Моделирование в условиях определенности
1.1Моделирование в условиях определенности
Классическим примером простейшей задачи системного анализа в условиях определенности может служить задача производства и поставок товара. Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как штраф за это можно считать бесконечно большим.
Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции Cx=10 копеек в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет Cp =400 гривен.
Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год — слишком велики затраты на хранение! Где же “золотая середина”, сколько партий в год лучше всего выпускать?
Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год — p = N / n 
24000 / n.
Получается, что интервал времени между партиями составляет
t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе — n/2 штук.
Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз?
Сосчитать нетрудно — 0.1 · 12 · n / 2 гривен на складские расходы в год и 400
p гривен за запуск партий по n штук изделий в каждой.
Рекомендуемые материалы
В общем виде годовые затраты составляют
E = 
Tn / 2 + 
N / n {3 - 2}
где T = 12 — полное время наблюдения в месяцах.
Перед нами типичная вариационная задача: найти такое n0, при котором сумма E достигает минимума.
Решение этой задачи найти совсем просто — надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает
n0 = 
, {3 - 3}
что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий величиной в 2 месяца.
Затраты при этом минимальны и определяются как
E0 = 
, {3 - 4}
что для нашего примера составляет 4800 гривен в год.
Сопоставим эту сумму с затратами при выпуске 2000 изделий в партии или выпуске партии один раз в месяц (в духе недобрых традиций социалистического планового хозяйства):
E1 = 0.1·12·2000/2 + 400·24000/ 2000 = 6000 гривен в год.
Комментарии, как говорится, — излишни!
Конечно, так просто решать задачи выработки оптимальных стратегий удается далеко не всегда, даже если речь идет о детерминированных данных для описания жизни системы — ее модели. Существует целый класс задач системного анализа и соответствующих им моделей систем, где речь идет о необходимости минимизировать одну функции многих переменных следующего типа:
E = a1X1 + a2X2 + ..... anXn {3 - 5}
где Xi — искомые переменные, ai — соответствующие им коэффициенты или “веса переменных” и при этом имеют место ограничения как на переменные, так и на их веса.
Задачи такого класса достаточно хорошо исследованы в специальном разделе прикладной математики — линейном программировании. Еще в докомпьютерные времена были разработаны алгоритмы поиска экстремумов таких функций E = f(a,X), которые так и назвали — целевыми. Эти алгоритмы или приемы используются и сейчас — служат основой для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа.
Системный подход к решению практических задач управления экономикой, особенно для задач со многими десятками сотен или даже тысячами переменных привел к появлению специализированных, типовых направлений как в области теории анализа, так и в практике.
Наиболее “старыми” и, следовательно, наиболее обкатанными являются методы решения специфичных задач, которые давно уже можно называть классическими.
Специалистам в области делового администрирования надо знать эти задачи хотя бы на уровне постановки и, главное, в плане моделирования соответствующих систем.
· Задачи управления запасами
Первые задачи управления запасами были рассмотрены еще в 1915 году — задолго не только до появления компьютеров, но и до употребления термина “кибернетика”. Был обоснован метод решения простейшей задачи — минимизация затрат на заказ и хранение запасов при заданном спросе на данную продукцию и фиксированном уровне цен. Решение — размер оптимальной партии обеспечивало наименьшие суммарные затраты за заданный период времени.
Несколько позже были построены алгоритмы решения задачи управления запасами при более сложных условиях — изменении уровня цен (наличие “скидок за качество” и / или “скидок за количество”); необходимости учета линейных ограничений на складские мощности и т. п.
· Задачи распределения ресурсов
В этих задачах объектом анализа являются системы, в которых приходится выполнять несколько операций с продукцией (при наличии нескольких способов выполнения этих операций) и, кроме того, не хватает ресурсов или оборудования для выполнения всех этих операций.
Цель системного анализа — найти способ наиболее эффективного выполнения операций с учетом ограничений на ресурсы.
Объединяет все такие задачи метод их решения — метод математического программирования, в частности, — линейного программирования. В самом общем виде задача линейного программирования формулируется так:
требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции)
E(X) = C1X1 + C2X2 + ......+ CiXi + ... CnXn {3 - 6} при следующих условиях:
все Xi положительны и, кроме того, на все Xi налагаются m ограничений (m < n)
 |
A11·X1 + A12·X2 + ......+ Aij·Xj + ... A1n·Xn = B1;
.....................................................................................
Люди также интересуются этой лекцией: 50. Расследование НС с тяжелым исходом и групповых НС.
Ai1·X1 + Ai2·X2 + ......+ Aij·Xj + ... Ain·Xn = Bi; {3 - 7}
.....................................................................................
Am1·X1 + Am2·X2 + .....+ Amj·Xj+ ... Amn·Xn = Bm .
Начала теоретического обоснования и разработки практических методов решения задач линейного программирования были положены Д.Данцигом (по другой версии — Л.В.Канторовичем).
Для большинства конкретных приложений универсальным считается т. н. симплекс-метод поиска цели, для него и смежных методов разработаны специальные пакеты прикладных программ (ППП) для компьютеров.
