ДЗ: Типовой расчёт М2.13 вариант 13

Распознанный текст из изображения:

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ЛО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

2 СЕМЕСТР

ВАРИАНТ 13

3АДНА '~, Исследовать на сходимость несобственный интеграл и вычислить его, если он сходится.

Х х '1( А Вх+С 1 А1' 1/ В С

2

=~ х = А(х -х+1~+(Вх+Сфх+1/.

„,х +1

х +1 3'т,х+1 х -х+1~

+

хз+1 3 х+1 х2 х+1

1: О=А+С => С=-А=—

3

со Ь

Г хбх г хбх 1 Н' -1 х+1 1. 1 (

Ь

=;. (,, ~~.=,(.г„1,,г~

Х +1 Ь-есоо Х +1 Ь-+со 3 О х+1 Х вЂ” Х+1 3Ь-+со

Отдельно посчитаем интеграл 1:

1

— — — =~ —,— т т ='~,в" 1 ет~т.~, ет- — '~е~;-"-~

О

х — х+1 х — х+1 2 х — х+1 2 х — х+1 2 х -х+1

О О О О О 1 43

Г-

х- — +—

2 2

=-14~Р— х+1 + т~З агс~Д вЂ”"

О

~Ь

Ь

~~уГр — ьт(х+1~ +~~= — фут — Ьфс+1~ + — Ь~х — х+1 +~/3 О~О1д — = — фу~

2

3 Ь-еео 3 Ь-+со О тг3 3 Ь-еоо

— Ь1+ 3 — +—

~з 6 з4з

Отве";: т. к, пр8дел су~цествует, то интеграл с~одится и равен

з,Гз

ЗядАсгя 2. тгт~= Дх — х~;~ гхт=/вт .

тех тс; тех т ух<тех

У

8) У1 = 4х — х ~у +х — 4Х=О=~У2+(х — 4х+4/-4=О =~

2 2 2 2

(х-2)2+У2 =4 - окрукность, й=2, центр в точке (2,О). Т. к.

г, = Йт - т', то берется верхняя дуге охрткнооти . Ьыреквеи ив трвв-

НВНИЯ Х: (х-2) =4-у =~х-2=11Г4-у =эх=2~1Г4-у

ПРИ х > 2: х =2+~4-у

б) У2=,Гвх - Ветвь параболы, Отсюдах=У2/8.

в) При х=2 у, =2, У2 =4; при х=4 У1 =О, У2 = 4Л.

4 4Я

+ ~бу~((х,у~бх+ ~бу ~((х,уфх .

2 2 у~/3

4 «г'Ьх 2 4 ~ ах '''.,,.((х, у,'бу .-- , 'бу ~ Г(х, у~бх з4х-х~ 2+1~4-у~

3ФДАЧА 3. т1/сокно считать, что плОтнОсть у =1 (7. к. масса распределена раВНОмернО).

2 г с 1 пЯрабола, Вер1вина В 7. (О; 1) „8878и напраВл8ны ВВерх пО Оси

у =2 — х2/2 ОУ;

-парабола, веркина в т. (О;2),ветви направлены вниз по оси ОУ;

'г18Йдем 7ОЧКИ ПВреСВЧВНИЯ ПарабОЛ: х /4-1=2 — х /2=~ЭХ /4=3=~х=й2 .

Найдем координаты центра тккести (ХО,УО). В силу симметрии ясно, чтохО =о.

Моткно проверить: хО = — .

Му

М

хт

2 2 2 — х~ х~ 1 ( 3хз1 (х~ 1 хе 'т

х' р ( 2(

М„=ДХтбхбУ = ) бх „"ХбУ =)Хбх У~, = ) Х~2 — — — — +1~~Х = ~~ЗХ- — ~1Х к3~ — — — — ~ =3(2-1-2+1)=О

х 2 4

-2 х — 2 1 -2

Распознанный текст из изображения:

2—

2 2 2 22 — 2 22 2 2

М„=БУФхбу= 1 бх 1убу =гмбх У = 1 1 2- х — х -1 х

х ' 3 2 „2 2 2 4

= — ~ Зх — — + — — ~ = — 6 — 4+ — — +6 — 4+ — — = — 2+ — =—

16 6 ~~ 2~ 16 6 16 6) 2 ~ 6) 6

хг

2 2

Г 2 хг хг Зхг хЗ

М= ((м~хбу= фх ~бу= ~бх у~ = 2- — — — +1 = 3- — х= Зх- — =6-2+6-2=8

и

0 -2 хг -2 1 -2

-2

4

2Ц 4 16 2 ) 2, 2 16

Мх

УС = — = — =.—

М 6 8 5

Ответ: координаты центра тйкести (О;2/5).

ЗАДАЧА 4.С помо~цыо тройного интеграла вычислить объем тела Ч, переходй к цилиндрическим или

сферическим коордйнятам.

~у +22<1; х>О +2 =1 - цилиндр, вьлмнут вдоль оси ОХ, В=1, неравенство задает

ОбЛастЬ ВНутрй цйЛИНдра (бврЕМ ОбЛаотЬ Прй х ~ О)

- сфера, В=2, неравенство Задав~ Область Внутри сферы

78ло леиит Вну7ри цилиндра й сферы при полоиительных х.

зайдем ЛИНИИ ПВРВСВЧВНИй ЦИЛйНДРЯ И СфВРЫ:

+2 =1 2

~х +1=4~ х =З=эх=~Д

х2+У2+22=4

При 7аких х получим Окру%ности, К=1: у +2 =1- 7акай ие Окружность

Х

будет и В паоекции тела на плоскость 702

'"~8реидем к цилинд~~зическим координатам:

)У = ~ СОЯ(Р х +г Ооа р+г а~п 1о=4 /' ~' ' 1

2 = ГЗИУ ' Уравнение сферы:

х=-х

/

х >.О=> х 1~4-.. г~

'г'=- '„',лбуа7= 1 бр~уб~ ') бх = ~ бр.'~б' х1 — — "'~~ бр) г~4 — ~ бг= ~ Эр) 44 — г б(4 — г ) ~ — — ~= — — ' ~ б (4 — ~,~2

= — -'- — у~ ' 32 — 42 = — — '. 2к~343 — 8~=

2 2 ~ —,—. 1 ~ 1 2х 8 — 3/3

2 3 'о 3 3

ЗАДАЧА 5. Вь числить двумй способами: непосредственно и по формуле Грина криволинейный интеграл по

замкнутОму контуру ~., пробегаемОму прОтив часовой стрелки.

42хубх — х бу

2

Контур 1: у=

х х

4 2

„., х х х~х 1 ~Х=О ~У~О)=О

2

.' ОЧКИ ПВРесеЧений: — = — =э — — — 1 =О~

~=~Вправление Обхода - пр07йв часОВОй с7релки

х

1) Непосредственно. Я) Дуга АВ(: У= х бу= хбх ' х изменй87сй ОТО ДО 2.

4 2

2 2 2Г

2хубх — х бу =- 1 2х — бх — х — бх = — — — х = О

г х 2 х х х

-3

4ВС О

б) О1 резок А: у = — "; бу = — бх; х йзменйетсй от 2 До О.

2 2

С С 2 О ЗО

~, 2хубх — х бу=)2Х вЂ” бх — х — бх= х — — бх=~ — бх= —. = — (Π— 8)= ——

х 2 1 2 х ~х 1 х 1 4

СМ 2

З 6 З

2 2 2

ЗНаЧИТ, ИНтЕГраЛ ПО ВСВМу КОНтуру ~ раввн: фхубх - хгбу = О - — =—

3 3

2) ПО формуле ~риНЯ. ОРбх+Ябу=)) — — — хбу, Р1'Х,У~=2ху;Я~х,у~=-х ', — =-2х,— =2х

х

2 2

х

г з

2

о2хубх-хгбу=Д(-2Х вЂ” 2Х)бхбу =-) бх ~4хбу= ~) хбх у~, = ~) х х - х х=-4) х — х х=

О о „~ о — о 2 о

о

07687Ы СОВПЯДЯ~от,

Распознанный текст из изображения:

2СОЗ(б

б=$(ба=»(~ у =ц (ббхбу= » ба» убау«6(б — ~ (аааахаба б(б( '-'ааа аба=,(б(а«абба»' =,(б( а(=

г

2 2 2 2

ЗАДАЧА 7. Най~и по~ок Векторйого поля а через замкнутую ловерхйОсть О двумя способами:

1) НЯПОСрЕДСТВЕННО, ВЫЧИСЛяя ПОТОКИ ЧврЕЗ ВС8 ГЛЯДКИЕ кускИ ЛоаерХйоСТИ ст,.

2) ло теореме Остроградского4 аусса.

а = х(' + у(' + г х 2 = х + у - КОйуС 2-ГО ЛОряДКЯ,

о.: 22 = хг + уг;-'( < 2 < О лри х=-1 (х > О) получим лолуокрунеость, В=1:

Х>О Х'+У'=1.

1 Йай'"бем потОк н8лос, 8 ств8йнО.

Р д

а) лоток через вь1лукпую часть, .:~ = хг+уг-гг =о диб~ =(2Х,2у,-22)

а= ' ' =~Г ' ' Т. Х. НОРМбба ВНЮШНЯЯ, Тб а

фх.бу,-бх( (х,у,-х( Х,У,-2)

б4« «ау «хх х «у «х Х'+У'+2'

(роецируем на л„оскость ХОУ - получим полукруг В=1 ( область О), и перейдем к ло«лярным координатам.

(а,а) х~+у~-2~ х +у +2 х~+у~-2~ х +у

1~2, 2,,2 ' ~аоьу~ 2 2 2 -2 -2 -г

(у(З УраВНЕНИя КОйуСа: 2=-»~хг+уг (т.К. 2<О).

2 2

.=~-~-' — ~-= — +х +у = х +у +х +у- =1(г +с =г+г

Х +У 2 2 2 2 2 Р (2

)сов х»

«у

Х +

2 1

па= фаа(а~= Ц~-'~бабу- (( «х'«у хбу= (ба((«««уб« =

а хг+уг

уу (1

Счита8м поток:

гэ с'1 ( '» '» ( 4+3 У~к

= » бр(~(~ б-(э 'бг = ( бр — -+ — =у~2 — б- — =х.— =—

л

б) Пото~ через нихснее Осйовайие: ~1 . 2 = -~ п1 = (Од,-~); проекция йа плоскость ХОТ - та хне.

(а, л1) = -2 = -1,7, к. е=-1; ~оЩ~ =1. СчитЯем ПОтОк ч8рез ВВрхнее ОснОВание:

2 — 2

= Д(а, л1 ~~.~ = Д-~~-'-~~бхбу = Д(- фхбу = - ) б~ф~г = -1Р~

2

в) лоток через заднюю стенку. Ог. х=О; лг=(-1,О,О); (а,ог)=-х=о= ог = О(а,йг~ =о

~г

. Об«(.ций ~о~ок через Всю замкйутую ловерхйость ст равей П = — — — + О =—

12 2 »2

2) НайдЕМ Г(ОтОК ЛО тЕОрЕМЕ ОСтрОГрадСКОГО4 ауССа. и = Щсвабхбубг Сва =~+1+22 =2+22 - ИйтЕГрап

СЧИТЯВМ В цИЛИйДрИЧЯСКИХ КООрдИНЯТЯХ ( уравйейИВ КОНУСЯ В цИЛИйдрИЧЯСКИХ КООрДИйа7ЯХ: г = у ~ 2 = — г ):

2 1 2 1

уу

.- ((~«р а*баб«а- ((ба(хб(баб*= (ба(ха~а*~~а» = (ба»~(-б~ ~«+а-«(а-«(а, ((-аа «' «~»=

ау (у -1 л О к о

,3 '( 21 ( 2 1 11 В 3 Е

З 4 2~ (, З 4 2! 12 12

ЗАДАЧА 6 .Вычислить лло(цадь части поверхности сг, заключенную внутри цилиндрической поверхности Ц. ~: 2=-~хг+уг - ВврХйяя ЧаСтЬ КОНуоа 22 =хг+уг, Ц: хг+у =2Х=~('х — 2х+»~ — »+у =0=~(х — '»)2+у =1 - цилиндр, Й=1,ось прОхОДи7чер83тОчку(1.0.О). б- Пб = »((~""У: у=ха+ух-хх-а б«абу=(бхбу,-бх( а-а ~"'~У ~* -а х"'Уб~ (ааау(- В ~-" 4х +4у +42 х +у~+2 х +у~+2~ 2 2 2 »оозх~ =

ДР 2,8' Д' ' :-»а плоскости ХОУ перейдем к полярным координатам. Проекция на ХО'т - а: Кру( С ГОЯНИЦей х +у =2х. В ПопярйЫХ КоорДИНЯТЯХ:

Распознанный текст из изображения:

; ~аозт~ = — ':. Проектируем тело на ллоскость ХО2.'. Проекция - область О.

1

~7 - . Ьо1а,й 0+22-2х ~Г6

— =~(О-О)-~(О-22)+й~-2х-О)=Щ-2хй '-~ — '-~= — =2~2-х).

ф ~сов,В~,Я 1

— Х

гай = ~~-'- ~Ж

)х

~2-2х

2-2х ' 1 ~ 2 ~ 1~' ~, р

):.=Ьо~ххЬ -~~, ',хХх-ЦХ*-х~ахХх-фХх ~~х-хИх-х1сй — -хх1 -Х0," -ххХ-Ххах=

а, ' а о о о ~,'~о о~

1

=2 ф-4х+2х -2х+2х фх =2Р— бх+4х Вх = 2х-Зх + — =2~2-3+ — 1=2 — = —. ОтаатЫ СОВЛаДаЮт.

Р'„, 2,. 2) ~/ 2 4хз -Г 41 1 2

з 2~ з~ з 3'

О О О

Ответ: Ц=213.

ЗАДАЯА 8. Найти циркуляцию векторного лоля а ло контуру Г двумя слособам линейнь1й интеграл векторного лоля ло контуру Г; 2) ло теореме Стокса. 8-'".У ~ — Х ~+УХ 2. 2 Г:2Х+у+2=2, х=О, у=О, 2=О

Е у!3 ур-я ллоскостй: лрй к=0- лрямая у+2=2; ори у=О -прямая 2к+~=2;лрй ~=0 -лрямая 2х+у=2. В лроекЦйи на ллоскость ХОУ " область В "треугольник - рис. см. нйЯе. 1) И8ЛОСреДСтВЕННО: Ц=фа,б~)=~2 бх — х бу+2б2. а) отрезок АВ: е':-'0;у'-2-2к;ф=-2бк; бе=О; х е ~1,0~

О О зО Ав ~ 2 бх — х бу + 2б2 = ) Π— х ~-2бх) + О = ) 2Х бх = = Π— — = -—

2х 2 2 1 1 '1

х А х б) отрезок ВС: х=О;бх=О; 2 ~од.

2 2 22 ~г бх — х бу+гбх= )О-О+хб2= )2бг= = — =2 Г 2 2 Е 2 4 д 2 2 вс О О О в) отрезок СМ у=-О; оу-"0; х = —;бх =- — б2',;2е~2хО~ .

2 — 2 1

О О О ~~ 2 бХ вЂ” Х бу + УбУ = ) 2 — — ' бУ - О + 2б2 = — — + 2 2 = — — + — = О + — — 2 = -—

Е 2 Е З СА 2 2 Найдем обдфю Циркуляцию: Ц=- — +2- — = —.

2 2

3 3 3 2) ЛО тЕОрЕМЕ СтОКСа, Ц= Ц(и~ал~Ь, Л - ЕдйНИЧНая НОрМаЛЬ К ЛОВЕрХНОСтй а, ~: ~ =2Х+у+2-2 = О

0