Задача: Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на конечном отрезке интегрирования.

Распознанный текст из изображения:

()у)[([Ф[))р(б~',О~~3Вжв,:~~;*:~'~~$~~М~!;;~~"фя[рфб[)(бтг))ю(~у[в)(~~

Несобственные нктегряды от рязрывнон фтнкннн но конечночу прочежутку

(второго рада). Функция может терпеть разрыв на левом конце отрезка [ Ь], на правом конце

или в некоторой внутренней точке с отрезка. Пусть функция (( ) непрерывна на отрезке [ ь[ за исключением точки хо а,

тогда несобственным интегралом второго рода от функции у( ) по отрезку [.ь[

[у(,)а называется предел Ьн,, ) у( )С о)гт(')Ь

Пусть функция у( ) непрерывна на отрезке [ .ь[ за исключением точки хо Ь,

тогда несобственным интегралом второго рода от срункции у( ) по отрезку [ ь[

[у(,)с,называется предел Ьщ [П ЬГ =(.Г(*)т

Пусть срункция д( ) непрерывна на отрезке [.В[ за исключением точки хо (.ь), тогда несобственным интегралом второго рода от срункции у(.) по

отрезку [ Ь[ называется [д.до =[у( )т е[ д Ьт (интегралы в правой части

определены выше).

Если указанные пределы существуют и конечны, то интегралы называются

сходящинися, если предел бесконечен или не существует вообще, то интеграл

расходи тся.

Если сходятся интегралы от сруикций у(.) з( ), то сходятся интегралы от

сруикцийд Л ) т'( )яз( ). Это следует из теорем о пределах.

— —,еь»,,[- — 1 Интеграл расходится, так как пределы в правой части

равенства бесконечны.

Распознанный текст из изображения:

Заметим, если здесь формально применить формулу Ньютона-Лейбница

(она неприменима, т.к. функция разрывна), получим ответ 2. Еще раз убеждаемся,

что теоремы следует применять, внимательно проверяя условия их

применимости. 1 врезках. теареив. Пусть при ь выполнено неравенство о < у( ) з( ). Если интеграл [з(,)ь сходится, то и интеграл [у(,)ь сходится.

зз

Если интеграл [у(.,]ь расходится, то и интеграл [з(,)а расходится

Доказательство. Проинтегрируем неравенство о я у(. ) я я( ) на отрезке

[ Ь]Ь

о [у(. )е я ]'з(. )ь. Так как обе функции на отрезке имеют только

положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие функции от верхнего предела Ь.

Если [з( )т сходится ([з( )т = 1), то при любом Ь т а ок [Д )с з[е(*)т*з

[д(. )е= 1 (1 — конечное число)

Поэтому [у(*)з - монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего

предела интегрирования Ь. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция Ь имеет предел

1„ч [г( )С,=. ят, т.е. интеграл [у(.,)Ь сходится.

Пусть теперь [у(*)т расходится. Если [к( )т сходится, то по доказанному и

Распознанный текст из изображения:

) Д )а сходится, противоречие. Теорема доказана

Вообще-то, все было ясно из геометрического смысла определенного

интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции. Если

значения одной функции больше, чем значения другой грункции, то и

соответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь. И если зта

площадь конечна, то и меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь

бесконечна, то и большая площадь бесконечна. Но строгое доказательство не

подведет, а «очевидное» иногда подводит.

2 арязвак сряввеввя. Тевреия. Пусть при хза у( )ха з( )ьо. Если существует

конечный предел Вщ =кьо, то интегралы (Г(,)а, (з(,рп сходятся или

у()

з(*)

расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один

расходится, то и другой расходится).

Доказательство. Из определения

ОЗВ( )ьа Вм ~(')-К г их — к~(')<Кт

з( ) с(*)

(к- )з( ) Л )с(дт )в( ).

Распознанный текст из изображения:

Если интеграл (у(,)а сходится, то по первому признаку сравнения сходится

интеграл ((к- )е(*)ь, а, следовательно, сходится интеграл )'к( )а. Если

интеграл (з( )т сходится, то сходится интеграл )(кь )з( ';.я*, а, следовательно,

по первому признаку сравнения сходится интеграл ) у(*)а. Пусть интеграл

(у()к расходится. Если интеграл (з(.уд сходится, то по первому признаку

сравнения сходится интеграл (г( (а, противоречие. Пусть интеграл (я(*)а

расходится. Если интеграл (П )з сходится, то по первому признаку сравнения

сходится интеграл ) з( )а, противоречие. Теорема доказана.

Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от показательной функции.

Пример. ) — г — ~* сходится по второму признаку сравнения, интеграл сравнения ),К .

'1

Пример. ) = — — к сходится по первому признаку, интеграл сравнения

,ч. — !

( 'ь.