Системы типа _m из n_

3.3. Системы типа “m из n”

Систему типа “m из n” можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением элементов, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов (m < n).

Рис.3.1 Система “2 из 5”

На рис. 3.1 представлена система “2 из 5”, которая работоспособна, если из пяти её элементов работают любые два, три, четыре или все пять (на схеме пунктиром обведены функционально необходимые два элемента, причем выделение элементов 1 и 2 произведено условно, в действительности все пять элементов равнозначны). Системы типа “m из n” наиболее часто встречаются в электрических и связных системах (при этом элементами выступают связующие каналы), технологических линий, а также при структурном резервировании (см. п. 4.1, 4.2).

Для расчета надежности систем типа “m из n” при сравнительно небольшом количестве элементов можно воспользоваться методом прямого перебора. Он заключается в определении работоспособности каждого из возможных состояний системы, которые определяются различными сочетаниями работоспособных и неработоспособных состояний элементов.

Все состояния системы “2 из 5” занесены в табл. 3.1. (в таблице работоспособные состояния элементов и системы отмечены знаком “+” неработоспособные – знаком “-“). Для данной системы работоспособность определяется лишь количеством работоспособных элементов. По теореме умножения вероятностей вероятность любого состояния определяется как произведение вероятностей состояний, в которых пребывают элементы. Например, в строке 9 описано состояние системы, в которой отказали элементы 2 и 5,  а     остальные работоспособны. При этом условие "2 из 5" выполняется , так что система в целом  работоспособна. Вероятность такого состояния

(предполагается ,что все элементы равнонадежны). С учетом всех возможных -

Рекомендуемые материалы

состояний вероятность безотказной  работы системы может быть найдена по теореме сложе­ния вероятностей всех работоспособных сочетаний. Поскольку в табл. 3.1 количество неработоспособных состояний меньше, чем работоспособных (соответственно 6 из 26), проще вычислить вероятность отказа системы. Для этого суммируются вероятности неработоспособных состояний (где не выполняется условие " 2 из 5 ")

                                      (3.13)  

Тогда вероятность безотказной работы системы

                                                             (3.14)  

Расчет надежности системы "m из  n" может производится комбинаторным мето­-                       дом, в основе которого лежит формула биномиального распределения. Биномиальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k - -число появлений некоторого события в серии из n опытов, если в отдельном опыте вероятность появления события составляет р. При этом вероятность появления события ровно k раз определяется

                                                                                                                                    (3.15) 

где - биномиальный коэффициент, называемый "числом сочетаний по k из n"                          (т.е. сколькими разными способами можно реализовать ситуацию "k из n");

                                                                                                          (3.16) 

Значения биномиальных коэффициентов приведены в приложении.

Поскольку для отказа системы "m из n" достаточно, чтобы количество исправных             элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = О,1, ... (т-1):

                                                                                               (3.17)

Аналогичным образом можно найти вероятность  безотказной работы как сумму
(3.15)   для   k=m, m+1,…,n:

                                                                                              (3.18)            

                                                                                  Таблица 3.1

                                                       Taблица состояний системы "2 из 5

                        Таблица состояний системы “2 из 5”

            Очевидно, что Q+P=1, поэтому в расчетах следует выбирать ту из формул (3.17), (3.18), которая в данном конкретном случае содержит меньшее число слагаемых.

            Для системы “2 из 5” (рис. 3.1) по формуле (3.18) получим:

                (3.19)

Вероятность отказа той же системы по (3.17):

                                             (3.20)

что, как видно дает тот же результат для вероятности безотказной работы.

В табл. 3.2 приведены формулы для расчета вероятности безотказной работы систем типа “m из n” при m<=n<=5. Очевидно, при m=1 система превращается в обычнуюсистему с параллельным соединением элементов, а при m=n – с последовательным соединением.

Таблица 3.2