки надежности ИС с использованием Марковских моделей.

3. Как составляется дифференциальные уравнения для определения параметров надежности ИС?

4. Значение каких показателей надежности можно получить используя Марковский метод?

5. Перечислите основные этапы построения Марковской модели надежности сложной системы.

Обратите внимание на лекцию "Введение".

6. Что является необходимым условием при решении систем дифференциальных уравнений?

7. Как определяются состояния элементов и устройств КС?

8. Дайте определение понятию восстанавливаемых систем.

9. Что такое Марковская цепь?

10. Для оценки каких систем используют Марковские модели надежности?

Литература: 1, 2, 3, 10, 11.