Арифметика в дополнительном коде

2.5 Арифметика в дополнительном коде

МП использует числа в форме дополнительного кода потому, что он в состоянии выполнять операции сложения, инверсии и иккрементирование. МП не приспособлен для прямого вычитания. Он использует сумматоры и для выполнения вычитания оперирует над дополнительным кодом. В общем случае при сложении или вычитании чисел со знаком результат есть также число со знаком. Если при этом бит старшего разряда равен единице, то результат – отрицательное число в дополнительном коде.

Если требуется определить абсолютное значение результата, то его необходимо представить в обратном коде, а затем прибавить единицу.

Используя дополнительный код и сумматор МП выполняет вычитание, которое происходит следующим образом. Определяется дополнительный код вычитаемого и производится сложение этого кода с уменьшаемым. Если разность – число положительное (бит старшего разряда равен 0), то бит переноса необходимо отбросить; полученная последовательность битов и есть двоичный код результата. Если разность – число отрицательное (бит старшего разряда равен 1), то она представлена в дополнительном коде.

Рассмотрим примеры.

1. Вычислить разность чисел 58-23

а) Определение дополнительного кода числа 23

число 23₁₀                                                          00010111

Рекомендуемые материалы

обратный код                                           11101000

+

прибавляем единицу                               00000001

дополнительный код числа 23₁₀             11101001

б) Вычисление разности.

число 58₁₀                                                          00111010                    58

+                         -

11101001          23

Разность 35₁₀                                          100100011                   35

Получили положительный результат, поэтому единица переноса в девятый разряд отбрасывается.

2. Вычислить разность чисел 26-34

а) Определение дополнительного кода числа 34

число 34₁₀                                                          00100010

обратный код числа                                          11011101

+

прибавляем единицу                                         00000001

дополнительный код числа 34₁₀                       11011110

б) Вычисление разности:

26                        00011010

-                           +

34                        11011110

-08                      11111000

Видно, что разность получилась в форме дополнительного кода, поскольку в старшем разряде 1.

в) Определение абсолютного значения разности.

дополнительный код разности               11111000

обратный код                                           00000111

+

прибавляем единицу                               00000001

абсолютное значение разности 8₁₀         00001000

3. Сложить десятичные числа -2₁₀ и -5₁₀

2₁₀                                                             00000010

обратный код                                           11111101

+

00000001

дополнительный код -2₁₀                         11111110

5₁₀                                                             00000101

11111010

+

00000001

дополнительный код 5₁₀                          11111011

Числа в дополнительном коде складываются

-2                                                              11111110

+                                                               +

-5                                                              11111011

-7                                                           1  11111001

Старший бит

Старший бит результата является переполнением 8-разрядного регистра и им пренебрегаем. В 8-ом разряде стоит 1. Значит, получено отрицательное  число в дополнительном коде.

Найдём абсолютное значение разности.

11111001

00000110

+

00000001

абсолютное значение разности 7₁₀                   00000111

Двоичные умножение и деление

При умножении одного числа на другое одно из чисел называется множимым, другое – множителем. Ниже изображена таблица двоичного умножения. Аналогичную таблицу десятичного умножения, состоящую из 10 строк и 10 столбцов, мы знаем наизусть. По сравнению с ней таблица двоичного умножения чрезвычайно проста: в умножении участвуют цифры, принимающие только два значения – 0 или 1, в результате умножения перенос не возникает никогда.

Воспользуемся таблицей для вычисления произведения двоичных эквивалентов десятичных чисел 17 и 12.

Множимое 17₁₀                                                                    10001

*

Множитель 12₁₀                                                                   01100

00000

        00000

                                                                                          10001

    10001

  00000

Результат 204₁₀                                                               11001100

Первые два частных произведения включают только нули, так как множители – значения первого и второго разрядов – равны нулю. Третье частное произведение – копия множимого. Разница между ними заключается лишь в том, что копия сдвинута относительно множимого на два двоичных разряда влево, поскольку для получения этого частного произведения в качестве множителя используется значение третьего разряда. Четвёртое частное произведение также является копией множимого смещённой относительно последнего на три двоичных разряда влево. Все остальные произведения – нули. Сложение всех частных произведений в данном примере не сопровождается переносом, однако возникновение последнего не исключено.

Обычно умножение и деление как отдельные операции в МП  не предусматриваются. Эти операции выполняются с использованием специальной подпрограммы. Программно умножение реализуется путём сдвига и сложения. Перечислим правила этого способа.

1. Формирование первого частного произведения. Если значения младшего значащего разряда множителя равно 0, то и результат равен 0. Если значение этого разряда равно 1, то результат является копией множимого.

2.  Правило сдвига. При использовании очередного разряда множителя для формирования частичного произведения производится сдвиг множимого на один разряд влево.

3. Правило сложения. Каждый раз, когда значение  разряда множителя равно 1, к результату необходимо прибавлять множимое, расположенное в позиции, определённой правилом сдвига.

4.  Искомое произведение есть результат выполнения всех операций сдвига и сложения.

Продемонстрируем правила сдвига и сложения на рассмотренном примере умножения 17₁₀ и 12₁₀:

10001

*

01100

      10001              множимое, сдвинутое влево на 2 разряда

    10001                множимое, сдвинутое влево на 3 разряда

    11001100ять множимое расположено         сумма сдвинутых множимых

Ещё пример: 93*45=4185

                                     93                                 01011101

                                     *                                    *

                                     45                                 00101101

                                                                           01011101

                                                                       01011101

                                                                     01011101

                                                                01011101

                                     4185₁₀=             1000001011001

Прокомментируем первый пример. При использовании первого разряда множителя множимое не смещается, а поскольку значение этого разряда равно нулю, то первое частичное произведение равно 0. Следовательно, равно нулю и текущее значение результата. При использовании второго разряда со значением равным 0, множимое сдвигается на один разряд влево, но сложение, как и в предыдущем случае, не выполняется. Значение третьего разряда множителя равно 1, поэтому множимое сдвигается ещё на один разряд влево, а затем добавляется в качестве слагаемого к текущему значению результата. При использовании четвёртого разряда, значение которого равно 1, осуществляется сдвиг множимого на один разряд влево по сравнению с его позицией после операции с третьим разрядом. Затем множимое добавляется к текущему значению результата.  Поскольку остальные разряды множителя содержат нули, никаких добавлений к текущему значению результата больше не происходит.

       Деление – это операция, обратная умножению. Иначе говоря, при делении операцию вычитания повторяют до тех пор, пока уменьшаемое не станет меньше вычитаемого. Число этих повторений показывает, сколько раз вычитаемое укладывается в уменьшаемом. Двоичное деление осуществляется аналогично десятичному.

     Рассмотрим пример.

Разделить число 204₁₀ на 12₁₀

11001100                1100                            11001100=204₁₀

1100                        10001                          1100=12₁₀

      01100                                                   10001=17₁₀

      01100

              0

       Двоичное деление начинается с анализа делимого и делителя. Сразу обнаруживаем, сто делитель точно укладывается в первые четыре цифры делимого, а потому записываем цифру 1 в поле, предоставленное для формирования частного. Умножаем делитель на 1 и вычитаем результат из 1100. Разность равна нулю, т.е. меньше делителя, а поэтому процесс деления можно продолжить. Объединяем нуль остатка со значением следующего разряда делимого, равным 1. Поскольку делитель укладывается ноль раз в числе 1, записываем 0 в поле представления частного, а число 1 объединяем со следующей цифрой делимого и т.д. Описываемая процедура продолжается до тех пор, пока делимое не оказывается исчерпанным.

Арифметика повышенной точности

       Обсудим, как в МП реализуется арифметика повышенной точности. При работе с МП часто выясняется, что длина слов, которыми он оперирует, недостаточна для достижения требуемой точности вычислений. Например, 8-разрядный МП использует числа в диапазоне от -128 до +127. Для большинства задач такой диапазон неприемлем. Используя два 8-битовых слова с представлением  отрицательных  чисел  в дополнительном  коде,  получим  диапазон от

-32768 до 32767. Для решения многих задач указанной двойной точности этого вполне достаточно. Однако иногда требуется тройная точность вычислений: 1 бит для знака и 23 бит для абсолютной величины числа. Диапазон чисел в случае тройной точности следующий: -8388608 до 8388607, включая 0. Однако при работе с арифметикой повышенной точности требуется большой объем памяти для хранения данных и более интенсивная работа МП. Пусть например, необходимо использовать арифметику тройной точности в 8-разрядной вычислительной системе. Для этого необходимо сначала  произвести обращение к младшему значащему байту каждого числа. После сложения двух байтов результат записывают в память, а возможные при этом переносы подлежат временному хранению. Затем из памяти извлекают следующие по значимости байты и складывают, прибавляя биты переноса, полученные в результате предыдущей операции сложения. Результат записывают в память на место специально зарезервированное для среднего байта суммы. Наконец из памяти извлекают старшие значащие байты, складывают их, к сумме добавляют биты переноса, полученные при предыдущей операции сложения, и результат записывают в область памяти, зарезервированную для старшего значащего байта суммы. Таким образом, требуется в три раза больше времени и объема памяти.

Арифметика чисел с плавающей точкой

       Не все проблемы могут быть разрешены при использовании арифметики с повышенной точностью. До сих пор рассмотрение было ограничено целыми числами. Действия с дробными числами осуществляются в арифметике чисел с плавающей точкой (запятой), позволяющей МП отслеживать положение десятичной точки. Это достигается благодаря использованию представления десятичных дробей в нормализованном виде, т.е. в виде мантиссы, диапазон значений которой от 0,1 до 1, и порядка - показателя степени числа 10. Например, число 50 представляется как 0,5*10², а число -750 как -0,75*10³.

       Числа с плавающей        точкой хранятся в МП так же как и целые числа. Записывается мантисса со знаком и порядок со знаком. Представление числа в форме с плавающей точкой в 8-разрядном МП можно изобразить следующим образом.

      

       Число в форме с плавающей точкой занимает 4 байт. Мантисса представлена как число тройной точности и занимает три байта. Старший бит третьего байта знаковый. Четвёртый байт занят порядком: 7 бит величины и 1 бит знака. Арифметика  чисел  с плавающей  точкой  позволяет  оперировать  числами  от

-2²³×2¹²⁷ до (2²³-1)×2¹²⁷. Следовательно, диапазон чисел очень большой.