Вопросы/задания: Вопросы к экзамену

Теория

1.Первообразная. Свойства первообразных.
2.Неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла.
З. Замена переменной в неопределённом интеграле.
4.Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
5.Определение определённого интеграла. Пример неинтегрируемой функции. Интегрируемость постоянной функции.
6.Линейность определённого интеграла. Аддитивность определённого интеграла по множеству.
7.Свойства интегрируемых функций, связанное с неравенствами.
8.Интегрируемость модуля интегрируемой функции. (без доказательства). Пример неинтегрируемой функции у которой модуль интегрируем. Оценка для модуля определённого интеграла.
9.Теорема о среднем для определённого интеграла. (2 доказательства).
10.Необходимое условие интегрируемости. Достаточные условия интегрируемости. (без доказательства)
11.Интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом.
12.Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
13.Формула Ньютона-Лейбница. (2 доказательства).
14.Теорема о замене переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям в определённом интеграле.
15.Понятие площади плоской фигуры. Критерий квадрируемости. (без доказательства).
16.Вычисление площади криволинейной трапеции (геометрический смысл определённого интеграла).
17.Вычисление площади криволинейного сектора.
18.Вычисление длины дуги кривой, заданной уравнением y=f(x)
19.Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически.
20.Вычисление длины дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах.
21.Двойной интеграл. Свойства двойного интеграла.
22.Вычисление двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному.( Формула редукции.) Доказательство для прямоугольной области.
23.Замена переменных в двойном интеграле. (доказательство в случае линейной замены). Якобиан. Геометрический смысл Якобиана.
24.Вычисление Якобиана для полярной системы координат.
25.Тройной интеграл. Свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле (без доказательства). Цилиндрическая и сферическая системы координат. Вычисление Якобиана.
26.Криволинейный интеграл 1 рода. Свойства криволинейного интеграла 1 рода. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода.
27.Криволинейный интеграл 2 рода. Свойства криволинейного интеграла 2 рода. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.
28.Формула Грина (доказательство для области специального вида).
29.Формула Грина (Случай объединения двух областей специального вида.)
30.Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
31. Поверхностный интеграл 1 рода. Свойства. Вычисление.
32.Скалярные поля. Поверхности уровня. Производная скалярного поля по направлению. Формула для вычисления.
33.Градиент скалярного поля. Его свойства.
34. Векторное поле. Поток векторного поля. Источники и стоки векторного поля.
35. Дивергенция. Её свойства. Теорема о вычислении дивергенции (без доказательства),
З6. Теорема Остроградского-Гаусса.
37.Циркуляция векторного поля. Работа векторного поля.
38. Ротор векторного поля. Свойство ротора. Теорема Стокса. Теорема о вычислении ротора (без доказательства).
39.Потенциальные поля. Критерий потенциальности векторного поля. Доказательство необходимости.
40.Восстановление потенциала векторного поля.
41.Соленоидальные поля. Теорема о векторной трубке.
42.Теорема о разложении векторного поля.

Практика

1.Вычислить неопределённый интеграл.
2.Вычислить определённый интеграл.
3. Вычислить длину дуги кривой.
4. Вычислить площадь фигуры.
5.Вычислить двойной интеграл.
6.Вычислить объём тела.
7.Вычислить тройной интеграл.
8.Вычислить криволинейный интеграл 1 рода.
9.Вычислить криволинейный интеграл 2 рода.
10.Найти градиент функции.
11.Найти производную по направлению.
12.Найти поток векторного поля .
13.Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность.
14.Найти дивергенцию (проверить, является ли поле соленоидальным).
15.Найти циркуляцию (работу) векторного поля .
16.Найти циркуляцию (работу) векторного по теореме Стокса.
17. Найти ротор (проверить, является ли поле потенциальным).