Задача: Доказать теорему о структуре общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений
Описание
Характеристики решённой задачи
Список файлов
- 2-449-1400163879-3-2.jpg 138,88 Kb
Распознанный текст из изображения:
2. Доказать теорему о структуре общего решения однородной системы
линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Общее решение однородной системы представляет собой линейную
комбинацию решений фундаментальной системы решений.
( )=су,( )у ус„у„( ).
Доказательство. Проверим, что т*„( ) = с,тт( )+ + с„у„( ) является общим
решением, исходя из определения общего решения.
1) у„(. ) = с у,( )у ус„у„(*) - решение однородной системы как линейная
комбинация ее решений (теорема о свойствах решений).
2) Зададим произвольные начальные условия у, =( 1 и покажем, что можно
единственным образом выбрать набор констант с, с„, при котором
у„(.,)=с, т(,) -с„у„(*,)=у,. Запишем это соотношение покоординатно как
систему уравнений относительно с, с„.
с,у,( )у с„у„,,( )= т,
Су,( )у Су ( )=т'.
сп „(,)у с„у„. (,)= у,.
Определитель этой системы равен зг(,)ко, так как решения линейно
независимы. Поэтому набор констант с,. с„определяется из системы уравнений
единственным образом. Теорема доказана.
сэедгтвве Общее решение однородной системы можно записать в виде
,'с )
з„( )=г( )с. с=(
(с„)
Начать зарабатывать