Проекции

· Лекция 5. Проекции

· Проекции

Процесс вывода трехмерной графической информации сложнее соответствующего двумерного процесса. В двумерном случае просто задаются окно в двумерном мировом координатном пространстве и поле вывода на двумерной видовой поверхности.

 При выводе пространственных объектов, описанных в мировых координатах, они отсекаются по границе видимого объема, а после этого преобразуются в поле вывода для дисплея. Несоответствие между пространственными объектами и плоскими изображениями устраняется путем введения проекций, которые отображают трехмерные объекты на двумерной проекционной (картинной) плоскости.

В общем случае проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью п, в точки системы координат размерностью, меньшей, чем n. Проекция трехмерного объекта (представленного в виде совокупности точек) строится при помощи прямых проецирующих лучей (проекторов),  которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию. рис. 1 и 2.

Рис. 1. Отрезок АВ и его центральная проекция А'В'.

Рекомендуемые материалы

Рис. 2. Отрезок АВ и его параллельная проекция А'В'. Проекторы АА’ и ВВ’ параллельны.

Определенный таким образом класс проекций известен под названием плоских геометрических проекций, поскольку проецирование в этом случае производится на плоскость, а не на искривленную поверхность и в качестве проекторов используются прямые, а не кривые линии. В отличие от них многие картографические проекции являются либо неплоскими, либо негеометрическими.

Плоские геометрические проекции можно подразделить на два основных класса: центральные и параллельные. Различие между ними определяется соотношением между центром проекции и проекционной плоскостью. Если расстояние между ними конечно, то проекция будет центральной (рис. 1), если же оно бесконечно, то проекция будет параллельной (рис. 2). Параллельные проекции названы так потому, что центр проекции бесконечно удален и все проекторы параллельны. При описании центральной проекции мы явно задаем центр проекции, в то время как, определяя параллельную проекцию, мы указываем направление проецирования.

В ходе проективных преобразований, проецируемые объекты могут изменять свою форму. Это вызывается укорачиванием. Приведем простой пример. Для большей наглядности, рассмотрим проецирование отрезков лежащих в плоскости перпендикулярной проекционной плоскости  и проходящей через центр проецирования. Начнем с параллельных проекций. Из рисунка видно, что проекции отрезков могут иметь меньший размер, чем сами отрезки. Величина укорачивания зависит от угла наклона отрезка к проекционной плоскости. Следовательно, отрезки параллельные одной плоскости имеют одинаковые коэффициенты укорачивания. Для отрезков параллельных проекционной плоскости коэффициент укорачивания равен 1. Отметим, что величина укорачивания не зависит от расстояния  до точки наблюдения. Обычно говорят, что на параллельных проекциях можно производить измерения с точностью до скалярного множителя. Проекции параллельных прямых остаются параллельными.

Теперь рассмотрим центральное проецирование. Центральная проекция дает более реалистическое представление модели. Но даже из простого примера понятно, что коэффициент укорачивания при центральном проецировании зависит не только от угла наклона, но и от расстояния до центра наблюдения (центра проекции). В этом случае имеет место перспективное укорачивание. В общем случае, проводить линейные измерения нельзя. Объекты будут иметь одинаковые коэффициенты укорачивания только в случае если они лежат в плоскости параллельной плоскости проецирования. Углы также искажаются. При центральном проецировании проекции параллельных линий пересекаются, если они не лежат в плоскости параллельной плоскости проецирования.

Параллельные проекции

Параллельные проекции разделяются на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости. В орто'графических параллельных проекциях эти направления совпадают, а в косоугольных параллельных проекциях они не совпадают. То есть в ортографических проекциях направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости.

Рис. 8.7. Построение трех ортографических проекций.

Наиболее широко используемыми видами ортографических проекций являются вид спереди, вид сверху (план) и вид сбоку. В них картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям, совпадающим вследствие этого с направлением проецирования. Эти проекции часто применяются в инженерной графике для описания машиностроительных деталей, агрегатов и сооружений, так как по ним можно измерять расстояния и углы.

В случае аксонометрических ортографических проекций используются проекционные плоскости, не перпендикулярные главным координатным осям, поэтому на них изображаются сразу несколько сторон объекта, так же как и при центральном проецировании, однако в аксонометрии укорачивание постоянно, тогда как в случае центральной проекции оно связано с расстоянием от центра проекции. При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; расстояния же можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).

Широко используемым видом аксонометрической проекции является изометрическая проекция. В ней нормаль к проекционной плоскости (а следовательно, и направление проецирования) составляет равные углы с каждой из главных координатных осей.

Изометрическая проекция обладает следующим свойством: все три главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения с одним и тем же масштабом (отсюда название: изо, что означает «равно», и метрия — «измерение»). Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом .

Косоугольные проекции (второй тип параллельных проекций) сочетают в себе свойства ортографических проекций (видов спереди, сверху и сбоку) со свойствами аксонометрии. В этом случае проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объекта, параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерять углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Отметим, что нормаль к проекционной плоскости и направление проецирования не совпадают.

Двумя важными видами косоугольных проекций являются проекции кавалье (cavalier) и кабине (cabinet)". В проекции кавалье направление проецирования составляет с плоскостью угол 45°. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т. е. укорачивание отсутствует.

На рис. 8.11 приведено несколько проекций кавалье единичного куба на плоскость

Проекция кабине, показанная на рис. 8.12, имеет направление

проецирования, которое составляет с проекционной плоскостью угол arcctg (1/2) При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют 1/2 их действительной длины. Проекции кабине являются более реалистичными, чем проекции кавалье, поскольку укорачивание с коэффициентом 1/2 больше согласуется с нашим визуальным опытом

Центральные проекции

Рис. 3. Одноточечные центральные проекции куба на плоскость, пересекающую ось г, а также точка схода прямых, перпендикулярных проекционной плоскости

Центральные проекции любой совокупности параллельных прямых, которые не параллельны проекционной плоскости, будут сходиться в точке схода. Параллельные прямые в трехмерном пространстве пересекаются лишь в бесконечности, поэтому точку схода можно представить себе как проекцию точки, находящейся в бесконечности. Существует бесконечное число точек схода.

Если совокупность прямых параллельна одной из главных координатных осей, то их точка схода называется главной точкой схода. Имеются только три такие точки.

Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а следовательно, и от числа координатных осей, которые пересекает проекционная плоскость.

Рис. 4. Двухточечная центральная проекция куба. Проекционная плоскость пересекает оси х и y.

Двухточечная центральная проекция широко применяется в архитектурном, инженерном и промышленном проектировании и в рекламных изображениях, в которых вертикальные прямые проецируются как параллельные и, следовательно, не сходятся.

 Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, во-первых, потому, что их трудно конструировать, а во-вторых, из-за того, что они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности по сравнению с двухточечной проекцией.

· Реализация проективных преобразований

При реализации проективных преобразований можно использовать два подхода. Первый подход предполагает, что точка зрения и центр проекции зафиксированы, а проекционная плоскость перпендикулярна направлению взгляда. Центр проекции обычно располагают на положительной полуоси Z. Взгляд направляют в сторону начала координат, а проекционную плоскость совмещают с плоскостью Z=0. Для получения требуемого вида манипулируют объектом, поворачивая, отображая или скашивая его.

 Рисунок.

 Этот процесс похож на то, как мы рассматриваем небольшой объект, вертя его в руках.

Второй подход напоминает наши действия при изучении большого объекта, который мы не имеем возможности повернуть. Например,  изучая дом мы перемещаемся сами, обходя его с разных сторон. Таким образом, объект остается неподвижным, а перемещается точка зрения и проекционная плоскость, по прежнему, остающаяся перпендикулярной направлению взгляда.

Математически оба подхода эквивалентны и легко преобразовываются один в другой. Для перехода от второго подхода к первому необходимо выполнить следующие преобразования:

· Определить преобразование переноса, совмещающее точку пересечения линии взгляда и проекционной плоскости с началом координат;

Вместе с этой лекцией читают "1.5. Практикум по кодированию информации".

· Определить преобразование поворота, совмещающее вектор взгляда с положительной полуосью Z;

· Применить к сцене полученные преобразования исходной сцене;

· Выполнить проецирование на плоскость Z=0.

Мы будем использовать первый подход.

Ортографические проекции

Как уже говорилось при простом ортографическом проецировании одна из главных координатных осей перпендикулярна плоскости проецирования. Следовательно, плоскость проекций совпадает с одной из главных координатных плоскостей x=0, y=0 или z=0. Матрица проецирования на плоскость z=0 имеет следующий вид