Формирование дуги окружности

Формирование  дуги  окружности.

Данный алгоритм обеспечивает формирование дуги окружности с центром в начале координат, расположенной в первом квадранте (Рис. 2.2‑1). Используя зеркальное отображение относительно координатной оси, можно на основании дуги, сформированной для  первого квадранта,  получить изображение окружности во всех оспальных квадрантах.

Рис. 2.2‑1

При формировании дуги окружности  пиксел, который должен быть использован в качестве следующей точки формируемой окружности, выбирается из трех возможных претендентов, и его координаты рассчитываются за счет приращения координат предыдущей найденной точки.

Тремя точками-претендентами являются горизонтальная, диагональная и вертикальная точки (Рис. 2.2‑2), из которых выбирается та, которая ближе всего находится от расчетной окружности.

На рис.2.2-2 приведены последняя найденная точка  Т_i с координатами  x_i, y_i , горизонтальный претендент П_H с координатами x_i+1, y_i , диагональный претендент П_D с координатами x_i+1, y_i -1 и вертикальный  претендент П_V с координатами x_i, y_i-1. Кроме того, на этом рисунке показано пять возможных положений расчетной окружности по отношению к последней наёденной  точке и трем претендентам.

В качестве критерия выбора одного из претендентов используется квадрат расстояния до окружности m_H, m_D, m_v,  

Рекомендуемые материалы

Рис. 2.2‑2

соответственно, претендентов П_H, П_D, и П_V. Значения этих квадратов расстояний, которые называются  отклонениями, рассчитываются по следующим формулам:

m_H =|( x_i+1)² +y_i² –R²|;

m_D =|( x_i+1)² +(y_i -1) ²-R²|;

m_V =|x_i² +(y_i² -1)-R²|,

где через R обозначен радиус окружности

Принятие решения о выборе следующей точки формируемой дуги из трех претендентов осуществляется следующим образом.

Введем базовую погрешность D_i  для текущей i-ой точки, определяемую через ее координаты как:

D_i=( x_i+1)² +(y_i -1) ²-R².

Логика выбора одного из трех претендентов в качестве очередной точки формируемой дуги представлена на следующем рисунке(Рис. 2.2‑3).

Рис. 2.2‑3

На рисунке  приняты следующие обозначения:

- D_i- базовое отклонение;

- d₁- разность расстояний горизонтального и диагонального претендентов от окружности;

- d₂- разность расстояний диагонального и вертикального претендентов до окружности.

Найдем компактные аналитические выражения для расчета  d₁ и d₂.

Разность d₁ расстояний горизонтального и диагонального претендентов до окружности  рассчитывается только в случае, когда выполняется условие:

D_i    < 0 ,                                                                                                              (2.2-1)

при выполнении которого может иметь место расчетное положение окружности  1, 2, 5.              

В этом случае d₁ формируется за счет  вычитания из абсолютного значения расстояния горизонтального претендента до окружности h₁  абсолютного значения расстояния диагонального претендента до окружности h₂, что можно записать как:

d₁= h₁  + h₂  =|( x_i+1)² +y_i² -R²| - |( x_i+1)² +(y_i -1) ²-R²|.     (2.2-2)

Для положения окружности между горизонтальным и диагональным претендентами (положение 1 или 5 на Рис. 2.2‑2) h₁  положительное, а h₂ – отрицательное, что позволяет перейти от выражения 2.2-2 к выражению:

d₁= ( x_i +1)² + y_i² - R² + ( x_i + 1)² +(y_i -1) ²- R².

Выразим d₁ через базовую погрешность D_i:

d₁= (x_i + 1)² + y_i² - R² + (x_i +1)² +(y_i - 1) ²-R²  - 2y_i + 1 + 2y_i - 1 =

   =(x_i +1)² + y_i²- 2y_i + 1+ R² + (x_i + 1)² + (y_i -1) ²- R²  + 2y_i - 1 =

   = 2D_i + 2y_i - 1,

что позволяет использовать для расчета   d₁ сравнитедбно простое выражение:

  d₁=2D_I  +  2y_i  - 1.                                                       (2.2-2)

Таким  образом, если при выполнении условия (2.2-1) расчетное положение окружности соответствует положению 1 или 5, то при отрицательном  значении   d₁  в качестве очередной точки выбирается горизонтальный претендент. Заметим, что при расчетном положении окружности, соответствующем положению 2,  d₁ тем более будет отрицательным, что также  обусловит выбор горизонтального претендента.

Разность d₂ расстояний диагонального и вертикального  претендентов до окружности  рассчитывается только в случае, когда выполняется условие:

D_i    >0 ,                                                                                                                                                       

при выполнении которого может иметь место расчетное положение окружности 5, 3, 4.              

В этом случае d₂ формируется за счет  вычитания из абсолютного значения расстояния диагонального претендента до окружности h₂  абсолютного значения расстояния вертикального претендента до окружности h₃, что можно записать как:

d₂= h₂  + h₃  =|( x_i+1)² +(y_i - 1)² -R²|-| x_i² +(y_i -1) ²-R²|     (2.2-3)

Для положения окружности между вертикальным и диагональным претендентами (положение 3 или 5 на Рис. 2.2‑2), h₂  положительное, а h₃  отрицательное, что позволяет перейти от выражения (2.2-3) к выражению:

d₂= h₂  - h₃  =( x_i+1)² +(y_i -1) ²-R² - x_i² +(y_i-1)² -R².

Выразим d₂ через базовую погрешность D_i:

d₂= ( x_i+1)² +(y_i -1) ²-R² - x_i² +(y_i-1)² -R²  + 2y_i +1 – 2y_i -1 =

 = ( x_i+1)² +(y_i -1) ²-R² - x_i² +  (y_i-1)² -R²– 2x_i -1 = 2D_i- 2y_i -1,

т.е. для расчета   d₂ можно использовать выражение:

  d₁=2D_I -2x_i -1.                                                                 (2.2-4)

Таким  образом, если при не выполнении условия (2.2-1) расчетное положение окружности соответствует положению 3 или 5, то при положительном  значении   d₂  в качестве очередной точки выбирается вертикальный  претендент. Заметим, что при расчетном положении окружности, соответствующем положению 4,  d₂ тем более будет положительным, что также  обусловит выбор вертикального претендента.

Начальной точкой формируемой дуги является точка с координатами x_н=0, y_н=R. Для этой точки базовое отклонение D_н определяется как:

D_н =( x_н+1)² +(y_н -1) ²-R² =2(1 –R).

Расчет по результату выбора претендента координат очередной точки формируемой дуги и соответствующего ей базового отклонения выполняется следующим образом.

Если в качестве очередной точки выбран горизонтальный претендент П_H, тогда:

x_i+1= x_i +1; y_i+1= y_i;

D_i+1 = ( x_i+1+1)² +(y_i+1 -1)²-R² = x_i+1²+2x_i+1 +1 +(y_i-  -1)²-R² =

= ( x_i +1) ²+(y_i -1)²-R²+2x_i+1 +1 = D_i +2x_i+1 +1.

Если в качестве очередной точки выбран вертикальный претендент П_V, тогда:

x_i+1 =  x_i; y_i+1= y_i-1;

 D_i+1 =( x_i+1+1)² +(y_i+1 -1)²-R²= ( x_i+1)² +y_i+1²- 2y_i+1 + 1-R² =

= ( x_i +1) ²+(y_i -1)²-R² -2y_i+1 +1 = D_i -2y_i+1 +1.

Если в качестве очередной точки выбран диагональный претендент П_D, тогда:

x_i+1 = x_i +1; y_i+1 = y_i-1;

D_i+1 = ( x_i+1+1)² +(y_i+1 -1)² - R² = x_i+1²+2x_i+1 +1 +y_i+1² -  2y_i+1 +1-R²=

Информация в лекции "Коллективные взаимодействия процессов" поможет Вам.

= ( x_i +1) ² + (y_i -1)² - R² + 2x_i+1+1 - 2y_i+1  +1 = D_i +2x_i+1 - 2y_i+1+2.

Учитывая выше изложенное, алгоритм формирования дуги окружности можно представит в виде граф-схемы, приведенной на следующем рисунке (Рис. 2.2‑4).

Так как при формировании очередной точки рассчитываются и используется или d₁, или d₂ и никогда оба вместе, для них в алгоритме используется одна и та же  переменная d.

Особенностью данного алгоритма является отсутствие длинных операций, что способствует уменьшению длительности его реализации.

Рис. 2.2‑4