Аксонометрическая проекция
Аксонометрическая проекция
Простейшим случаем аксонометрической проекции является ортогональная проекция. Это такая аксонометрическая проекция, у которой плоскость проекции перпендикулярна одной из координатных осей исходной трех мерной системы координат. При этом возможны три случая.
Первый случай.
Плоскость проекции перпендикулярна оси Z и совпадает с координатной плоскостью XY. Проекция точки в этом случае определяется как:
Второй случай.
Плоскость проекции перпендикулярна оси X и совпадает с координатной плоскостью ZY. Проекция точки в этом случае определяется как:
Рекомендуемые материалы
Третий случай.
Плоскость проекции перпендикулярна оси Y и совпадает с координатной плоскостью XZ. Проекция точки в этом случае определяется как:
Общий случай аксонометрической проекции, когда плоскость проекции занимает произвольное положение в исходной трех мерной системе координат, иллюстрируется ниже приведенным рисунком (Рис. 6.4‑1).
Рис. 6.4‑1
На рисунке приведены следующие обозначения:
- ПП – плоскость проецирования;
- V – вектор направленности линий проецирования;
- b – угол между осью Z и проекции вектора V на координатную плоскость XZ;
- a – угол наклона вектора V к координатной плоскости XZ.
Найдем матрицу аксонометрической проекции Rпп, которая связывает координаты x, y, z точки в трех мерной системе и ее координаты xп, yп, zп на плоскости проекции ПП (координата zп на плоскости проекции равна 0):
Матицу Rпп можно найти, выполнив два этапа преобразований.
Первый этап.
От исходной системы координат перейдем в видовую систему координат, направление оси Zв которой совпадает с вектором проецирования V. Для этого исходную систему координат повернем на угол «в» относительно оси Y, а полученную систему координат повернем на угол «a» относительно оси X. Тогда матрица видового преобразования Rв рассчитывается следующим образом:
Полученная матрица обеспечивает переход к видовой системе координат, ось Z которой перпендикулярна плоскости проекции. Для такой видовой системы координат заданная проекция превращается в ортогональную проекцию с плоскостью проекции, перпендикулярной оси Z. Поэтому для получения матрицы аксонометрической проекции Rпп необходимо матрицу Rв умножить на матрицу Rопz ортогональной проекции на плоскость X,Y,0, т.е. имеем:
Полученная матрица обеспечивает преобразование для общего случая аксонометрической проекции, называемой триометрией, при которой углы «a» и «в» выбираются независимо друг от друга.
Для вывода зависимостей параметров аксонометрии для случаев диметрии и изометрии, рассмотрим аксонометрические проекции единичных векторов по координатным осям:
Используя матрицу аксонометрической проекции, запишем проекции этих векторов:
Возьмем диметрию, у которой координатные оси X и Y имеют одинаковые углы с осью Z. В этом случае можно утверждать, что проекции единичных векторов Ux и Uy , будут иметь одинаковую длину, а следовательно можно записать:
|Uxп|2 = |Uуп|2, т. е.
cos2b + sin2a sin2b = cos2a.
Разрешим это уравнение относительно «b», используя только функцию sin:
1-sin2b + sin2a sin2b =1- sin2a;
(6.4-1)
Таким образом, при построении диметрии, задавая произвольный угол «а», необходимо по полченной формуле рассчитать угол «b».
Для изометрии проекции всех рассматриваемых единичных векторов будут одинаковыми. Поэтому можно записать:
|Uzп|2 = |Uуп|2, т. е.
sin2b + sin2a cos2b = cos2a.
Разрешим это уравнение относительно «b», используя только функцию sin:
sin2b + sin2a (1-sin2b) = 1-sin2a,
(6.4-2)
Рекомендация для Вас - 3 - Насосы и гидромоторы.
На основании выражений (6.4-1) и (6.4-2), можем записать:
sin2a = 1- 2sin2a, откуда:
sin2a = 1/3, а 
.
Подставляя полученное значение для sin a в выражение (6.4-1), будем иметь:
Из этого следует, что для задания изометрии, необходимо взять в качестве значений для ее параметров «а» и «в» выше рассчитанные значения.
