Расчет надежности восстанавливаемых систем

Лекция 10

Тема: Расчет надежности восстанавливаемых систем (метод дифференциальных уравнений)

План

1. Общие методы расчета надежности восстанавливаемых систем.

2. Построение графа возможных состояний системы для оценки надежности восстанавливаемых систем.

3. Метод систем дифференциальных уравнений (СДУ), правило Колмогорова для составления СДУ

4. Нормировочные и начальные условия для решения СДУ.

Ключевые слова

Восстанавливаемая система, количественные характеристики надежности, граф состояний, работоспособное состояние, система дифференциальных уравнений, правило Колмогорова, вероятность безотказной работы, интенсивность восстановления, интенсивность отказа нормировочные условия, начальные условия, параметры надежности, нерезервированная система.

Рекомендуемые материалы

Основной задачей расчета надежности проектируемых ИС является построение математических моделей адекватных вероятностным процессам их функционирования. Эти модели позволяют оценить степень удовлетворения требований по надежности к проектируемым или эксплуатируемым системам.

Вид математической модели определяет возможность получения расчетных формул. Для проведения расчета надежности восстанавливаемых резервированных и нерезервированных систем используются: метод интегральных уравнений, метод дифференциальных уравнений, метод переходных интенсивностей, метод оценки надежности по графу возможных состояний и др. [1, 2, 3, 5, 6].

Метод интегральных уравнений. Метод интегральных уравнений является наиболее общим, его можно применять при расчете надежности любых (восстанавливаемых и невосстанавливаемых) систем при любых распределениях ВБР и времени восстановления.

В этом случае для определения показателей надежности системы составляют и решают интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, связывающие характеристики распределения ВБР, а для восстанавливаемых систем – и время восстановления элементов.

В ходе составления интегральных уравнений обычно выделяют один или несколько бесконечно малых интервалов времени, для которых рассматривают сложные события, проявляющие при совместном действии нескольких факторов.

В общем случае решения находят численными методами с помощью компьютера. Метод интегральных уравнений не получил широкого распространения из-за трудности решения [1, 3, 8].

Метод дифференциальных уравнений. Метод применяется для оценки надежности восстанавливаемых объектов и основан на допущении о показательных распределениях времени между отказами (наработки) и времени восстановления. При этом параметр потока отказов w = λ =1/t_cp.  и интенсивность восстановления µ = 1/t_в, где t_cp. – среднее время безотказной работы, t_в – среднее время восстановления.

Для применения метода необходимо иметь математическую модель для множества возможных состояний системы S = {S₁, S₂,…, S_n}, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях системы. Время от времени система S скачком переходит из одного состояния в другое под действием отказов и восстановлений ее отдельных элементов.

При анализе поведения системы во времени в процессе износа удобно пользоваться графом состояний. Граф состояний – это направленный граф, где кружками или прямоугольниками изображают возможные состояния системы. Он содержит столько вершин, сколько различных состояний возможно у объекта или системы. Ребра графа отражают возможные переходы из некоторого состояния во все остальные с параметрами интенсивностей отказов и восстановлений (около стрелок показаны интенсивности переходов).

Каждой комбинации отказовых и работоспособных состояний подсистем соответствует одно состояние системы. Число состояний системы n = 2^k, где k – количество подсистем (элементов).

Связь между вероятностями нахождения системы во всех его возможных состояниях выражается системой дифференциальных уравнений Колмогорова (уравнений первого порядка).

Структура уравнений Колмогорова построена по следующим правилам: в левой части каждого уравнения записывается производная вероятности нахождения объекта в рассматриваемом состоянии (вершине графа), а правая часть содержит столько членов, сколько ребер графа состояний связано с этой вершиной. Если ребро направлено из данной вершины, соответствующий член имеет знак минус, если в данную вершину – знак плюс. Каждый член равен произведению параметра интенсивности отказа (восстановления), связанного с данным ребром, на вероятность нахождения в той вершине графа, из которой исходит ребро.

Система уравнений Колмогорова включает столько уравнений, сколько вершин в графе состояний объекта.

Система дифференциальных уравнений дополняется нормировочным условием:

,

где    P_j(t) – вероятность нахождения системы в j-м состоянии;

n – число возможных состояний системы.

Решение системы уравнений при конкретных условиях дает значение искомых вероятностей P_j(t).

Все множество возможных состояний системы разбивается на две части: подмножество состояний n₁, в которых система работоспособна, и подмножество состояний n₂, в которых система неработоспособна.

Функция готовности системы:

К_г,

где    P_j(t) – вероятность нахождения системы в j работоспособном состоянии;

n₁ – число состояний в которых система работоспособна.

Когда необходимо вычислить коэффициент готовности системы или коэффициент простоя (перерывы в работе системы допустимы), рассматривают установившийся режим эксплуатации при t→∞. При этом все производные  и система дифференциальных уравнений переходят в систему алгебраических уравнений, которые легко решаются.

Пример графа состояний нерезервированной восстанавливаемой системы с n – элементами приведен на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний восстанавливаемой системы (штриховкой отмечены неработоспособные состояния)

Рассмотрим возможные состояния в которых может находиться система. Здесь возможны следующие состояния:

S₀ – все элементы работоспособны;

S₁ – первый элемент неработоспособен остальные работоспособны;

S₂ – второй элемент неработоспособен остальные работоспособны;

.

.

.

S_n – n-й элемент неработоспособен остальные работоспособны.

Вероятность одновременного появления двух неработоспособных элементов пренебрежимо мала. Символами λ₁, λ₂,…, λ_n обозначены интенсивности отказов, µ₁, µ₂,…, µ_n интенсивности восстановления соответствующих элементов;

По графу состояний (рис. 1) составляют систему дифференциальных уравнений (уравнение для состояния S₀ опускаем из-за громоздкости):

С нормировочным условием: .

Начальные условия:

При установившемся режиме эксплуатации (при t→∞) имеем:

Решив полученную систему алгебраических уравнений с учетом нормировочного условия, находим показатели надежности.

При решении системы уравнений можно использовать преобразование Лапласа для вероятностей состояний или численные методы.

Контрольные вопросы и задания

1. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны?

2. Как определяются состояния элементов и устройств ИС?

3. Как определить области работоспособных состояний системы?

4. Почему метод дифференциальных уравнений получил широкое распространение при оценке надежности восстанавливаемых систем?

5. Что является необходимым условием при решении систем дифференциальных уравнений?

Обратите внимание на лекцию "53. Регуляция работы ионных каналов".

6. Как составляется дифференциальные уравнения для определения параметров надежности ИС?

7. Каким условием должно быть дополнено система дифференциальных уравнений (СДУ) для более эффективного решения.

8. Запишите условия работоспособности системы, состоящий из трех элементов.

9. Чему равно число состояний устройства состоящего из четырех элементов?

10. Какое правило используется при составлении СДУ?

Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.