Книга: Сборник Свешникова

Распознанный текст из изображения:

УПК 1О, 2 (и, б. !!

зл

?51

йй

4бт

1Ю

55!а! 1Сй

!С7 1!2

15, н Л Л !' к т и Б и 13 т 0 1'1 О и'

17С7!Пз!1С55з?,,т '!1 С51, 11!1!1!Кг,;~ - 1- 1"1;,ц Г,п!Пт

Сопрник задач КО тслрян нсрОятилстсй, математической

статистике н ГСОрнн сду'1яйныз: функкнй, ООЛ ре;!якнныг Д. й. С нею ил кола. Пзгазетьсгнг5 г!!ау!а», 1лаа»ан редюи1л физю о матезл15551ес1,ой лп.ературы, 1З70,

Сборник ггх55нтылнег нсе ос!юг!пыл раздеты теории !5грзятгюстс11, зсгрезгоююнеся ирл реиюи:и пргзк1тгческих иаир!кон, слизанных с антозюмгческлм гираалююсм ссргботкой оглыгньы дююаои *,сталоалснлсм пх то'юости и Г.

В 11а 17!ом плйасйафе анин кйаткжг СВОЛКЛ рабочих форт!Уз л гхезг, лрлмыюнне которых илдюстрлртгтся реагю;ием и!55!з!СОО15. Задачи свЮ;кеяы отлетами, а н отделыилх стучю1х и кратк151и1 укимю.юлг, нззаоляююими чигата ио гам. Сголюги но найти и!11, к лт 11сие15ло. П ко1щс Зпдачн«Ка ЛОИЛО15ГС55Ы КрГПК51Е таблплы длн серюгтностнь.Х рлснсгон, необход1гаые при реюенюг рлдн задач.

Латыл Нараа Гртарггзаю Ггггагг хо!лага! Глгзз15зат,

Даагр И аа !!заза га!. «аг!арса Л1агарз гати ' юа.

1.ззыю!лаз А11ан Дртааалан '5, Са! раааа Ю!.мгла 1 ! Г5,азач

гаага: 1 зздг! 5 на теарн 1 а. рот!!!сазан. зыга 5юняасгюа

Ггагггств5га й таа!«лг слу 5зггнз51 5!15у5555н5!15

И., В а г., Ваа атр. с алл,

Радзктар рг. и. уларам.ы

'гезн. ргп1555155р к. Ф. Крт 15!а

сдана з аллар ! 1 1з70 г. Надааатыа я ааязтн 7!С51 !97а г. !гунзгз 81К1011

т»рззз1 юс сна знз. 15-5!557С1з. цена ннн .н 1 р. за н, 'заказ го !1!,

Глазная радзклнн нюанс.ната.ытн ыскаа лагер.!туг ы.

О!дгаа та!даню а КраалаГа Знззыяа .1Га 1ГГзздснз51 Гнлап1зфяа Ы

!1а:«51аы!! Двор наела Д Д',. 1арыы»о Глз .«лл аааа5р ы К.ч

1« ггеяаатг! лрн салага м*5ннсграз сг.ср г, л.ни!град. Гзтя15нс! я у.г., 26.

Прсаислоюге ко нторому нх;югн о

Прслис.и иие к псовому издал!!го .

1 з з а а 1. Случайные события ..

7гт 1. Соогяошсюю лекс!у сзтчайиыми СО1,Ытпятю...

Ь~ 2. Нспосретстнспгюи1 подсчет лсроятлостсй...

!1. 1 еометрлчсские асроям!ости

й !. Условная вероятность. Теорема умпоксиия аероитиос сй

тт 71. Тсорсма стон!с!игя Всронтностей

11 Гь Формула подлой асрояпюстл

О 7. В!зги!Сзсние ггроят1юстсй гнпотгзгюс:1с исюг1ююя

!формула Ьатгсса!

д ьа, Бгг юслснпс лероя!постой лояадгиии события лри

и!игорных независимых нспыгаююх

6 Гс Подююмпагыюе расирсдезггиис. Рскуррснтные

формулы, Пползло 1ящие фгпкилн С а а а а Уй Слуги!Злые величины .

15й Ря 1, ю огоутолыюк н фу55к555551 распрсзсдсгюя .!искрстгвй ел!чай!ой лел!юю1ы

тч 1!. Фулкпия расирсдсасюгя п из!!!носы, ьсроятностн

ию1рсрынгюй случайной всзнзтиы

12. Плодовые характеристика дискретных случайны:г

ВГ Вг НП

Н 171. Чисаоаыс харютлсрнстлкп нелрсрыьиых случайных

ЛЕ;1ИЧПН

й 1.'. Закон !11ассон:1...

ЬХ !Зт. Закал нормального рас55рсдслгиич

Ч 1Гз. Характеригтп*1ссклс фт! Кю и

Н !7. Вь! вгзс!и«1 полкой асроям«нгл н услгюяой ила!- ности лероя пюсти после опыта дзя ююотсз, ла:5яю-

Распознанный текст из изображения:

Огидндныян

о гл л в л =;. и гв

124

13'1

!.)и

20л)

2)0

!

";!'1

Гл в в з

%

! лана

%

Глава

232

') 3

о!)

ыихся еозможнымн з)и)ченнг)мн исгргрывпых сл)- Члйп),)Х ВЕЛП )ПН

Г л а в а Йй Сястемы случайных велнчян

ья 13. Законы распрсделсыы и числовые тарах)соистихн снстсм слт')зпнь!х Всли'!Нп

19. Закон нормгыыглго расирелслытя пз плог)!ости

н в прострз)ктвс. !Йпогомсрнос нормзлыис рлспргдс.)епнс

3 20, Захоиы рзьпрслслсы)я пологи )см нгирсривпых

слу ыйных ве,)нчин и услов))ыс Вазоны рзспредсле)гпя

а !)у. чясловые характерястяия Б зявоцы распред)еленяя фу'яицнй с*)учзйяь)х велвчяя 6 21. )!Половые характерном)вп ф) пкиий случайп)ах величии

Н 22 ° тя'-")я Гаспре)слепня фуигпнпл слу "ии)ых ьг-")- ЧНН

ья 23. Карли)срнст)ыссзис ф)икиии снызм и фгиюий

сяучаяных вели))и!

41 24. Коли)озииия злами)в рзы рс )сл)ипы ф 1)5. Л)п)сзрнззипя ф) нзп! я случайных Вс.! )Чии

.6, Компози))пя ХВуис1и.ых н )осх'!Срп))х но,')миль"

ных законов расправе:)ения с нсполь)озз)асч )ын гия сзторн л ! Н)х отв)!овсы)1!

днтровяя н ннфор)алиня

27. Энтропия слу')зйиых соб)азин н ьг ииын,

23. Коля )сстз> пп)!армм)ии

)У1. Г)ределытые теоремы

20. Закон болыиих гиссл

30. Теоремы Гйузврл — Лапласа и Лап!игл з

'))11. Корреляцяонная теория случайных фуницнй

31. Обгдие свойства хоррсляцяо)иных ф)'павии и законов распределении сл)чайных фугпсций Й 32. )1Нпейиые опсрацни иа)! слу ыниычи функциями ХЧ 33, Зала гп о выглрос,.!

Й 34. Спектральное рзтложгиис стационарных с:ы ыиБых фу'н хи и и

5 35. Зычнслсинс верон гностиыт хлракырнстик сл) чайных функцнй па Выходе динами)ссхнх сне)сч ..

ф 3)3. Оптимлль)!))е лннамячссьнс снстсмы... 301 Й 37. )!стол огнбмогц«х ........, .... 414 Г л а в з Я ий Марковснпе процессы

31н. 14сп 31ьр «вт

Й 39. Марховсвис процессы с дискретным числом состоянии! ...,............,.... 347

40. !4еирср)явные марвоасяие процессы . 36! Г л а в з 1УЗ Методы обработкн результатов наолгоаеннй 337

Ц 41. Опрс;селение моментов ел)чайных вслпчпп по розу))ьтатзм опьпоь . „.....,...,,..... 337 3 42. 1овери)слыгые всроятяося) н доверите)тьныс ии)срзз)ы...,...,,...,...., 403 ф 43 Крнтсрии сыза! Пя

Й 40 Обработва результатов пабл)отггий по способу

ианчгиыиях внадрятоз,............ 433 Й 43 Опмнсти )ссхпс методы зоптрола зачес)за.... 433 Й 46. О;)реле.)с)пк нероягиоотяых харзя)срисп)к случ)ыиых фунхцнй п) оныти))м дз)выч .. 313

!)р н л о гя с и и г. ! аблнцы................. 6Ы

1Киоэыовы)пыс )зблнцы с ось)лкя)н пз ы)тора;тру . бл2

'1яте!)згура ......,...........,....., 031

Распознанный текст из изображения:

1

11рсдлзгась1зя к1ш, а огли жегся от ие; ваго язд5внш1 ЯСборшшз зздгш па теории з«роя!Посгей, ма!«мз!1П5сскай с а!Пс«и!ке и тсарш! случайных гру15кипйз 111з«ч«,1, 1965 г.1, в 1рсх аы оВо-первых, и зздшпиш добавлена себолшиос кашшес1яо новых задач, гокэзазишхся легарам шг!ерссиьаи1. 'г1«икра всех новых задач дш!ы со звезда шой. Л,ш тш.о чга! ь! упросгигь пользовш1вс первым пзда1ншм ззлз !'ш!ка !и!95!. у со вторым, нумераиия оста.1ьшях зздач ос5авлшш без изменш;и ь

Бо-вторьп, текст киши был заново прас«!Отр и. чго позволило ус!ранить все замсчсиггые педасгаэки и пагреии5осгп,

Нзкоиеп, и-трсгьвх, в канис книги даны краткие таблш!ы, необходимые прп рсшсииз рядз задач гв основ!'.ом гю с!вы!- стикс). Вти тзбгп1иы име1ог чиста !'!Сбиое азана:1«55ис, даны с малым числом десят1шных знаков н имеют грубыс входы. Лля чита!елей, желающих !!роизвести расчеты с больп1 П точностью, в соотвстсгзуюших 15сстах !скота привслеша ссыгшп иа нс!о пики, в которых мо:кио из!Пи подробны . 'таблииы да!ного типа. 11ри ссылках сохраиш1ы прежпи«обозшше! и ь т. е., изпрнмер, ссылка 13Т~ показ«1взсг, что по !Обп!Яе табл!ч!ы можно найти в ясто П1пкзх, указаш1ых в с!иска использоп:шпых таблви я кони. к!ига. В том слу!ас, когда дзш зя табшшв приз«дспа и з задячш!ке, в канне со!жвстс1ну!ши«шо пункта списка указан римский номер ягой !аблпиы з прпло. жш!ии.

Авторы шярз!ха!от блз одариошь всем липам, П1шслави:пм замечания по первому издшшю задачника.

11рстг1з!'3«ыз5! к!дша ЯВляетсЯ пере1эзаагкай книги тех з!е

витораз «Р«казодство для !П1жл1еров;ю реиэешпо за;иш

тсоши1 всроятиостсйзч изданной в 1962 году Суд!!ромгизом.

11ер«работка, помимо редакгировз!шя всего текста и нспразлеиия обнаружшп1ых погршшюстей, сосгоялз и доозвлсшш

навои глазы, пасияп1 зиной тсо51ии марковских про!шагов,

.а тзкже в некотором расширшиш раздела, отпосяшсгося

к матея!«5!Яи!«с!Сой статистике.

Ц«л1 книги — помочь пз«"5З!О!инъ1 теорию Веч«051т15астс11

" .. Прнобрсс!и навыки ее прим«пеш1я к решен!по различных

: 'прикладных Вопросов. 11озтому при подборе задач п мшадов нх реию!!яя осиозиое внимание было обршцсно не нз

1

фар!!Зльпо-ь1агемз5Я !ескую сторону теории авраам!остей,

з иа се П5шклздиое годер!канис.

В кзж!!Ом пз1!Згр5595!е кп1ши даны решения типовых примеров, Остальные зада и сиабжс1гы отвегамн, з в ряде случзсз и неогэхг!Снам!!М51 хказан1шьш по их 1эсшсншо,

*СО«!эипк зчдз'!ь расс 1итзп пз читзт«ля, Владе!01!вега

*

творю и шшкпм магсрп:шом и Объеме какого-либо об!ного

!«урез теории вероятностей 91зи151ыер, Р. С. Вш1гиель, «Уеория !!ораз!пастей!и 1992 плк И, В. Лу5пиььБзрковскпй

1.1, В, Сми«!1юв, «'1'«ария 151:1эая5ч1остей и мзтемз5П1ческзя

сш5П1сгикз В тех!!Пк«», 1955) и 1юкагаоыми даоззачиыми

си«де55П51ми, 1шеющиъи:ся, !5З111эпз!С15, Г ни!игах В Р1 Вхни. мшш, ЯФЛ1О5«ту55ило55пые проиессь! в радиопрпемиых усгроис1ззх!ч 1951, Д. Д, Свешнвков, «Приклздн!Зе мс!оды

Распознанный текст из изображения:

ПРЕД!ГСЛОВНЕ К НВРВОМУ ИЗДЛНН!О

ГВЛГЗЛ 1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЬЛМЯ

1ГОРПП СЛУ«жбных 65уикцнп«5, 1661 н 1Л !!. Сгр,лоновп 1, «Нзнрзнные вопросы теории флюкгуаипп н р:51Р555техивкся, 1661,

Нов изинсзннн книГП !1снальзаззн 51«д ОГсо;с !Пап!ь1х н ю1острзнных исто«сникав, оги:зко 6557.1ьгнннсгиг! .«лдзн сне. валено:,иторзмн.

Авторы отк;жалясь ог пог!СПГС555151 в ка:5сстве прина«ксюгя табл!ни пеабходгы1ых для 5реи!енн5! !5С1 огарых зада~5, так как в !!ос»!Сд!ю«' я57емя паявп.тась и!юга ю;иг, содервгаП1их пад!Об!ыс тзблвць!., !л5 удаосГнз ссылок после тскс1а о!встав приведен список испол!«ауемых табл!и! с указа!ни и него инков. в которых этн 1зблжгы могут быть найлсю!. Прн ссылке иа гзолнцу укззывзетю! ес нокер з з1ом спнск:.', например 1:5Т~.

Н конце кпнГП дан список 1!и!ературы, я ко!юГ!ьп1 вагплн все ис«ю5НП1кгь пспользовьюияс и той нл:1 иная юенени ирн состж1леп1П1 «Сбор!и«ка з55д5! ! .

Авторы выражают блм одари«7С5ь всем лицам, ирнслаюннм ззмс'5а5О5я по содсржз1!юа «р каводства для ю!жснеровз, и оьабеюа блыодзрят !7. Сн Рпед«ко, сде:ывюега ряд ззмс'Гмжй 1ю содержююю кгю.к, ко орые зв!Оры с',ремнлпсь ун5есть ирп е: исрсрабогкс,

$1. Соотвовгевня между слу«гайныагн событвямн

Оснгвные формулы

Слу н5П! Ыс сосыггж обожюиаюжя ла1ппскимн буквамп Л,

В, С,... !Л 1Г. Ррннем  — досзове!55155ю з 1I —. Псногможнае сабы:,ия. 175515«!Резво А.=-В озпаи5ает, «11о пояялсю!е одного пз в1пх сап!,1ти!! Нас иг зз собоп появле. Пс,гругаг 5, !1ронзве;сине собинин А п В есть сгибы!не С=. ЛК сосгожнсе в изс1уиленнн оос;ж соб«ы1 ни Л п В. Г,'1м«и1 собы!Пй Л и В ес!ь собыж!с С.=:Л-',-В, сосгаяпюе в и.кгун.ю.

Гии хо!я бы одного 1ю сабы!ив Л н В. Рзююс!ь с«55715!н!! Л я В есть соб5ызгге С=.Л вЂ” В, состоящее в !ом, 1га Л ироисходит, а В 1ю ппонсходп1, 11ротгьополож1к;е собы515е обозы жегся гао жс Гуюой, но с яср!ои с5!!Еху, 11апрнмер, А н Л вЂ” прогияоноло;кпыс сабьгыж, нри 1ен А Овна и:ег, ято Л

!

. ие 11роисходцг. Собыыж Л и В исс «нмесгпы, если АВ= 1Г,

Собыгня Ал !Д=-1, 2, ..., 11) Образуют нолг!ую 1ругну, если и 1зсат'льтзть опыта абязате,'Гьио долж!5о и!!О'!войти хотя бы одно пз ннх; при агом,' Ль==- !У.

«!

« == 1

рсн!Они«' типовых н':знмеьрав

Н р в м .' р 1.1. !1рп каких событиях А п В иозмо5кпо равенство А+В=-А?

Р е Рве в пе. Суммз Л+ В представляет СО17ОВ сабы!Не, состоя!цсе и наступлении хотя бы Одпаго ив событий Л в В. асан Л+ В=А, го событие Л вкаоязег в себя событие В.

Распознанный текст из изображения:

1о сли !ап !ып соси!г !я !гл г 11аирпмьр, сслп соби.гю Л вЂ” иопацаиис в обггзсаь л'и ь  — в,,в, то о' . зс'ь Вл рз потожсиа в Ь, Лиалоги|по рси аю ~ся залачг1 1,! — 1.3 я 1ля. Г1 р и и е !а )ль !)з таблицы случайинх .псел иауга г гжы б аиы льз числа, Собьп!гя Л !г В соотзстст!!ви!и озизчают.

по выбраио хо я бы огцю ирасчое и хотя бы олпо югное число, Зго сзиа !ьчог собьпия ЛВ и А+ В?

Р и ги е и и с, Событие АВ озим!аст иас уплеиие собьппи А и В, т. с. пз двух ььабраииых чисел одио простое, а другое

ютиое. Собьппе А+ В озиа юст ~ аступлсппа хотя бы оаиого пз сооьппи Л п В, т. е, срвдя лвух выбрюгиых иыегг имввыя хогя бы одно простое вля хотя бы оьию четное игсло плп одно яз э.!пх чисел просгое, другое чвзгюе. ггиалог!гчио рсюа~гатсг1 задзчп 1А — 1.7. 11р им ер 1.3. Доказзть, что А В=А+ В и С вЂ” г- В= СО. Доказательство. Если половггггь С=Л и В=В,

заиггсывзсгся в ввцс А+В=АВ, т, с. Л+В=АВ. У1оэтому лосгаточпо доказзгь справслливость только первого разы!стаж

Собьпие ЛВ озиачаег ~гспоггвле1игв событий А в В. У)ротявополоиии>е сооыгяе АВ означает, что хотя бы одно из событий Л пля В имссг мссго, з это суммз событий А+ В. 11оэгому Л В = Л вЂ” ' В. Доказательство этого раввистьз можпо

!'вг. !. также прмзвести гсояетргиюскп, связав кзжяое собьпив с !юпадаиивм точки в соотввтс1яующую облзсть.

Лпалогюгио рег|гастсг~ залз ю !.9, !1окззаииыв в примере 1.3 рзвеисзва ясгюльзуюгся и)зи рггпсю:и задач 1 10 — 1.!4,

11р и мир 1А. Злектрпчсгкзг1 цепь мсжлу то ~камп А1 и .Ч состазлсиз по схеме, ~грю.в;.и пизп па рпс. !. Выхол пз строя элеьгегпа а — событии А, э,ымепгз !га — сооьпие Вг, !/г= 1,?, 3!.

)

а и соотиогис!п!я жаждет слячюи;ыми сопытиям:г 1 !

Заюыагь выра;кигяя для соб~пий С и С, если С озиача.г

разрыв цспп.

Рсюсиив. Разрыв ггспп произог!Лег в том служи, если

выплат г1з строя злвмвгп а илп всв тт;п члюи ига па (к = — 1, 2, "),

З!ли сабы и;я согж юггствсю.о раисы и Р, В.у!, ! !оз гому

С= А —;- ВгВгВ...

1'!спользуя равеиствз пз прпмара !Д иахотим

С=А -- Вгваг)з=--:!В.,г?:,,:::.,=-.1;.г — Ьа — , '?1;,)

Задачи

1.1. с!го оз~гачягот ссбьг,гая Л -'-Л и ЛЛ?

1.2. !!гила возможио раввисгво АВ.= Л?

1.3. У!иц~сги состоит гю лесятп кругов, огра|и га!игых ггсии:сигргигсскими окруакиосзями с рапи)сами гь (г=— =1, .~,, 10), г рвчсм гг( та<...С гиь Со[1ьг!ие Ла— иогюлаиие в круг ралиуса га !А=: 1, 2, „10). Чго озгычаюг собыпаи

а

Зю Л„С.=Ц Л,

ь=.~

1А. События: А — хотя бы одги пз трех проверяемых приборов браковаггигай,  — асс приборы лоброка юсгвсипгас. ь1~о озиачзют события: з) Л вЂ” ', В! б) АВ?

1,5. События А, В и С озг1ачаюц что взято хотя бы по овцой кии|в из трек разгиии,ых собрагци1 со ~инерций кажлов яз которых гола!зжиг гго гграйисй ма!зв ~ ри тозю. Собы~игг Лв и В; означают соответсгггс1и1о, по из первого собр:.ию1 со пиепи!! саягы а, а пз второго л томов. З:гз озгачаот сгнзыгвж а) Л вЂ” '-Й вЂ” 'С; б) ЛЕС; в) Л,+11,,; г) ЛаВ,; л) !А,Ва+В,Аа)С'

!Я. !1з таблицы слмчайных висел паулзчс взято оьию пюло. Собьг ие Л вЂ” выбрдииос 1ис.ю лелгпся !.и 5; событие В— Лаипос чис„го окав гг1вас,ся ихлсьг, с!1о озпа~гаьзт А — Ви ЛВ?

1.7. Событие А — хотя бы олво из имсюи;пхся четырех излслия браковаииое, зобы,:пе  — брзковаииых пзлслий

рл ..: »: .осе а .. '1;ага прог оиь . собьг~ив г! и В?

Распознанный текст из изображения:

12 СЛМЧаГ! И !В СС1!:Ы! и !

13. Упростить Выражсипе А=(В--';-С)(В+С)(??-' С).

1лд Еогда гозмож11ы равеиствж а) А+В=-А; б) АВ= — А; з) Л-1-В= — )В?

1.10. йа??гп слу юяиое событие Л' пз равепства

Х-?- Л+ Гб+ А —.. В,

1.11. Доказать, чТО ЛВ+АВ+ЛВ=АВ.

1А2. )(оказать зквпвалеитиость и справедливое! ь след) ющпх двух равеигав:

2 а а

Х Ла=Ц Лл, >' Л,=Ц т)л

ь=! а =-1 а=-1 а=!

1.13. Совместиы щ! события Л я А — В?

1.14. Локаззгь, что собып!я Л, АВ я Л вЂ” !-21 образуааг 1,олиую группу.

1.1о. Ева !Таз!Сь!Вп1ста и'раюг одну партшо. Собьпяе Л вЂ”- Выиграст первыя и.рок,  — вы!траст второй игрок, Еакос собьГпщ слслуеГ добаьять к укзззяяои совок)чиюстя, ч1обы получилась пол1гая группа собьпий?

1.16. Мацки пап и!Отел!,как т с гзяоккз с ос Гоп т кз котлов и одной ыаппыь!. Событие А — исиравиа мщшшз„ событие Вь (ь'=1, 2) — псправеи /а-и котел. Событие С вана щст работоспособ1юсть мгпи!Типо-когсль1юй усп1иошпч что будет в том случае, если исирзвкы мзиип1а и х!пя бы одш! котел. В!1разгггь события С и С !срез Л я Вь

1Л7. Судпо имеет ол!и рулевое устройство, 1стырс ко!ла ! дке турбины. Событие Л озиачзет испрзвиос1ь рулевого у'стройства, В1, (?г = 1, 2, 3, 4) — исправность ая "о котла, а С (У= 1, 2) — исправность уси турбякы. Сабы!ив Г? — судпо управляемое, по будет в том случае, ко! аа ьспрагиы рулевое устройство, хотя бы одии котел и хотя бы отца турбияа. 1)ырззяг!. Собы гик В я Г? !срез Л, В1, и Ст

1.18. Г)разбор сос1окт пз двух блоков перкого т1!Ва

трех блоков взор!ОГО 1ииа. Собы Гпя: Ль (?! = 1, 2)— исправен ?мя олок !1ервого тшю, В, Ц= 1, 2, 3) — ясира. Вси ?-и блок второго типа. Г?р! бор испрзвек, есщ! пс1,рзьш! хотя бы олвп блок первого .1В1-а к ис а!Виее двух блоков 1 горо!О .и!пз. Быразпп событие С, озиа'и!кап!ее всправсюсаж приоора, через Л1, и Вл

3 з1 нвпосгсдстпспиып попс'и'.Г 11с!'Оятиос"'Гп

Я 2. Непосредствеяяыа? подсчет веропткостей

Осзовяые формулы

Если результат опыта мож1ю пре1кчазщь В Виде полной

группы собьгаки,. ко!орые попарио иссовмесчпы и раиювозацчак1!ы, то вероя!Вость собып1я рзвиа Гтяоиюшло шслз щ

благоиряятс!Вук1ии!х '.лому сабы!шо Всходов опьпа к огпю"у

шслу а Всех Вояможпых ксхоюв, т, е. ?!== —. Г)од Га!Вол

всзможяыик иои;1мщотся собьпия, ко!о?ые и сиг!у '!Сх илп

друГих пр!и!Вп (па! римщ1, сими! !Рп!1) ие 1!ма юг Обью;пи:и!го

препмушсщаз ощю ш.ред дру! !Оь

Рсшеккс типовых приме1'ов

Р,

Р! р к м с р 2 1 Еуг, Все грщиа ко!араго окрап!еиы,

рзспилси ю !ысячу кубиков оди юково!о размеры Г1олучсипые кубшащ 1;цагелщю перемешаны. !)п слали ь:крояткос1ь

того, !то куб1ш, извлмчс11иыг? 1!а!уда:,у, будсг 1!1!СТ» .щс

Окрашсипые старо!,ы

Репе!1Вс, Всего кубкков и:.=.10Я! Еуб ямсщ 12 Ве.-,. бер, иа каждом яз коюрых по 3 кубиков с двумя Гкрзшеииьп!и стороиааю. 11озгому та= 12 3.—. 00, д =- ' .= 0 09о

и

Дизлогичио рщпаю!ся зала ш 2.1--2.7 и 2.23.

11р и и е р 2.2. Оир тел!я„зер1111т! Ос ь

пяе две цш)1ры у куба паула~!у Взято!о целсг,1 и:ела Гу

раз!и! едшшце 1Е

Р си с и и е. !1редсгав1тм М в впдс Х= — а — ' ?03—

где а, Гл... — произвольные чис.та, могуии!с г ршшма ь

Гиооые зпачекяя ог 0 ло 0 вкл!очитслщю. 'Гогдз ГС!= — аа-;

! -Р3'ааб —;... 0!сюда видно, что иа лвс гюслстшщ цифры

311 "!

! ' 11ляя1ОГ !Оды!О Вяа'юпяя и и Р, Г1цюгом!В '1исзо Вгимо к"

яых зиачс1ши и=100. Так кзк 1юслеишя шфра у а?1раш!а

единице, 1о имсетсч олио бгщгопршгщ вующе-: зит1щше

а=1, Еромс того, лолжяа быть сдппицсГ исюледияз икфра

ага !

у — —, 1. с. Колжпо Г!ка1шивщься из е;иш!Вгу ироизаеле

) .1Вд акаулачу Вз!цыа! числом. здесь Вояимастгя Л-эиачн с

шсзо (л ) 1), 1 коуорщ о каждая цпфра раа1аоаазмояяк! о! О до 0

Распознанный текст из изображения:

СЛЯЧЗН!ПЯВ СОПЬ1Т 1Я

,!ГЛ 1 !1НТОСГВДСТВВПИЫП ГО)гСЧВТ ВСВОЯГНО ТСН

пке 31). Эго будет только при Ь= — 7. !'зкгз! обрззом, благо-

и!5тгстоу1гяцсс з!Гшаше слипст вен)1ое !ц =-1„1) = 7), ио-

В1'г,му и -=0,01.

Аивлогпчяо ршпзюге)! зздз и 2.8 — 2.11,

П р и и е р 2.3. Б пзр пи! 1ш и изгшлий /г брзкавзш!ых.

Опрсдешггь всроягпосгь !ого, по среди пыбрз1шых изудз;у

д, я проверки .~и изделии розно 1 окажу)ся брзкопшшыми.

Решен:.!с. Числа возможных способов взГпь т пзде)и)й

1,з и гзвпО !»", БЛВГО»рпЯтстВчюии"п1 ЯЯ.1ЯЮГСЯ сл~"'шп,

к!шдз гз общего и!слз 11 бракови1иых изделий взято 1 (э1о

макаю сде»ззь С', спосог)азп!), з осгзльиые т — 5 пзделшг

пс)брзкоззш!ые, т. е. Оии взяты яз обще!о шслз и — 15

(кол!!»5!С!1)о способов рыло С'„",'). Поэ;оыу числа бгш а-

1»)гштствпо1иих слу)шсв риша 1,СВ '. Кскочзя в розг;юсгь

1. м — !

и-1:

буде! р=.— ' — '

Сж

))

диалогично ре»1зются вила ш 2,12 — 2.20, 2,24 и 2,25.

01римср 2,4 Кз полного 1шборз костей домшш пзудз!у

бс!Б!сЯ пЯ1ь настей, КВНГВ ВВООГГп)осп р ТОГО, '1та 5псдп

!шх буд)1т хотя бы одзи с шестеркой,

Р с п1с и и е, Квилем Вероятность 11 ! ротнвоиоложиого

события. '1 огдз 11== 1 —:,'. Бсповгпосгь того, что Все вззгые

пягь костей нс со !ержзг иесшркя 1см. пример 2Л)) рзвив

Спс. з

Поэтому

С',

)

С"ч

г) = 1 — —:,-=01793.

ЛИЗГ!ОГПЧИО ПВРЕХО,ТОМ К ПРО!ИВОВО!!Ожпоь!У

рсшвкнся зздвчп 2.21, 2.22.

Беда !и

200 Лотерея ш)пуще»в !1з общую с!мгп л рг)1»)сй. Цс;ш од)лого б!)легз г рублей!. Цешш!е выигрыши издают из ш бкле)пв. Опр)» )лпть вероятность цепного выигрыше пз азии бплег.

2.2. Случзяио выбрвп5!Вя кость дами!а окзззлзсь не дублем. 1.!ТП и веров:иос)ь того, по вторую тзкже взя По нзудзчу косгь домино можно прясгавиг к пер!шп.

23. Б колоде Вб кзрг )стырех мистер. После нзвлсчегвя

и Вази!Вз!11)иня о и)оп кзр!ы каладг исзсмсии!Взшся и снозз

пзвлекзстся 15д5и5 кзргз, Опрслелнгь в!рою»ость !ого, )иа

2А. Бук!)СПО!И! Вю)ак СОДЕРжиг )Ш О:»)ЮИ сл пя:ь дисков, кз:кдыи пз которых рзвделси из 555ссгг, сектора; с рззлпчпьп к 1)юшсе)и!ыми !ш них бгквзми, Ззмок о1»рывве):я

ТОГ!ЬКО В )ОМ СЛ)' !ЗЕ, ССЛ)1 КЗЖДЫй»ГСК ЗШИ1МЗСГ О')10 ОИ!' *- деле!шос ! оложсиее описи шшио корнуол ззикш Оп!)Сдслпп,

вероятность о!яр!В1иг! Вьмкз, ссли ус)чи)оьлсиз ирш)з1юлшыя

комшшзш!я букв.

2,0. Б риый и Гюлый катали Пазг)д)ГГСВ сааг)Ш1С!ивино

пз !црвой н гр!т1 ей горнзопшлях пшхмз1»ап дзсш1, 1!з

одно из иеззнитых палей псрьап гли !порок 1.оргзоп!и и

пзудачу сз»1В!Ггс)1 ферзь, Опрсдегппь Всроя1!юсгь !ого, ч!о

Оарззавзиизяся позиция мз10взя для ч 'р!%ГО кО)10»5!) Осли

положи!ВЯ королей рзвиововмозкны па любых полях )кзззк-

. ных гаризо!излей.

2.6. Б кап!ельке ле кзт Три тише!ы дасго;шсгвом по

20 коп, н семь монет по 3 коп. Кзудзчу бсре1ся од!и

монета, з затем нзвлекзегся вторзя моиегв, окзззвшзяся ма шгоя

в 20 коп, Определ!пь вероят!кгсть того, что и .!ерзая извлече)шзя мансгз имеет достоинство В 20 кап.

2.7. Кз г!Врт!и деталей, срегш которых и даброкзчествеш!ых н л! брзковзш1ых, дгш ко!праля изудзчу взя!о

з штук. Прв конт!юле окзззлось) что Гшрвые 11 1ш з деталей

доброкзчсствениы. Определить вероятность того, что сле-

дующзя дствль будет доброкзчесгвеикой,

2.6. Определить вероятность то! о, ч1о выбранное изгдз»ч

целое число 7)г ири з) возведи;ип в квадрат; б) возв.декии1

в четвер)хю степень; в) умно»генш! ив произвольное целое

число даст число) окзи пгвзюп1еес)! едшпшей,

2.О. 1!з десяти адиизкаяых кзр о квх ггзгп!Сзнг! рззлп:- ные;полз ог пуля до давши, Определять вероя!иас)ь того,

что нзудачу обрззаззш!ое с помои!юо дзшилх квргачек

з) двузнз)шос число делнтся из 1и; о) трехзпз))пос числа

де»1!Гсг! нз 30.

2.10'":; Огределять верояткосзь !ого, гто номер первой

ВСтРСтие!ПЕПСЯ аВЗОМЗШППЫ: З) НЕ СаДВРжиг ОДИНЗКОПЫХ ИифР;

б) нмеег две одинаковые пяфры; в) имеет трп оши!Вковые

; цифры: г) содержит две пзры одш!аковых цифр; д! состоит

Распознанный текст из изображения:

случлнкые совыти>г

Эй>2

из одшшковых цифр. Известно, что все номера >етырехз>ю.- ные, начиная с 0001, ие пов>оряюпи>сея и рааноиозмо>кные.

2.11. Десягь книг нз одной полке расс> шляются наудачу.

'Ог>регтелнть зеро>г>нос>ь того, что п!>н эгоа> три ои!>еделсггиые кпвги окажутся поставленнымн рядом.

2.12. 1-1а восьми одинаковых карточках 'нюгнсаиы сои>ветствеипо чксла '2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13, Изугад берутся две карточки. Определять веро>п ность того, что образованная из двух гголу генных чисел дробь сок)а'> ииа.

2.13. Имеется пигь отрезков, длины ко>о >ых раины соо>- ветствеш>о 1, 3, 5, 7 и 0 сдишшам. Определи>ь вероягносгь того, что с помощью взятых иаулзчу 'грех отрезков яз данных шпи можно построя>ь треугольник.

2.14. Из десяти биле>ов выигрыишыми являются два, с>ирсдслг>гь вероятность того, >то с!шди взятых патлзчу пяти би>>стон> а) одни вынгрыишып; б) оба иьшгрыишых; ь) хотя бы один выигрышный

2Л5. Обобщение задачи 2.14, И>шюгся >г-'- ги биле;оз. ия которых и иыигрьпииых, Одиоирсмщшо ириобре>аю>ся 7г билетов, Опредслигь всрг>я>ность тоге, »о среди иих яыягры>иных.

2Л6. В генуэзской ло>ерее разыгрываются левяносго номеров, нз которых выигрывают пять, !1о условию но>кис ставить гу нли иную сумму на любой из девяноста иомеро» нли па л>обуго совокупность лзух, трех, четырех иля шгги >шмероа, причем для полу >е>шя внии рыща дол>гиы пынгрк ь исе выбрюшые номера. Еакова вероя>ность вынгрыпга в каждом нз )казашзых пяти сту >зеву

2.17 Лля умепыпеиия обпгего количества шр 2и команд спортсменов по жребн>о разбивзю>ся на дзс подгруппы, 1!прелели ь пероятиость того, по две ианбо>ше сильиыс ко>>аиды окажутся: з) в разных иодгрупг>ах; б>г> з од>шй подгруппе.

2.18, В зале, пзс ш;ызшощсм и+5 ьюсг, случайшия образом занимают места и человек. Опредслг>гь веров пгость того, чго будут ззнягы оиределсшии> и~ и мест.

2.19. Из колоды карт (52 кар> и) иа> дачм >юзлскаю > ся три карты. Иаптв вероятность то:о, чго э>о буд)г трогкз, семерка и туз.

3 в> !>ггюсиздслвюгиыи под>>че> веиояпгос>ни !т

2.20. Из колоды и 36 карт пауд;шу иззлскаютсч трн картьг. Оирсделшь исрошность того, что сумма очков этих >юру раппа 21, сс.ш зале~ составляет два оп;и. дама — три, король — четыре, >уз — одшишлцап„а осп>и, >ые карты —- соо>ветс.пенно шесть, семги восемь, дсзяп и десягь сипгоз.

2.21. Имшотся пять билетоз стоимостью по одному руб>ио, трн биле>з ио три рубля п лза б»лша по иягь рублен.

11аугал оерутся три билета. Ог>рог!ел»гь верояпшс*,ь того, что: а) хо>я бы д>и> пз этих биле>в> нмсот олииаковук> с>оимосгь; б) все гри билета стоят семь руб>лсп.

2,22. О-средь в ггассу, где пооизводнтся продляю бнлсгов по о кои., ссстсшт нз 2и ~>ело>>е>г. 1>а>гона вероятность то>'о, >го пи од>вму из покуиагелси нс ирнле>ся згдг>ть «да ш, если иере> >родажей бнлеш первому иоку>ю>слю из очереди т кассира бьшо >олько 2гм пятаков, а иолу и>иис и>шгы за кшклый биле г равновозможио как пятаком, так п гр ивняком.'

2.23'. По займу ежегодно разыгрывакпся шесть оашииых тиражей п одшг дополню>ельнь:я, происхол>ииий после основного пят>то, Ич 100000 серии и кзждом основпоч тираже сыигрывшот 170 серий, а н на>клим лог>огииггельио» вЂ” 230 св!шй. Иаиги вероя>ность зыигры>иа иа ош>у г>блнгацшг> за первые лес шь лет: а) и основном тираже; б) и дополнительном тираже; з) в к>кои-либо тираже.

2.24:, 1:1з имсюишхся и изделий 1см приюыкоч облздзюг

Ъ 1

и> издс>гг>й !7'==1, 2, ..., 5), т и =и. Опр>делип, исрояг>=- !

: ос>ь того, по ич взятых >горлачу гя из'гелий укзыииыми грязиаками обладтот соответственно >ви и>ь ..., >ил излеши1, просю! з> игг = ло

>-

2.25: . Ло >з ургым слу ищшзм об!>ьзо>г рзз>инксиы и о.>иизкозых пгзрог>, Определить верон>иос>ь ого. по.

и) и первой урне и, >г>арогь во в>орои — из в иг.и — и„„.;

б) г>мс>г:тся урны, в которых соо>ве>с>воино ии и, ..., и„,

П

Распознанный текст из изображения:

'я

и.,!

. ИОМВТР)НСГ)гпи ВСРОЯТ)ЮСТП

ф 8. Геометричесггие вероитиости

О сиовиые фармуль!

Геометрическое апреле.иииг! Вероятиости мои:сг быль ии)ользаиию в там с )учась каг)п псрояг)юс)ь и )исдм)ия случзг!Пой тач)ю и лк )) ю 'ыс)ь Облзс и прова!И)июзлы)з ч=.ре этой чзсги облаии (длю е, п.!овгз и), обьсму и т. Л.) и пс,")авпспт От сс Осик)ложйи)я и формы,

г)слп геамсг5 пчсскаЯ )ий)) ! '.)Ссп Оаласгп разил сл ' гесм )ричсскля мера юсги з)ай области, иапьли)ис и кгтарую Г.юги!Рияютвуст диюа»у- соби)ию, ес)ь лрв, )о ьц о)ииас„ сабы ыи раааа Р= —. ', Области могут иметь льюис юсло

изме, ии)и.

Реп)сине типогых примера

!1р имер 8.1, 1(а га(изогызльиой плоскости вдоль прямой Асз через шпервал г располажеиы оси одинаковых вертикальных пв,пнлрав с рздиусом осиовапия г. Под углом г) к прзмои бросаежя пыр Рздпуса Й. Опре.)ели)ь веро!)тиос)в столкиаве)юя у п)арз с иилв)дрок, если перс- СС'ЮЮГЕ ЛИ)ЮИ ДВПЖИ)ИЯ гтвп Г. ра !пара с ирячаи АВ пзвиовозможио в лгобай точке' ). рис. 2. 1 е ш е и и е. Пусть х--

)

расстоиюе ат ьеи тра !пара до блп;кайпюй лююи, проходяюи! через испгр киги)Ядра пз)ии)- лслыю пзирзВлии)ю г)сри)с)ис)юя пе)ырз иыу)з, Ьазмаи игле Зизиеиия х опрсд!.'ля)атея условиями (! Яс, 2)

1

О-::-х- .—,— 551пгр О)олк)юве'.П)е пара с ююиидром произойдет в том слу юс, если

0 == х -- гт' -) — г.

'1 11спальз! смчс п)п С)0 )мал и разве Ряда задач ) рабов а))Р)С раыивозмааиюс)и попалаиия го:жз в любу!и часть области ()и ))ейной, лв)- Первой и ), Л ) иаию)ас)ся в смысле иримеивмосгя повя)ия ! ееж|е!'. ри )ескай аерсягпсси),

1)с)гома)! зерага;сс)5, зм)555! Отис)з)сипи|;.Сяп атоса! Ов, иа ка арь)х иахо !атея блзгопрпюсп)уюигпс и все ваза)о)киые

!' ."(й'-'-~ ! Р -=.!

па! й -ю !..==- -'- Зй гр Аизлогю)ио рсииюгся зздыи 3.1 — 3.4 п 3.24. 11О им с 1) 3 й). 1(з отпой зарожие з)5)ГБпта)РОППОй липы длпиап '200 .,я ззпис)и)0 саары!июе иа )гптсризле 35) лг, из второй — - зми)си)о иылопюпос сооб)иею)е. Опрсделг)ть ве1ияы осп, гага, что в иптс;)взле о! 60 да йо,и ие будет прамигх)кз .гспты, пс саг)е))жзгии'О зз.)ии), если из')злз Оааих саобигсипп рзвпогазма;кны в лк)бой точке аг 0 до 180 зг.

Рсюеиив. 11ус)ь х в у — каортю)аты иачюы записей, ири)ем х- у. Так как О= х=--,180: О==у-.—,180 и х=-у, то обгыс)ью возможных зна спий х и у является треуголююк с к))ТЕТЗЫП Па Гггг — — — - — — ——

180.я.)1)ююадь згого тре11;)йлем область зиа')еиий х и у, блзгсирпягствую-

е и)их укззжюому сабы)та, Д)55! го! а тобы получигкобхадима выпалиеппе )юраве))ствах — у.=-б')0,55

рпс. и, 51и)б)ы интервал записи был )к. »сисе 25 Ри доюкио быть х — у=:-. б ж. 1(рол)е того, длЯ палт')евиЯ пеппе)ыВиай Записи па пптсРВ)г)е О!' 00 да 80 -и д" тжпо '»5!"

чб и!.==у =. 00 лг, 03 .я:.=. х=== Ю лг,

!)Роветгя трап)иды укзззииых облзстс"1, по)гуи!)и чго благопрвягсгв5ло:пяе зиачегии х к и закгиаиигы в треугольнике, владать которого с),.=л,— 1бл ж' (р!ю. 3). 11скомзя вераят- ИОСГЬ РЗВ Ю Ож)ОЮСП)ПО ПЛОРДЗДП ал, ИОПЗДЗИ))Е В КатаРУЮ

Распознанный текст из изображения:

2!

гсомятяпчвси5г вгяс ятиости

а 3!

слю5зпиыв совь! гия

! !!)'," !

5 ЬЦ,! !44 '

8зсгз чя

1

1

ала!.оирипствует дапиому сабы 5ию, к пло5цздк аблсс;и Я

возможигх зиачеиий х и у, т. с.

55иалогишю рщиьюгся 355,53 и,'!.5! — 3.15.

13 р им с 1т 3!1. 8 Л5обыс з50меи5ы ! Оома]! т Гкз и)смш5п 7" рзиизозможиы Постук!!сии!5 в Приемник двух сиизлоз.

71ритм5П55к будет забит, если р;5зиостг, между момсигзи! 5П5- стуилеиия сиггшлав ! улет мепшчс ".. Определи!в вераятиосзь Гого, ги 5рисм55ик отлет зс!оьгп

Рези с и и с. 11усгь х и !5 — момсигы иосзуи55сии5! сип злов в присм5шк.

юп-

О;лзстыо гозмоьшых зи:исьги х, г является ква ц'зг

шишдьк! Рв (рис. 4). 11рие5иик буди' забит. сслп х —.у ". П,ш ! облас53 лсж 5т между ирямьь их — г= — -. их — у.= —..- —- 1!с плошадь ЬП=8 — (7 —;)", П53Гомм р==1—

диз.5оп! Пи решаю;св 3!за и,!.18 — Л1 1!!.

Пример Згй Кзкага гсрси5шсгь того, но сумма двух

ит1'! зд взяГмх па Гажигелы5ых чисгл. Ха!клас из и:и!.Рых ис

больше ешиицы, ие иревзоидсг сдииицы, 3 вх ироизведе5иш

ц

Ь85де! Пс 5о:ыие !57

Роше и ив. 51усзь х «. у — гюя5ы: ч55сл5!. Их гозможиью з553 ш5ия О==::х=--1; О =- !'=-1, что из плоское!и соогге5- ствует квадрзту с илощздыа Я=-1. БлзгоишигсгзЗюиис и53 5еиш удовлетворяют условиям: х 55- ! =. ! и ху =-.=,;., Граии5ш х-';у= ! деляг квадрат !шпалам. прш!ем облас5ь х-,.'-у=.-'- ! Представляет гобои иикпий трсу:ольиик (рис. 5).

2

Бтгбззя грзиигш хч = — — вяляс! ся ! ипсрболой. Лбсциссы

5

точек герсссиге5п55! втих Г153П5щ: х! =. 1,53 и х = 2 3. Бе!о!- яица !Х5згаирпятс5ам!Ошей площади

5'! 5Д

г1скоз535я 55сроятиосгь р=.—,= О 487.

8

А!!алогично решаются вада 5и 3.2О- — 3.23,

8,1. Б тс,чкс С, положеи5е которой пз телеи5оииов ли!и:, х!75' дли5ы 7. Равиовавыожио. Проквошсл разрьи. !Тирсдел5п! 55сроят55ост! того. чта точкз С удзлеиа ог то 5ки А ив рзсстоя5и с, ие мои шее 7

8.2, 11з плоскости ироведеиы иарзллсльиле щи!ив, рас стояп5я меж'гу козорыми иоперсмеипо равны 1,5 и 8 сж Опре.гсги55ь вероятиость !ого, что изудачу брошеи5ый иа э5у плоскость круг радиуса 2,5 сж ие будет пересечен 5и алкой лиипеи.

8.8. 15 круге радитсз 18 проводятся хорды параллели!О зз;шииому 5ширзвлеи5ю. Какова верояпгость того, чго длипа 5шугзд взятой хорды !.'; 5!алев 77, сели рпшоговмож5ш! Люаые иало5к5:ПП5! то'йк Пересечем!!я хорды с 5Т55С5з5с5рс5з5, иер.

пепдпкуляри5м выорзииому изирзвлси5юу

Ззй 1755ред5 вршцзющимся с иостояииой скоростью дискач иахозитс5! Отрезая д55ииой йй, рзсиалажсипыи в плоскас5п ласка таким образом, по прямая, соедикьюиая ссрешиу а!резка с цеитром диска, пери! идякмляр;ш отрезы. 11о касат!.Лиши к шсружиости в произвочьпый момсит 5!рвы!-ии

Распознанный текст из изображения:

слюыпшяз соплгия шл

слетает час!Я!из,йппезс:тить тсаа ииас:ь ио;ы;та!шя эг!Зп часы:

г

иы из отрезок, сели рассгаюч е метттду отрезком и иеирам диска рзпю Г'.

8.0. 11рямоуголышя ретиетка состоит из:пгпиарп,ссиих ирттьеа азат!уса г. Р;!ге!а!питт! мс:клу асюп п!Гт с!т 0 зим соотзетстпсшю и и (т. 6)прятс.п!гь Вератииасгь иш!!Гдю:ти пар!вам дьамстра гг В иеииг тку при швом браппи! Сз И1)ииегтияатитя, если '! риекгарит! Иаг'-"та шз! Якз ис)тпеидпй.!т!1!из плоскости р. е..

36. Виутря эллиг!сз с т!олуосгтп и = 100 ги п (т===!О гж сгммшрячяа расиилсжся гргмоутслывк са шорш!Зми 10 я 3 гш, ббльшая стаиоиа которого пзраллелытз и. Кроме тога, проведены пе исресштюоп!!сея с эллшюом, пртмоуга,ппи;ам и ьтеткдт собая четыре акрузо'оп и,,и!Яме тр каждая иа которых равен 4,3 слт.

Опредтегитт! Вероятиость тога, что:

а) случзйшя точка, положе!и!с которой рзгишюзмо;!Ою В угри эллипса, окажется п,утри адиого из кру!ОВ;

6! Окружяость радяуса б гш, пашраеииая Вокруг этой точки кзк Окала ие:ира, исрсссчется хотя бы с адиаи староиай пр ямоуголыпка.

3.7. 11В1!ер !Сяь; пиь ьопппггрп !ею!Их окршкпастгй, Вкусы ката)птх разиы саОГяетстиетва /ГГ (/З=.1, 2, 3, 4, 6). Круг рззяусз г и дза кольпа с Вяешппми радиусютя 3г и бг зиитрихозаяы. В круге рттзиусз бг наудачу яьюраня то пз. с)пределять иероииасть попяпзиня этой точки; з) и кртг радяуса 2г; б) и заштрихоазпиую область.

3,8. Лодка ттереаозтп груз с о.пото 6!ере а ироляиа яз другой, пересы!и! пролив за оди! шс. Какоаа Вероятность того, что Вдупгее ахал!, пролива сулиа будет з!'мечено, сслп с лодкя обпзрутптазют судно В случае, когда пересекают сто курс яе рзяее, тем за 20 мти. до перссечсппя судном курса лодкя, и яе паздисе, чем через 20 мии. после псаесечеипя судпот! курсз !то!С!с!!у Любоп момепт п !пабста место пересе!сияя судком курса ладки рззиоаозатазпп!. Ку! с сулиа перпсидякугпреи к, рсу лодки.

3.0. 1)а отрезке длиной ( иаудачу гыбрзяы дзе точкпКптаза Вероягтюсть, что расстояипс че яду мими меяыпе3(, где Ос /Г-. !?

3.10. 11З отрезке г)/8 длп;ой ( яаудачу поставлены;пе то птп / п Г)1. Нзип! Ясротпиос!ь того, что тачка 6 будет бляже к топе ()1, чем к точке А.

8,11, 11:! отрезке длпюи Г' из)дюу сгзачтся дас точки, В и-аулы !Гс '!СГО этаГ ОГртзок Оиззыяастся раздел! !тимм з .ря !асти. Определим яерояттюс ь того, что из трех пслу ппвгхси чзстсп с!трез!та мож а постропь греугольияк.

3.12. 11З сиру!к асти рзгпуга /з иау/та~!у иосгаялм!ы три Точки Л. (1, С. Какопа псРоаттюстть что гРеУголыи!к Л(/0' Осгроугол!.пыяу

3Л3. 1Сыптз Верояттюсгзп ч:о т!з трех Взятых гаудачу а!реп!аз !!липы !и бас!се / можиа !топ!роя!Я троугалыипс?

0,1г. 1!з отрезке Л/3 дл и!О ! / Изчдз !у посгза д!Гы дте то:!кп 31 п /т!. Опре/Гелтгть иероягпоыь тога, !;о длпиы ! Зждсга т!3 трех погтучпиии!хся ОГКГЗЯОГ! и г)шпасхадят Вздзияап !шли'и!Иы и 1/ Й

3.10, К зз'Гоп\'сяая ОсГаяаике ~!Срез каждые чезыт!е мииугы подходит автобус .внии Л п через кюкдыс шесть мяиут — аитобус лпяпп а. 14итс!тттал Врсмеия между мамы!- тзми прихода автобуса лпияп Л и бляжзйиего еле;ту!апета автобуса гпиги /3 рзы;озазмоткси В пределах ог иу,ш .о 'Ю! ! РЕХ ЯГИИУГ,

ОИ1тсдегиГЯ Вераязяапть того. '!Гсс з) перВЫП податисттитип Вагаб!с окажется ззтабчсаз! .Втяип Л; О) за!Иапо какая-.и,ба лп!Ип; подапгтет В т '!сиза дзух мипут.

3.16. 3Г!з парохода Голжиы иодопти к адпаму я тому же прп !алу. Время пркхода обоих иарохадоа иеззп!симо я рав«оагчп ажио В тсчеипе данных суток. Опретелить яероятвость .!ого, чго одпому гз тырохолаи прядется ожя шть освобожден!я иртитттгтз, еслк Время с!опия первого пзрохо;ш Опии '!зс 3 Второго — — ЗВЗ '!Яся.

3.17.;)яа лтиа ! мстот одяизкояую яерояпюсг ириигп к у!Гааз!шаьга месту В любой мсшскт тцюгю кутка Яремсв! т. Определить Вероятность тото, что Время ожидзпи ашпм другого будет ие больше Г.

3.18, Ьш суг!Иа В тумане: ошю Вдет вдоль пропшз шярп!оп /, а другое курсирует без осгю!Оаак поперся этого проз!!и!! Ие!'Иеидикулт!1!ИО курсу т!СИ!ГОГО. !.ИоросГЯ ИВ!тжсияя су,ип соотя! топ!с!шо ря!пы т! и От, Второе сулиа палзе зиукоаые си!палы, которые слышны из расс!азии Кс" (.. О! реде.пть Всроииосгь лага, г!а из тьер!пи судию усгиьпизг сипшлы. Сели исресс !Си:с тбр аи судов раииояозможио а любом месте иралиьа.

Распознанный текст из изображения:

СЛХ'!Л>п!ЫЕ СОБЬПИЯ

,л

теОР>гмл ммиажекня ВРРОять!Остсп

3.19. Стержень дгпи:ОИ 7= — 200 ЛГ.К ПСГДЗЧу ГЮЩастея >Щ :агги. Определить всрощппсть того, что хотя ои аги!з час!ь с>ер>кия между >очками излома будет ие более 10 щи, есщ! точек излома а) две, б) >ри, причем >излом стержня рамю> озможеи в любом месте.

3.20. 14а поверхности сферы радиуса Й ираизво,!ыю

Зыби)эз101с5! дВс '!Очки. 1«ака!>з ВсрОяГИОсть, 'по '11"а" О !Гп! "

через ких дуга большого круга стягивает угол, мс, ик я

3.21. Спутник Вемщ> движс!ся по орбите, которая зы<л ае!щ мщкду ОО«северной и 60= к>жиай щпроги, С и т, '. пздсщ е спу>щ!ка в гиабую та~игу пов«рх>юс!и 3 ч и че ьгу укаващ!ымп параллелями радио>>аз)!О>>а-'ы)ь пай! ! *кроя иа«! ° !Ого, по спутник упадет выще ЗО" северков щпро!ы,

З,оа. и ) .„

1,22. 1)лоскосп рззграфлщ>а парад>юльиьщи ир>!Ьииял, отстоящими друг от друга иа рассгоя!щи 1.. 1.1н !и верю вость того, чп) иаудщ!у бращениая и!.Ла длщии> 7(/<' 01 пересечет каку!о-и!будь прямую (задача Бюффопа).

3.23. Определить вероятность того, чго корю, а) квадрзп!ого х"-1-2пм+3 =--О, б) кубп !еского.«л. -Зп«2-'->)Г>'=.—...!> уравиенщ1 веществеш!и, есгш равиоиозможны знзчыщя каэ ',- чс! ! я ьаэ „- фиинсктов в прямоу!ольнщщ >а =.=и, 1»,-.=лг. 11зковз ьсроят>юс!ь, по ирп укззз>щых условиях корю*, квзлрю»о о уращинщя будут полоз>итал! П>я)>и?

3.24. 1.1а плоскости независимо друг ат лру! з >ризи>щиейио перемещаются точка Л и центр В круга рати>«>2 Скорости эткх точек постоянны и рщп!ы соответсп;сщю и и а 1! фикспроваппык момент времени расс>ояиис Лй=:-.—. Г (г э Г?>), з угол между линке>> ЛВ н век гором ч рз!>е! Считая Все напрщ)лсиия ли>>к«ни51 та'!Ки А Г>зь!И)возка ! ными, определи!ь верояпц>с!ь папа>щпня та!ки Л и 55Я >!.

3 4. Условная вероятность. Теорема умножении

вероятностей

Основные формулы

уславпок всроятпссгыо Р(Л )В) события Л пззьщае>ся веров!Пасть появления э>ого события, вычислеш!ая в предположении, по имело мес!о сабып е В. Сабы гкя Л и В независимы, если Р (А ~ В) = Р (А). Верояп>ас!ь произведения

ди>х сабьпий опрсделЯ«тсЯ па формул«'

Р (АВ) = Р (А) Р (В 1Л) = Р (В) Р (Л ! В),

!>оторви Обаа!цащсЯ из Г!раизие)>ение и собип>и;

Р ', ИАя>=Р!ЛОР(ЛЗ. АОР(Л, Л,Л>)...Р>А,~ ЦА,,).

ь'

! Оаы'и'1 Л. Л« '> нс зяисичь' В сазаку!и'асти «слч

д.щ любщо щ (щ =2, 3, ..., П) и щабых Гп(7'= 1, 2, ..., П),

*l

л > в

:" '.,Ц ':;: — — П РГЛ:;).

ре!Пенис типовых примеров

И р и и е р 4,1, Разрь!в электрическок цепи происходит

и та«! случае, кОГДЗ ВЬ1хаднт из сГрая хОГП бы О.ии'. Ьз трех

последовщельно !оедппепных элементов, Определить верая:-

иосгь Г«7ГО, по пс будет разрыва цеип, если эдеме!пи ! и-

хад>п из строя соотвстсп сино с Верояп!остяки О 3» 0,4 и

Г>.Г!. 14зк >лксщ>тея ПекаМзя вСРощнос!!ь ССЛК ИЗРььи1 элемент ие вихощп !щ строя?

с >п с и и .'. р>скакав Вщ>)аяпичсть извив Взроя>!'Оси> '1'ОГО,

чго ис ии>лут из строя все три эдемы!га. Г!'с>ь собьпие Ль

ознщще, по 7>-1> элемент ке вындег из строя (Г>==-1, 2, 3).

. Тала р=-Р(Л!АЗЛ,). Так как события ксззвисизп:„!о

р=Р(А,)Р(АЗ) Р(ЛЗ)=07 Об 04=0,108.

-':с>и! п«;)иый элемент ке выходит пз с~ро~, то

р = Р (Л !А>) = 0,24.

Дн,!лапино решаются задачи 4.1 — 4.10,

Г1 р имер 4.2. Опре!Гел!!Гь Вероятность того, па выарзп-

ио«' ичуда'>у кзделпс ЯВПЯегсЯ п«!!Васа>2П;ым, « "Гп> пвьсспиь

~па .4>2~, Вссй п>'Озукции ЯВПЯю)си брака«1, з 7О','ч иебраьа-

ищ>иых изделип удовлетвормаг требованиям первого сар!а,

Р е ш с н н е. Г1усть событие А саланг в том, что Ви-

брзииае пз)елке пебраковаиное, а сабы!Пе  — выбрзщюс

изделие пеивосарг!юе.

>1аио; Р (А) = 1 — 0,04 = — 0,9 О', Р (В А) = — 0,72'о.

Распознанный текст из изображения:

СЛМЧ1П1!Ы, СООЫ1!1Я

ТСОССМа УМ!Ю,КЕППЯ Нгсаг! П*ОСТгя!

и

!!сксшая в:!1оязт10сп. в= — Р ',Л71)=-ОЗО 0,75=0,72.

Ди..юги шо ревшюгся т! ю'ш -'!.11 — 4.19,

1! и; м с р Олб !1зрти! Пз ста лета!!ен подвсргаегся вь!-

!к~;.'с! Пючу кои ролю. условие!1 иепшго1П1осп! всей нарт!и

яи иьпсс из:и шс: агя бы алиап брак<изиной легааи! среди

и.:,и ир!ш ря мых. 1твко!ш верояп!асгь лл,! дг!ПП1И из! 1Тк

бып ис1!!ПИ!ч!г:.О если о!ш сод ржп! г!',71 НЕНСПРжпах 71стг!лену

1 и с ! н си Н1плсы и роятиогпь гу ир!гтиваи!тг!!тяп!Ого

Р

са. Ытг'! Л. ка!Орос закл1и!асгся и том, что изр;пя дсюлгб

бу ю! Пчгнята, 7!Аи!!Ос сабы!ПО являстсч произведением пя!и

'абыгь!1 Л = — Л1211лз.-г,г!и г !е Лг, И = — —. 1, 2,. 3, 4, гб) Ош!а-

!асп ч!а /,-с ировсршшая легзль лоброкзчесгвеи11ая.

90

Ве! Оюиасть сабы!Пя .Л, РСЛ!).=.— ",", тзк кзк всего .ю-

!ОО '

алс!1 1011, а испиавиых 00. 110слв Осу!Иле!в!!Сник Соим!ив А,

г!С~ален ас1ию1ся 90, смдп которых исправных 94, ПО-

ьц !ж

эпзм, Р !Л, ! А,) -- ',,иаг!гд! Вчио

99 '' а '. 1Г*Е/ ич

92 9!

Р ТЛ1, 'Аг;.11.11) = —,: — и Р !Аг Л,А1Л,Л1) = — '„— ', 1!о обшсн

!)юрмуле находим

П5 94 из 92 9!

1иа 99 вз 97 1!5

1:!скамая я:.раят!юсгь и.= 1 — -11;=0,23,

Лил!юга !По решшатся ззлачв 4,20---4.35,

Задз,и

4.1.,'

)ва стрелка. для которь!х верояп!ос !к попадя!и!я

чп1иш1ь раины соипюгсгвсино 0,7 п !1,8,

по ош;зму выстрелу, Оирелс.!нгь веро!и пасть хагя бы сднагп иш!адаш!ч в мпи!еиь.

4,2. Веаагп иост! Выхода из СВ10я Й-га блока вы !Пслителююй машины за время 7' рав !а ра 15=1. 2, ..., П), Оиредел!пь вглзаяп1ость выхода нз слрая за у!гззаинын нрапсжугок вос!ю!и хо!1! бы одного нз и блоков э!ои мз!шшы, если рзбюга всех блоков взаимно пезавксимз.

4 3. Верою ность наступления сабы гкя в кзж том опы пг ааш11ЯОВВ;! рзВПВ 0 2, йпы1ы пиапзВОдгпсЯ посл!2!Овгпс ь !1О ,'ю иг!с!Тч1.!с!Пи! гобыгия, Оирелел!ггь веров!Пас!ь Того, что придется про!изводить 1сгверзый опыт.

44. Вероятное!ь того, и.! П1з,агозшш;ж! Пз иергюм с:анке легаль будет иеряосартпои, равна 0,7. 11ри гз,"аглрзшш !О,к!.. )йг псовом с!ж кс из101аялсиы две д;1!.и

вгар011 !Ря. 11зи'и веров!нос~в»ги О, ч!О

сор ыые.

4.5. Рзз11ыв злю!трнчссков

ств!ю в!Яхолз из с!роя эгк.мги.'з К или лиух ьл м.и ! в )51 и !б„ьо!Ор!Яе выха;!ят из стрг1и независима лр)т о. лру:1 сса1вегствсш!о с веров:нос!ями 0.3; Н,2 п 0,2, Г!и юлг,!!Пь Всроя1юс!ь разрыва элеьтри !ссчои исгш

4.6. Рваота прибора прскрагигиюь вследс В1ю !д!.!х,!дз "з с!рсш о!иаи лампы пз абшего шсла Х. О!ьл:аи!ю эта'! ламш1 ираизвали1ся иу!ем иг!Очсрсдиогг г01ои 'рю! еажл! '*! лампы. Ог91едсгшгь вероя!Поиь тога,. чго ири;ю:ся правсргпь л лами, сслп вероятное!к Выхалз из с!роя кзя;дсй лгп1ш! ОДНИЗКОВЫ.

4.7. Сколько иуакио взять чксел нз Таблипы слР!гМи!х

ч!Обы с в-.',таят»осп!а пс менее 0,9 быть )В.есиным, что срегш ннх хотя бы одно число чст юеу

4.8. Бсроягпос!ь !ого, ч!о в результзге четырех иез1шкскмых Опытан собыгис А праизаис!ет хспя бы Огши лз:1. 11авш!

полови!с, Оиределвп вероюнос!ь появления сабы!Пя п; и одном опыте, если оиа во всех опытах ос!ас!ся непзмсию1!.

4,9. В круг радиуса Я вписан разнос!орош!Пи тссугогжиик. Езкова вероятность гого, по четыре илу!ад иосгзвл !1ые в даш!Ом ' круге точки окажу!ся внутри 1рсуго.!Ыииглу

4,10. Определять всроятнашь тгко, па напк",и изя ~:.аудзчу простая дробь несократима !за!!ачз '!Сбып!еяа!').

4.11. Собып!я А п Б' несовместим, Р !А) .;=' О и Р гВ) =,"= 11. Вавпсю1Ы лн данные сабы!Пяу

4.12. Бсроятноиь гого, чга в злсктри !есной !Тсги! Тлгряжеипе превыскт номинальное зизчи1ис, равна р! Ври новьии шюм напрюкен!и Верея,иоиь люр1ш при юра --- ! о'!ребпгеля электрического тока равна рз. Определи!, веро!Опасть аварии прибора вследствие !ювышсвш! Пыюрюкс1ш:;,

4.13. В!а учзстк." АВ для ма1окяклзс1а-гаип!!гка !гисътсч

12 препЯтстиии, ВВООЯ1ПОсть ОсгзиаВки иа кзжлбм из кагорах

'! В штат!„что шсзшель и знамена!ель — 1и:!да!7 выбранные чвслз из ряда 1, 2, „,, 71, и иеаажпгь  — сс.

Распознанный текст из изображения:

СЛУЧА5ЗИЬгГ СОБЫТИЯ

р;шиа 0,1. Вероятпос5ь того, 5то от пункта Л до коиепкяо иуикта С могопикш:ст ппоедет без Остш5овки, раева 0,7. Определить Верояыас ь того, что па участке ЛС ие б»удит ии одиог! Остапов!с!!.

4.14. '1'ри игрока и рают из следу5ощих условиях. С!и,з.5з против перво!о Гослсдоиа5ельпо ходят второй и тршвй и 55окп. 11ри з5ом псрвьш !Прок ис выигрывает, а вероят5юсти выигрыи5з для вгорого и третьего игроков одиизковы и равиы 0,3, Вслп псршяй !Прок 5ш проигрывает, то оп дела: ! по 0.05оиу ..Оду про!ив второго и третьего игроков п выигрыв;кп у кажзого из н:х с Всроягиостью 0,4. 1)ос!!0 згого игра закзп швзсгся, Определить всрояткость того, 5!го и резульш5е такой игры первый игрок выпгрзет хотя бы

о,и!ого пари5ерз,

4.10. Бероягиосгь порюкш5ия пергой м55шсии для лап!и,го стрелка ра5ша '553. Вели пря первом выстреле загрпк«,й,ш Гшо гюпашиие, го стрелок поля 5ас г право из шорой ш:стрел 5зо лг!) ! ои мишени. Бероятиосы порахгеш5я 0050!!К 5 зп50! ей шш двух выстрелах ран!а 0,0. Опрсделпгь веров!- ! Ос ! иорюкеиия второй мишеии.

4,16. )1сгзгги! могут бып изггт5Г555лепг! с примепсиием дгбх !схноло! Вй: в первом слу 5ае;!сталь проходит гри тех!!олог 555сскис опера 05и, В ро5ииости получсш5яйракз ппи каждой нз ко5орь5х равиь! соо5ветствеш50 0,1. 0,2 и 0,3. Во в!ором случае ьмеюш. две оперы ю5, вероя5иостп получщшя бра5ш ш'п которых ошпшковы п раен! 0,3. Опредегиггь, какая 5ех550- логия обсш е шваег ббльшу50 всрош5юс5ь полу!ения пе5восоргиой п)гс5дукпии, ес.ш в первом слу 5ас для доброкачеС!ввииой ГЕГЗ5П! ВвйзОЯТИОСЗЬ ПОЛУЧЕИИЯ ПРОДУКП55В ПЕРВОГО

сорта равна 0,.0, а во в!ором 0,8,

4.17. Бероятиосги того, по .побая деталь окз>кется бракова иой в )шзультзге мехаиичсской и терт!и 505 !!ой обпаГогкп, рзвиы соогвсгствсш5о р! и р!. Верошиосзи того. ч:о брак ягляе5ся псустрав05ым, соо5встственио рзвиы ра и Р!.

Опредеш:тгс а) какое количес !во де!алел всобходямо Вз;иъ посля мех шш5еской обрзбоиш, чтобы с вероятиос5ью 0,0

можио бы!и ТГВВ555кззГВ. 5!ТО хотя бы Ош5З из и5х 55удс!'

с. шш доброка 5сспюипой в терм5шескую обработку с учетом возмо:юисги усграпе55ия брака; б) вероятпосгь того, что хо!я бы одпа из грех де!алей буде! Пмсгь исустрзпвмьш

тпоРГмл ум!пожни!я ВГРОят5юстсп

бряк после прокождеипя с!июля мехзшшсской, а затем гс)5-

мической обрзбогки.

4,18. Покззап„'НО есгп! условиая вер055т5юс5ь Р ГА ), й)

больпш бсзус.,55!в!!Ой 5шрояГиосГП Р 1:1), 50 и услоз55а5! 55е

рояииость Р ! В ! Л) болшие осзусловпой Всроягиос5и Р !53).

4.19. )1В5пеп! сос50;ы пз ПВух кошгситрп и-ских кпуГОВ

с радиусазп! АГ и иг, где й "и. Считая ршшшозможи50!

и!55!а.!а!!ив в л5обую шсть кругз радиуса аг, опре ш ш,ь

роя!вость того, что при двух выс 505хюх г»улет о,шо по5юдзияе В круг радиуса !!!с

420. С помощью шесы! карточек, 5ю которых изписщ5о

по одиой букве, составлеио слово «карша». !Сз)55с5ч5си ш.ремсшивзюшя, а запм наугад пвгглскг5юзс;! 5ю о:и оп. Лзкопз

!

всроязиосгь, 5го ' в порядке пос5уплш;пя букв образуетгя

слово 5!раке.5Т»57

4.21. Лбоисьа забыл послсдикпо ппфру померз тслефоиа

ио5ому пзоираег ее 55а»дз!у. Опредеш5гь вероягиос55!

!ого, что ему придется зво шть ие бо.50с, ем в гри Вес!а.

)бзк изменится Всрогггп55сть, ее!и! 5ггззстпсг, ч5 о иоследпю!

5шфра ис штиаяу

422„В логерее и бплегоп, из ко5орых ш выш рыш55ых.

Езкова вероягпосгь вьшгрзгь, имея !: (Ошего!"

4.2о. В лотерее из Го)окз тысгю биле!оп иш;иыс вышрыиш пшгшо! Па три билета. Определить: з) вероя55к;с5ь иолу ге!!и!! хгпя бы одиого пеииого зыкгрьииа гиг 5ысю5ч г зле! ов; 6) сколы!о иеобхошшо пр55С»Г5рестз! бплегов. чго! ы

вероягиость пол!чаша пегшого вьшгры5пз был:! Пс ме5ьме !).05.

4.24В В ургш и пронумсрОВшшых От 1 до и Оги55аковых

шаров, 15ргз5ичводи5ся лг. !шиле 5е;шй !Паров ио ош5оиу с Воза)шщеиием. Определить вероягносгь !ого, 5ио ии разу:ю

будет извлс !си и!ар с одвпз! и гем же иомером.

4.25. Имеются 5етыре бракопзииых пззслия: из одиоч

повреждсиз окраск5, иа другом имесзся вм5гп5па, иа трет! е»!—

Взз)005п\ы, а из »гет55 ртом — ОППОВ)шиши'0 Все три т каззпиых ' дсфекгз. 11усть А, В, С вЂ” событш5, заключающиеся В там,

Оо у первого изуда гу взятого пздел5ш повре:кдеиз оьрзс5ш О)),

!!моется вмягвиа 5Ь) или яме!отса зазубрппы (53). Явлгногся

лп даипые собьпия иез55писиз5ыаги попзрио и в совокушюсгиу

4.20. ))ус!!, Ли»!я, ..., ˄— совокуппосгь попар55о независимых событий Всегда ли услошюя вероягиос5ь иоявле', иия любого собып5я, вы шслеипая В прсдпологке5иш, что

Распознанный текст из изображения:

ЗО случап11ыв савы'п1я кзкпе-либо дру!Яе собыгич из этой сова. раз ю бсзусловпоя Верояпюс)п этого со

4. 7. 1)Па[[па[ га5)пзопгзгц«иымп

;ГЛ 1

!уппости про!вошли, бьыпяу

щяип разделся иа л О[пщакОВ;!х палас. В каждую пэ 1юх бросается тачка, Га" ложеиие которо!! рзвпапазмозшо в л!обом месте полосы. Затаи зиалощшпо пред!!.[уи[еэ)у проводят п — 1 вертпкалщ!ых л:ш«й. Определить перояпюсть того, по в каждой вер!ива,1ьпап пО.!Осе О) ает талщю па Одпэи тач1ом

4.23. В обществе пз 2п !словек однщковое число муж)пп! я жсшцяп. Места зз столом зщппящощя паудачуэ Опредегшп вспоягносгь гого, что два лпца одного пола ие заямут места

ОЯДОМ.

4,29. Об!Паства, состоящее из пяти мужчпи и десяти жещцш), пзугщчу рзчбшщщся па пять груш! по три человека.

1)апгп вероятиость того, 5[то в каждая группе будет г)о Оаиам; ьсгжчию.

4.30, В урпе имеются и — , 'гп од[таковы:с пиров, пз которых п белого, а п) чсриого цвс!а, причем п[сзп. 1)роиз- ПО'1ЯГСЯ ПОЛРВД аез ВОВВВЯщспия и пзВЛЕ'ипяа! ПО ДВЯ Бара. Опредсл[ыь верояыюсть того, по кзждып раэ извлекщотся

гщ!)ы ')ироя 1'.дз1юго цВета.

4,31. В урпс кмеются п пиров с померамп от 1 ло и. Шары шшлскзются наудачу по одному без возвращеш!я. Какова ВВРоятиос!Вь ![о пРп Л псРвых пззле [силах помсРЛ шаров совпадуг с померамп авале !Пппиу

4.32. Б урне пме)агся два шзрз — белыи п черный, Г1роиэвотщся пяплечеппя по ощ)ому шару до тех пор, пока пе паюппся '!ерпып, причем при извлечении белого шара в упиу позвращаегс)! этот и!Вр и дабавл)ется еще двз белых шара. Опрс;!Пгппь веров)вость того, чта при первых пятидесяти опь!тах чериыя п)ар не будет извле !еп.

4.33. В о:юредп за б!),тегзыв,'сто)!а!Осты)2 в а руб, стоят и+ )п человщп пз ката«)ых и лиц имею Г дсиьГп пяти))у))ле. гага дастоинс [за, з гп Рп — в+ 1) — десязы)рублевого. Ка;кдьп! покупгет !Олька од[и билет. В кассе )ю продажи билегоз лсцсг не!. 14зкова зароя!.'юсть, что пикому из о !среди пе придется аяв!дать сд))5п!2

4Д4. Условия и вопрос защшв тзкис же, кзк и в 4,33, по бил.т стоит одш! рубгщ, з покупатели имеют депьги рублев!жо Гп че.ювск) и трехрублевого достав:!ства (п[ человек), прячем 2п1 -=- и -,- 1.

,'1,

:,«1

а!л !",!Саче'пш вьгог) 1' 2ст и

4,оо, Падла пптюгся двз капш[да1з. !П)вчем за перва! О

в урпу оцущепо п б!521!.Пэ)спея. з за второго щ бюлл!2!щ ей 1Л щ). такова всраз!)юс!ь !Ого, ч[о в кодс полем)щ бк,)- лщепеп число попс.!Вгае))*.х голосов, цо[!ашгых вз перво[)2, В[е Вр "мя о! ц'! Польше 'пюги ° о юсоВ, па'шппь!х зз 1па[!ОГс51

3 Б. Теорема слои!Впии веааятващей Осповпые формулы

Вероятность суммы лпух со6!!тв!! Определяется )а

фО)С МУ ЛС

Р гл В) =:= Р Гл) -'- Р [В) — Р (АВ),

которая С54«з!бп[астс)1 !ш щ'чмт л!Обого 5!Ясл:! Пабы!пи

1 55

Р. ~ ла,'= чп Р Гла) —,'.". ~' Р Глал[,)-',—

и — 3 я — 1 « ,) и

— Р Глал)" ! —...—,'-1 — 1)л ' Р ' Ц л[

л — !

Я=! У=Я«!)=1 -1

Вля пеговы«сГП!Ых горы!ПЙ ве1)аят[ю[!ь суммы саб)ы!ПП

рзщш сумме веров«!кющг[ э!Пх собып!П, т. е,

Р ~' Л,.'.="," !РГЛ„).

Ь=-1

решеипе типовых примеров

П ример 5.1 Опрслелщь вероятность 'ижо, то псг

вз ста изделп!1, срели ко)орых пщь брзкавзппых, буд, прпн51)а прп вспы1щ!Пп пз52!а'1м Выбаа)п)ОП полавппы Всчй па[у!Яя, если услозиямп пап[ма лапускащся бпакагзппых изделия пе полее отвага пз пя:идссят !.

В е ш е и и е. Обоз!ш:шм через А соаы[ив, соегоящ е

в )ам, что при пспьыаиип пе получено пя одпога брзковаппого иэделия, а через  †- собь гис. сос)ожпее в том, «:о получепо только оуп)о бракова!иое иэделие. 11скомая всрояпасть р=РГЛ+В5). Ообыгвя Л и Гз пегову[ее[вы, Г1аэгому

р = Р Гл) -+ Р (В)

Распознанный текст из изображения:

сл члиныв совытия

о!

творима сложвиия Ввроят1ьостеи

!!а 100 паде!як 50 моакпо выбРагь О;„"о Гпособаа/гь Пз !)5 и!.бРакогшшых !юделкй 50 моткио выбРагь Са'." спосОбаии. 1.оэ!ому Р(А).=.—; — "„'-. Л!ш.!Сгншо Р(Б)= — ",.;" — ". Тогда

О, !5 ! с(с)'! 11 . 37 Двю!оги шо ре!иаюгся зада/в о,! — 5,12 и 5.39 о, П р и и е р 5.2. 5)лектри !еская цепь между точками Л! и // сосгш»лшш по Гхс»!»ь г/р!шедсшшй иа рис. 6. Быход из

, -з4

р!чз 6. Гт"7051 за в!зсмя / оаз:ипюых эле»м! тоз !ш1и! — Нсч1впсимые Гооыг!п1, 1м/шош,ш с/!е/1)1ои1ие вс,аояп!Ссм! (Гаол, 1).

Таблица 1 Ззг»»а!я ! /У! /Ги ! Д! ! До //а

!

Оирсдешпь веро пиосзь разрыва иепв з;7 указшшыи про- Ма!К»'1ОЕ ВЗ5Е»1ЕИИ.

Решси по, Обоз!мчим через Л/(/=1, 2) собьг!.ие, состоишь а выходе пз с!роя элемепгз К/5 через Л вЂ” выход !а с!роя хотя бы сивого элемшпа Ь;, а через  — выход 17 сП/юя всех !рех элементов У/!(/=!» 2, 3), Тогда искомая Всроятиость

Р=Р(к1-,'-/3) =Р(Л)+Р(Б) — Р(А) Р(Б). ! ак ка1» Р (Л) =-- Р (»1 !) —; — Р (Ла) — Р (Л !) Р (/!а) = — (ЧБ Р (Б) = Р ( Т/Д Р (У/!) Р (.Уа) =- 0,2 52, 1о рэ=. 0 85.

А!1алоги во решаются задачи 5.13 — 5,1175

П р п и е р б,З, Появление события Л равнововможпо

в любой момент промеагуыш времени Т. Бероятиосгь того,

чго событие А за этот промежуток времени произойдет,

ра!»иа р, г)звестио, ыо ва время /(Т данное событие нс

произошло. Определить верояпюсть Р того, гго событие А

произойдет в оставшийся промежуток времени.

Р е ш е и и е, Вероятность р появления события за время Т

равна вероя!ности . †. р появления данного »озытия за время /

Т

пшос произведение верояы!ости !1 — —.—.р! того, что собы-

1'

тве не произойдет за время /, иа условную вероятность Р

' появления событвя за оставшееся время, если раш !ие оно

не произошло. Таким образом, имеет место равенство

р= —.. р+51 — —./7) Р,

1' '» Т

Отсюда находим

/~!

Р=

/' /

1 — — ил

Т

Пример 5Л. Б урне имею.гся и белых, и черных н / красных шаров, которые извлекаются наудачч по одному' а) без возвраитепия! б) с возврашением после каагдого извлечении, Определить в обоих случаях всрошиости того, что белыв шар будет извлечен рзиьше черного.

решение, Пусть Рг — вероятность !ого, что белый итар будет извлечен раньше черного, а Рп — вероятность того, что '!ерпый шар будет извлечен раньше белого

13ероятпосп Р! является суммой верою/!осте/! извлечения бе юго !пара сразу, после нзалегшшя одного красного, двух красных и т, д, Таким обрззом, можно записать в случае, когда иыры ие возвряизотся,

/ / — 1 п

+"

п+гп+/ и+я+/ — 1 и-1;и-1-/ — 2

а при возврашеипи п!аров

п, /п /и, п

п --!''Срп»+ ! ' /и+ я+/!" ' (и+ я+/)' и+ и!

2 'Б. Г. Волочив и ая

Распознанный текст из изображения:

тгоием:1 слов<кипя гигоят1юстсп чб

!гл.

слм/!лг!иыи сосытия

Для получения вероятностей Ри в иредыдушях формулах гуяшо произвести замену и на лн а г/1 иа и. О)с!ода следует, по в о<бонх случаях Р,; Ри = и; т. Тзк кяк, кроме того, Р)+Р! =1, то искомая вероятное!ь при извлечении

/1

пиров без возврицения гчк;кс рагна Р;=

Л-';/1'

Дпзлогичио решаю!ся зчдячи о.23 — 5.27,

П р и м е р ().5, 11ек!о написал и писем, запечатал ях и коивер)ьг, а зяте<1 !юудячу из каждом из иих иа!и)са<1 р)азлк юые адреса. Оиредел(пь вероя!ность того, (!о хош бы иа од(юм из коююр!ов написан правилы!ый адрес.

Р е и! е н и е. ПУсть собьпие Ля состои) в )ом, по !ш яым конверте написан правильный адрес (/<=1, '... л). Искомая вероят!юсть р= Р (~~ л(,,). Собып!я Аь сонме< гиы) при любых разли:шых л, ), 1..., из<с!Ог место равсис!ва:

Р(А,)= — =

Р (АяА<) = Р (А,) Р (А /) А/) =

л

Р ((,Р,А,)= —,' ', ..., Р(11,(,)=

1='1

Используя формулу для всрояп:ости суммы и событий,

получасы

, 1/г — 1)1 в (л — 20,, à — Зй

Р

71

и<ж

л 11

р=1 — -„. ;+;„—...-)'-( — 1)!

1/ри бол) ших и 17, 1 — е

Лилле<и !ио режзю1ся вюж !и О.52 — 5,36 и 5АГ!",

В а д а '! и

5.1. 1(юкдос вз четырех пссогмесп!ых собьпий я!Он<От П) ОИЗОй!.11 ССОтвссствеюю с вероятностяьж 0,012, 0,010, 0.006 и О,Г)02 Оирсче.п:)ь вероятность !ого, что з Геб,/эта:е оиыгя яр<взойдя) хотя би одис пз этих соби ж).

52. Стрелок произвол)п Олин еыс1рел в ми!пень, сос!Оя-

п<по из иси<рзлы ого кру а и двух конпеитрп юскпх котся

В„.роятиосп< попадания в круг и кольна соотвегсгвижо

р,виы 0,20, 0,15 и 0,10, Оиречелигь веропиость иепоиаш-

ИИЯ В ЫИВ<ЕИЬ,

р3, В ),вадрат., раз!е/!еии<яй из па огожзковых квадг' оч

брвжеп кирик. Вероя!пос!ь попздяиия ижрика в ьылып квад-

рат /-й г)ризоига/!ы!Ой н г«!! яер!пиалы!Ой по<)ос раж<.! 1/В

/ ! < 1 Ь И

р:, =- 1, О!ироде/ють вероятность иоиздзгжя парика

!, 1=.!

и я-у!о гор<)зонтзльиую полосу

5.4. Две ожшаковые монеты рздиуса и рзсполоя<еи(!

внутри круга ра:шуса )т', в коюрып' наудачу бросаегп!

точка, Опреае/и

иа Одну ия монет, если монеты не иере«рывзюгся

5.5. Какова верояпюсть извле и из кодо:иа в 52 карты

фигуру любой масп! пли карту пикоаои масти (фигурой иа-

вывзелся валек дзма пли король)2

5,6. В яжпке ия!с)огся 10 монет ио 20 кои., 5 гюиег

ио 15 кои, и 2 монеты по 10 коп. Наугагт берутся и)сс!ь

Монет. Езкова вероятность, по в сумме они составят ие

более одного рубляу

57, 11явесп!и вероятное<и собьпий А, В и А(В. 1!ай/ги яе

роятиость события АВ я условную верояп)ость Р(В А)

58. показ(т!)ч !то нз условия

Р (В ! Ат) Р <В) л)

следует исззниснмос<ь собьпия А и Л

5.9. Событие В вклкшзег в себя собьпне Л. Локззз)ь,

ято Р(А):=.-,Р(В)

5.10. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только

Пестом, пр)шсм в первой урне б белых жаров, 11 черных

6'6 краси!х, а во второй соотьетс!вжжо 10, 8 и 6. Кз обеих

урп !!ау ючу извлска<тся по ош)ому пиру. Елкова верояг-

!юсть„по ооз нюра одного иветау

511 1-11 плоскости гюоведеиы две пги)злл.льиые полосы,

ширвиа ко!орых 1О шлб а рассгояш;с ме)кду ними 155 шл<

Вдоль пряя!Ой, периеядикулчрь!ой этим 1юлосзи, иа расстоя-

ниях 120 лгл< друг Ог яр)та распологкены пю!гр)ы Окру)ю)О

сгея рзж уса 10 л/хс Определи(ь верояпюсгь того, что

2'

Распознанный текст из изображения:

" ьч 'з). ТЕО>'С>!Л СЛОЖВРИЯ В1ЬРОЯТНОСТЕЙ 37

СЛ5 ЧЛГП>ЫЕ СОЕЫТНЯ

и

хо!я бы одиз Окружиосгь пересечет любую нз полос, сс,ш центры окружиостен располагыо" ся !ш !Къмои независимо от положения полос.

5.12. Бдоль дороги па одиизкозом рзссчая!ии лр)г ОГ др>УГВ ЯОсс5!Ны Г Одну линяю сеню!а и рас1шьин. Нри пересечении дороги пешеходом в неусгаиавлешюм мес.!в может бьжь повреждена посадка одного растешш с ьероятпастью р

1!

(р( — 1, Определять Вероямюсть того, ыо т.й пешехоп,

и

пересекаю!цин дорогу в неустановленном месте, поврсд5!г посадку, если псц!входы пересска!ат дорогу последовательно и пезчвиспмо друг от др)гз.

5,13. Определить веров!ность того, гто иауда5!у вь!браипос целое полажигсльпое пчела пе делптсж з) ии иа двз, !и «з трн; б) иа два иля па тря.

5.14. Бероятность полу5!ен ш билща, у которого равны с>.ммы трех первых п тРех последних ширр шестизиаик>го !>амера, равна 0,05525. Какова вероятность иметь тзкоп билет 1>реди двух взятых наудачу, если оба билета: а) имеют последовательные номера; б) полу !епы независимо одпп ог другого'.

5.15. Доказать, что при Р (Л)= и п Р (В) =Г> 5 е 0 будет

Р (А ~ В) =

5Л6. Известно, !го Р (Х. -- 10) = 0,9, Р (! У( (!) =. 0,95. Даказа!Гч что при любой ззвнсимостн между Х п У для Л= Х+ У имеют мое!о с.!едующие иерзвепствж

Р (2 =. 11) ==. 0,8б, Р (2-.=. 9) ~ 0,95

О.17. Игра между Л и В ведется па следующих ушьавняхь в резуль!з!е первого хода, который всегда дечает Л, шь чоькег ВыигРагь с веРоатносгыо 0,3; ешиь пеРвым ходом А не вьигрыззет, то ход делает В н мажет вы!трать с вероятностью 01,51 если в результате Втого хода В не вьигрынает, то А делает второй ход, катарьш может привести к ега Выигрышу с верояпюстью 0,4. Определить вероятности выигрыша для Л и для В.

5.18. Бероятность для даннога спортсмена улучшить сваи предыдущий результат с одной попытки равнз р. Опрелелигь вероятность того, чго на соревнованиях спортсмен улучшит евой результат, если разрешается делать две попьнкь!.

5,19. Игр!ш А иоо!вредно играет с игроками В и С ио

чзе партии. Бераягносьп выпгрьииа первой пар ьп для В

рзвиы 0,1 и 0,2 соатве!отвеина; всроя!Яас>ь иьиграгь

но' второй пар'ии для В рчвиз 0,3, для С равна 0,4

Определить нера»Впасть того, !Гоь а) иервьи Выиграет В,

б) п-рш!и шипргш С

5.20. Из урны, садержжцеп и пирон с номерами от 1

да и, иослелонзге.!ыю извлекзюгся два шара, причем первый

'Гйзр возвращае!ся, сели его номер пе равен едшшис. Опрс

делить вероятиосн !ого, по шар с номером 2 Оудет изн.!сиен пр>и втором н;шлечеш!и.

5,21. Игрок А поочередно играе! с игрока>ьп В н С,

змея вероятность ьыигрыша в кая<доя пзрп!и 0,25, и прекра

!изет игру после перь>ого проиГРышз или после двУх пар!!111,

сыгранных с каждым игроком. Опрсдел!Оь. Всроятььосг>!

яыягрышз В и С

5.22. Бероя!иос'ш выхо ьа пз строя прибора после того,

ь!5»!5 оп приме!>ьк!Сь! Д рзз, равна О(/). Над!и верея иос!ь

выхода из с!Роя прибора при его послсдуюииьх и примы!е,:..'м!!5)х, если прп предшествую!цих ш применениях прибор вз

„строя пс вышел

5,23. Двое поо !ерелиа бросшот монету, Быигрывае! >оь,

у которого раныие по»зи!ся герб, Определи!ь всрояпюс!и

выигрыша д.ш каждо! о пз игроков

5.21, Трое иоочерсд!ю бросают мои!'!у. Быигрываег тот,

у которо! о раньше поя! и ! с» герб. Определи ь Верая !насти

ВЫОГРыьиз .>л51 кажлОГО нз ЯГ1>акая

525. Бсроягпос!! юлучить о ько, ие !Сряя иода иь, прп игре

двух равиосилы;ых вочепбалыьых комзил рзв!ш половине,

Опрь-дели ь вероятное!ь полу !синя одного Очка для подаю

ЩЕЯ КОМГИ1,>Ы

5,25. Б уа!ш имсюГся л белых и ьп !Сриых шапав. „'1на

игрока пос>шдовгы 'льна достыо! ио од!Гаму шару, возврыцая

кьья!1>ы!! Раз извлеченный шзр, Игра прололжзегся,ьо тех иор,

° пока кта-нибудь ! з иих пе дос" ьььье! белый шар. Определьпм

верояьиос5ь !ого, ч!а первым ньмзииг сслыи ишр ищос,

иа5п!Оа!Оиип ЯГР)

527. Дзз с!рею!з поо !вредно с!Реля!Ог ио мишени до пер-

РОГО пбиадзиия. Б5'рая!ьюсть папздзи>151 для РРРВОГО с!рель!а

рзвиз 0,2, з для !порога равна 0,3. Найти вероятиощь того,

'!го первый стра.ьок сделает болыие выстрелов, чем нгоро!ь.

Распознанный текст из изображения:

а ь!

Слхилйссмв СОБЫТИЯ

г Гс.„)= — г(-"л,)

л

...—;-( — )л- Р!.. А,.1.

и

т!

5,28. доказать сг)юведлпвость равенства

5.29. Упросииь обнгусо грормулу дсш Вероягнос п стсстсы собыгиг! применительно к слуяшо, когда совпал:пи ш:роя!носс!.и произведесш!! при равных коси!!сети!!к собысии.

5,36. с(оказзтгь кго

л л-! л

Р~ЦА,.1=~Р(ЛЗ) — Х Е Р(АЗ+Ау)+

л —" г! — ! л

+ Х Е Л Р(Ас--', А -';-А) —"

с — - ! у=/, —; — с::=сл !

53!. Доказать, ио д !я лшбгсх сооыигп Ал(5=0, 1... В) сг;рзведлпво рвяеиссво

л л

Р~АЗЦ х)я~ =Р(А) — х,' Р(:)ь+Аа)-';

и=-. ! с=!

л — ! л

5.32. Б урне сшсется и ошшакопых шаров с померяв!и ог 1 ло и. 11!Зры извлееасотся ио одному без возврюиеиия, Определить пе)сосииоггь Гого,:го хогя бы прп одном изялс;шсин сомср шара совпадет с номером опыта

5.33, Б номе;пении, ссасясстьсваггпдса! и пропумлрова шых мест, и липам выла!!и 7/. Юишриых бпсгетов. Еакоеа Веров!!- %С!ВЬ, КСО г;ОВИО РС ЛИИ. ОКЯЖМТСЯ СИГИППИМВ На МССТЗХ, СПО.- петссвуошпх поморам билетов, если все места ззиимшогсп

паула'су.

5.34. Б электро!!оввз, состояииси гш л вагонов, вхолмт 5 (5 тсв и) пассажиров, ко!орые вьсбспракст вагоны иаудаГБС Определить верогпность того, ято в кюкдын вагон Вопд;г хо!'я Оы От!и! Пасса".Кпр.

5.35. сг(!сов сшршог ло победы, тсрн сем для этого необходимо иериому Выиграть гн партой, а всорому и пар!в!.

аоямкл! По-:ион не!опт!коти 3

БлрОятсюсТ!. ГыиГрыиз кзжлип из!'Ысн исриым ВГроеоь!

равгсз р, з в!орсам с»== 1 — р. Опр .;слкгь иьрогсгиосгг, псгигрьпгш псеп ВГры сшрвым ПГВО! Ом

5,36, Лва шрока условилпсь, ио вы!Крин! полу !си тос„

вь;ш раст оиределшшое иисло парти!!. Игра была пи!.- рвана,. кос,ш первому пг)юку Ос!злись до ш,ижрьииа лп а второму и псс(стиг!. Еак разделясь стзику, если иероятиос,,

выгпрыиш сартсш для каждого нз игроков равна ио:сов:юс"

(Бала!!с дс тбепе,)

5.37. Бала са о не!к!рек лгунах. Из ле ырех кслсиек п,

б, в, г одю! (а) полу шл спсфорызнисо, ко орув и внлс сит

излз лдз» илп «иста сообишет всорому (б). ягоров — гресьеа!)г (г1, трсгип — песверсому (г), а послсдиив объвсляс!

результа! полу кппои пссфорыапии тзкпм Ткс образом. кзк и

все. дру! Пе. Известно, сто каждый из ипх говор!и прасшу

только в одном слу !Зе из трех. Еаковя вероятность, сго г!ср

тсый из лтнх лгунов сказал ираиду, если ~!с!!сер!В!с! с!Ыпзс!

ПРЗВВУ'

538. 1(з ! Оризосгтзсьпос! Влоскосси проведены пзрз.шель!Яыс прямые, отстоя!в!с друг ог друга па рзссгоянип !. 11З

плоскость !и!удаи) броспсн Выптелыи кос!тур, перссхгсгр еогорого равен з, 11апи! !героин!ос!в тоси, ясо еоигур пересе!От

одну пз параллслшсых прямых, есл:! диаметр сшимепьшего

круга, опвсапиого около вып;клого контура, меньше 1.

5.39'-'. Б изрыв из н изделий лс бракованных. с(сся проверки изудаяу выбпржыся з в!с!селин. 11зртпя бракуется, если

. ':Среди инх иршговш пых изделий более сп Определять веров!- носи-, гого, иго партия будет забракована,

5,46"', П;сп подрыве иа спооо11 тсшш зсиопляесся с Веро !Т-

11

постыл р !с!= - ! только одни «з и отсеков корабля. Еоргсбль

и с

гвбнег, сели бтдут затоплены все и отсеков. Определить

.. вероятность с'! ! Пбелп корабля при ш годрьшзх (и! -=. и).

ф 6. Формула полной вероятности

..!Основные г)сорасулы

Бероятпоссь Р(Л) появления события А, которое можс!

, пРопзобти только совмеси:о с ошшм пз сосбьггиг! Ль Н,, „, Нл, бгбразугоиисх пол!!унт груш!у иессшмссгиых событий (гпгосез),

Распознанный текст из изображения:

,' 14~

,г О слхчлгигыг. совытня

г:грсдюгяегся форм)до!1 полнон вероятности

1)~

гг

Р (А) = а . Р (Нь) Р (Л' ,Нгггг

а=г

! и

гг=-!

1' 4

,1,„~

решение типовых пр»мороз

. ~~1;!

!'!

;г

1 \

гл

С' С„"

Р (Чгч) =

С'„"'

(з=О, 1,..., гг),

причем

Р(Н„т)=О, если а л т.

Так кзк осталось и — гг билетов, яз которых лг — з гни рышных, то при и-- з

гл — я

Р (л1г, ! 'Ны) = — —,

По формуле полной вероятносгн находим

С' С~

Р(Л,) =

гв л — ггг т — а

г=а

где С'„',=О при з) т,

Да иое равенство можно запцсагь также в впдс

ь

г

Р (Ал)= - ~ — "' ', "

л а! Са

а=а

П р н и с р 6А. Среди и лиц рззьшрьпиюгся т ~ и яыигрьипеп путем случарвгого извлечения из юшка и бн:юге „ !)лпнзкоггь! лн шансы выигрыша для гпобого нз играюпнпг? Когда выгоднее танннь биле!У

Р е ш е и я е. Обозпггчны через Л, событие, состоя!псе в;шале генш! выигрышного билета после /а павле!сини биле!оп на я!цика. По результатам пред!пущих опытов можно сд! лиь гг -'; 1 пгпотез. Пусть гипотеза гг„г означает, ч го пз / извлеченных билетов выигрышных было гь Бероятпосгн э!их гигютез

ч'ггвыклл полпоп вгиоятгшстп

- г.гг

— — Л! ~ ь ггя' 4ла

;. г.=з

ту е. спрааед;гино равенспи

У С' С'- =С':

гя — ! а — и ч — !'

=а

гг!

Исков!ля всроя ность Р(Аь)= — — при лгобом lг, Такгга! обрагг

вом, у всех играющих пгансы одинаковы н о'гередпсшь пзнлеиения ис ямсе!' значспггя.

егнзгго! н иго решаются зада гп 6.1 — 6.17

П р и и си Гь2. Отме ииныи !наго с вероягностячи )г п ! — !г

мо!кет иахо игься в первой нли во второй урпс, !!ероягносгь ,; 'извлсш отмеченный шар пз урны, в когорои згог шзр

нахошпся, равна Р(Р те 1), Как следует распоряляться правом и раз извлекать шары из любой урны, побы вероятность извив!ения отмечегшого нгара хотя бы один раз была наибольцгс!1, если пшр после извлечснвя возвращасгсгг в урнуг

Р с ш е и и е. Пусть собы гие А — извлечение огмс генг!ого

шаРа. Гипогезы: Н, — шаР паходнтса в пеРаои У1 нс, Ча — во второй. По *!с!юаню Р (П!) =-)г, Р (г я) = 1 — !2, чопусгггы,

что нз первой урны цзялечсно т, а гш торой и — гп шаров

.Условпгге заро!пиес!и извлечения огмгчсппого цгапз будят

Р (А ! Н!) = ! — (1 — Р), Р (Л ', Нг) = ! — (1 — Р)" ".

По !)!ормузе подпои вероятности искомая вероягноггь

Р (А) =р,'1 — (1 — )г)'") — ,'-(1 — гг) (! — (1 — Р)" ").

Нужно опреде;ить т гак, !тобы была наиболшпеи верояг

,, ность Р (А), Дпффершщпруя Р (А) по т (для пахождсигя

йриблп;кеишго зпачешгя т с ппаем т ненрсрывныа!), получаем

гГР гА)

га ггг

= — р(1 — Р)"'1п(1 — Р)-1-(1 — р)(! — Р)' "1п(! — Р).

Распознанный текст из изображения:

4З

СЛ)ЧЛГПШШ СОГ!1.1)Я

,гл г

чогмклл пол юп впяоягпостп

ГГР гл)

Полагая ' '.=О, 5)рпхо.ч!м к рл»'.5сгпу !! — 7))н»

!!л!

1--р

= —. Поэтому должно быть

1-Р

1П вЂ” —.

Л) = — -',— —,'—

2 !и !1 — Г') '

Лз)шая формула попользуется ирп решешш затая 6.13, 619.

6.1, И)!Р1ОГся две !шр)пп нз))елнп го 12 Б 10 шгък. Прп:)ем в кгокдой партн» одно пзделпе боаковз!и!ое, Изделпс, взятое нгбдачу пз первой пар!)ш, першю)кено зо в!орую, !юсле !его выбирается )шу))ачу нзделпе пз второй пар ге). Опрос!елп)ь вср5ОЯ1пос)ь нзплечсп»5! !бозковз!п1ОГО падеж)5! )ш в ! оров пари)н.

6.2. Из полного набора кос гсб дочнпо нз)гад беру) ч две когти, Определпть вероя!нос!ь того, 'ыо вторую кос) Позлю прпсгавпгь к первой.

63, В дв)х урнах пзходнгся соо)ветс)вен!ю

белых и и, п па шрпых шаров. 1!з каждой урны наудачу )н)влекзстся одпп шзр, а затем нз э!Пх шух шаров наудачу берегся олш!. Какова вероятпошь, по эгог шзр белыбу

64. Имее)ся и урн, в кшкдой пз которых по ш белых н по 11 ерпых цшсов. Из первой урны наудачу пзвлскзется один шзр н переклалывзегся во в!орую. Затем пз нтороп урны пзудзчу пзвлекзется од и пшр и перекладывается в Г)ре!ью урну и т, 1!. Опь)с.)слнть ве)о)п)юс)! павле»в»на после тзкш.о персклзхываппя Г)сж)го шара пз поспею!ей урны,

6.5. В гпрс !Ош5о)ся ншь рхж: и, веро))гпостп попаде!шя

равны соо)в "! с Рве)п)о 05! 06; 0,7; 08 Б 0 9 Опрсдешиь вероятность но»ада»ля прп одном выстре)!с, если стреляю)ц«П берст г)лио нз ружсн )шуха !у.

66. '15)я !Оп)роля г)ро)!) )сц»п нз ) рсх пгб)тпп тегз.)ег! вэя!а лля пспьпянпя одна легаль, Кзк Беляка верошность обнару)ксння бгаковаш!оз продукш!я, сслн в однон Гь)ртпп 2~3 дстзлс1! брзьогзш ые. а в двух другпх — все )тоброка!естчс!шыеу

6.7, !'аллода)пш мо к г ир пшлтшкзть к одной пз трес Гшр гнп с всроятносгямя рь р, и 1)ь где р! =р. = 0,25,

,,— 0,6, Вероятное!н того, чго лам»а проработзсг зздаш:ос 515)ело )асов, раш5ы для э)пх пярт!Ьд со)Г)1!)егствснно О,1; 0,2 н 04. ОПРедсл)пь веРО)тиос)ь '!ого, гпо лампа пРОРаботзсг

задан 10е шс то )асов

68Я5 С)учаянзЯ !О~пгз может нзходпГьс)! то:1ько н вспп)РРЗК ромба В. !/.==-! О) 3 л) переходя чт о:!пн ш)г

1

Лз в Вям с верояжюстью ))я (11=1, 2, 3). Бв 75 в 1) с вероятностью Г!у — — 1 — р; !)'= 1, 2), а )ш 1)з в и) с веро ягностшо !)а=1 — р), Опрсдслпп вероя!ность перехода сл; ччбной то .кп нв верши!ы 74! в В!1 з) пс более, чем зз з шагов 1з= 3, 4)1 б) ко)да-лпбо

6,9. КЬ5рзктсряс)Ркз Ь1з)ернзла, )ля)01О дл5! ПЗГОГОЗ)шп»Я продук)п п, с вероя)ноет)вп! 0,09: 0,16; 0,25; 0,25; 0,10 в 0,09 может нзхош)ться в шеста различных нгпервзлах, В за. внсгнчостн от свобств матеркала веро)ппостн получсш;я первосортной пролукшп! равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4;

0,3 'и 0,2. Определить вероя!1)с)сть по,)учьння !шрвосортнон рродукппп

6.10. Плзстшш из )эвола)орз для»он 100 лг м пр;!крьпшс! двэ проводацпс полосы, пдупы!е псрпспдпкулярпо ее длянс и нмек»цяс ог края пласт!шы гранпцы на расс!оянш!х 20 и 40 жш» соо)ветствеш!о 05 н УН .51.51. С центром в то !ке, положеппе когорон рзвповозмож)ю н любом мес!с плзстш)ы, просверлено отверс!Бс дпзметроч 1О жж, Опрслсл:ыь вероятность ю,5учспня элск)рн юского контакта с любой пз полос, если проводжци! коюакт прпло:кон сверху к прона!)олшюп тОчке, расположеш!он на том же расс)ожшп ог Оспоггшю пластш!и, '1!о н центр о)всрсп;я

6.11, Вероя)ность пос, Рплю»5я 51 вызовов па телефонную стг»щ)по за проне)ку)пк ярггяшш 1 равна Р) !)г]. Сч»5зя числа вызовов за любыс два сосед!шс промс ку)кз времен» 1!Рзаш)- снмымя, опрелс)ппь вьрошнос)ь 1))1!З) постуг лен н! з вызовов зз проне»суток време н дшпсльнос!ью 2п

6.12. Оп))едслпт! и! ро)иное)ь того. что 100 лзмпо к 1, взятых па)да !у нз 1000, окажу)ся нсп1зннь!мн, сслп »знее!Ро. что число »спор !е!шых лампочек пв !000 ш5ук рзпповоз можпо от 0 до 5

6,13. В сосуд, содсржы)цш л шаров, опуп!сн белый шяр, Какова ве1 ояпюсть !ав.)с.!ь пз э!Р)о сосуда белый шзр, сслк все прс !Пгьн)))геппя о псрвонз ылшю5м чнслс белых шз- РОВ РЗПРОРО!'РО)кпы

Распознанный текст из изображения:

!и

аоямхла влиссл

случлгп(ые соныт[[я

!гл [

6.14. Б я[цике находя[си 15 тапа[иных мячей, из капирых 0 новых. [(ля первой игры [шугад беру[си три мяча, которые после игры [юзврзшшотся в ящик. Для в[арой игры [акже паутад берутся три мяча. Найти вероятность того, ч[а все мя(ш, взятые для второй игры, новые.

6.15. В правом кармане имеются трп монеты по 20 коп, и четыре монеты па 3 коп., з в левом — шесть по 20 коп, и три па 3 кап. Ив правого кармзна в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения пз левого кармана после персклалыванця монеты в 20 коп, если монетз берется наудачу.

6.16. Пятнадцать экзаменациош[ых билетов содержат по лва вопроса, которые не повторяются. Экззмспующнйся может огвет[пь только па 25 вопросов. Определить верогпнос[ь того, что экзамен будет сдзн( если для это~о досгзточна ответить па два вопроса ич олно[.а билета пли на один вопрос пв первого билета и нз указанный дополнительный вопрос из другого билета.

6.17. Б каких случаях имеет место равепс[во

Р(А)=Р(Л~В)+Р(А~В)7

6.18. В одной из двух урп, в каждой [из которых!О шараа, адин шар о[мечен. Игракзщий имеет право последава[ельно извлечь 20 шаров из любой урнь[, кахгдый раз воз[и!иашая извлеченный шар обратно. Как следует вес[в игру, ч обы вероятность нзвлечепия а[меченного шара была наибольшая, есле вероятность гаго, [го отмеченный [пзр пахал[пса в первой урне, раз[и 2!37 с!ему равна эта вероятцостьу

6.19, Лля поисков пропавшего самолета вь(делена десять вертолетов, каждый пз которых может быль использован для пансков в одном из двух возможных районов, где самолет может нзход[пься с вероятностями 0,8 и 0,2, Как следует рзспреде,шть верта,[е[ы по районам поисков, чтобы веров[- пасть обпаруженяя самолета была [иаибальшей, если кюкдый вертолет обнару[кивает нахоляпцийся в районе поиска самолет с вероятностью 0,2, а поиски осуществляются кахглып вертолетом незавнсиьш а[' лруп ху Иай[и вероятность аопаруженпя самолета прп оппимальпой процедуре поисков.

$,7'„.Вь[числениие вероятностей гипотез после испытании

(формула Байеса)

Основные формулы

Вероятность Р(Н, , 'А) гнпогезы Н[, п«исг[е того, как имело

места сабы [ии( ', апреле;[я [си[ фа![мусой

(„, А Р (ИЗ) Р [»! ' Вз>

где

Р(А)=~' Р(Ну)Р(А;НА,

( — —.[

а 'гипотезы Лу (у==1, 2, „л) состзвляюг поги[у[ гру[шу

несовместных событий

Решение !яловых примеров

Пример 7,1, Телеграфное сообнцнше состоит пз снпш-

лов ««почка» и «[ирс». Стч[тисти[ [ее[[не свопства помех таковы,

ч«та искаикзю.[ся в среднем 2 о сообщении почка» и ! 3 сооб-

(щений «тире», Известно, что среди передаваемых снгнзлан

«тачкз» и «тире» встреча[о[ся в огношепип 5: 3

Определить вероятность того, что принят передаваемый

сигнал, если: а) принят сцпшл «точка»; б) принят сигнал «тире».

Р е ш е н я е. Пусть событие А — пр[пият сигнал «гочка»,

з .событие  — принят сигнал «гире»

[и«[азина спел«пь две гипотезы: Н, — псрелзн сигнал «очка»,

Ни — передал сигнал «пирс». Па условен Р (Н[): Р (Ни) =

=5: 3, Кроме того, Р(Н[)+ Р(Ни) = — 1. Поэтому Р(Н[) =-„,

Р(Н,) =- -' — ',, Из[[ватна, [го

Р(Л!Н[)= ';,

5

Р (В [Ни) =.„-,

Р (Л / УХ.) = —,,

Р (В ) Ни) = — .

Берая[цоспи собьпий А и В находи[»[ цо формуле полной

'. вероятности

5 3, 3 1 ! 5 2 3 2 1

Р (А) = -- -= -'- —, —.- = —, Р (В) = —. = + -'., =,

Распознанный текст из изображения:

!Гп, Г

Фапмклл Ву!»Гол

Папани

л

'5;,

' у)!

'»

Р !А! 7;3

Р ! Гу, ; 'л) = -"- 7'

!',! г!»'

!)тканые псраяп!Осгп сбугг)г:

Р !7!А Р 1'А Д!'»! 8 б 3

Р!А! 1,.» л '

б) Р !7»з, 'В)= — -' — ='

Р !7»'! ! 2 2 '

Аналоги ша решшотся вада»и! 7.! — 7.16 н 7.!9'"',

Й!»имер 7.2, Имеется дв. парпш деталей, причем из- ВЕС!Иа, Чта В атв»ай гшр»ИП ОСЕ двгал»! удаиггЕПЮОЯЮГ »скиическнм условиям. а и др!той »юрпш ! '4 лстзлсй педабракачссгоииьге. Деталь, взятая из пауьтачу оыбр;и!ной пзр»пи, оказалась доброкачсствши!Ой. Определить пс;»аяп»ос!о ч»о пторая легаль пз агой же партии окажс!ся псдоброкаче- СГЗСНПО,1, ССЛ;! ИЕ;»Вая ЛЕГВЛЬ ГЮСЛЕ ППОВС!Мн! Ваазаащспа в пар иа.

Решен не. 1ппагсзы: 71» — взя»а порги»! с иедоброка !ее!Ванным»! Лсталямн, 7УЯ вЂ” взята иа!Ггия !!об»рс»иа»ствши»ых и!талей. Событие А — первая деталь доарок иесп»синая. 11о услави!а задачи Р !76!) =Р '!77!) = — —. Р (Л! М) ==. -,

1:! Р1А,!Б!)=- 1, Иазгаму по формуле полной всрояпюсгп ив- ! ОЯ!пасть сабьппн А 0)дет Р!А)=с-(-- ' ! '= —. После

' — т(а !

ПЕРВОГО Испытания ООРОЯТИОСГЬ тога, ЧТО ПВРГИЯ Салсйаспт исдоброкачсствеипые дега!и, разил

сс)срач!ность того, что партия содержит !алька даг»раиачествс;иые детзлн,

Пусть сооытие Ь састопт и том, "!та прг! ягора»! испытании дсталь оказалась нсзобпакзчествсннай. Верс»ятиг»с!», ДаИНОГО СООЫП»Я ТЫ!же ИаХОЗНГСЧ Иа фа)7МСЛс ПОЛИОП ВСПО- ятпасти. Если р, и р! — оспоятнасти гниатеа Н! и г»' пасси исппишя, то согласно предыдуигнм вы п»слш!пям р, =.= =:,

3 7

р,— -„—. Кроме того, Р173!71!)= „-, Рсгп,'77!)=О ИОВГОЫУ

!

3 ! 3 искомая вероятное»ь Р (Б)=-- 7 ! Гзь'

Аналоги ию рсиио!ся зада и 7,17 и 7.18,

7,1. Имеется десять одинзкооых урп, иа которых о деяяп:

находятся по два черных п па диа белых шара, а н адиай— пять белых и одю! черный изр. Из урны, взятой паула и, 'ПВВГлесюп Оелый игор. Какова Ве!ЗОЯГиас»ьн '»ГО и!ар пзвлс'и:и вз уриы, содержзписй пять белых шарову

7.2. Имев»с! л! урн, в каждая из когорых и, белых и

Гг! черных шаров, п уп урн, садсржзпшх по иа белых н па и! черных п»аров. Из!»Лечсгшый из наудачу выбранной урны Одпи шар Оказался белын, Какова вероятность, чго данный шйр извлечен из первой ! руины урну

7.3. Известно, что 96!», выпускаемой продукини удовлетворяют стандарту. упрощеппзя схема коиграг»я прнзпае! пригодной стаидарпгую продукшпо с вероятное»ью 0,08 и нестандартную — с вераятиосп ю 0,03, Определи»ь иераягяость »"ога, па изделие, ирагисдиее упрощеииыи кагпралгч удовлетворяет стандар»у

7А. 1!з пар»пн в пяп изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся брзкаваш!ым. 1»олвчешоо бракова!иых нздсляй пзиговазма;»шо а!обое. Какое и!зсдиалажс:инс а коли»юстас бракованных изделий наибагмс оерая!иоу

76. Овраг!ели»ь вероятность того, па среди 1Г)00 лам

Почек пе пи од»юй неисправной, если из взятых паула !! 760 лампочек все окззаги;сь ясира иыми. 11редгюлагзе»ся, что исло иснсправньсх лампочек пз 1000 рзв;юоозаюж»ю от Ода о.

7.6. !игрок В играет с псизоес»пым пропшнккам на следующих условиях: шшейиый исход искл»а »ен; первый ход ' делает против»пгк! в случа~ с!.о проигрьп!ш делае! ход 77,

вы»юрыш которого означзет выпгр»пи иры, а при прон»рыше итра Газтарг!ЕA:я Втарай раа Иа тЕХ Кс уСЛааияХ, !'1З дзуХ равноваз!»»Олг»и»х гротивников 77 имеет осрагпность оыиграгь первым хо гом 0,1, а вюрым — 0,3; бУ имеет вс!юя»иос!, оыиграгь »юрвым ходом 0»8, а втарьп! ходам 0,0. »3.»и! 77

Распознанный текст из изображения:

;.!;.'!,"~-"",ф т!

!Овмулл алвеса

1гл

слу'глмыыв соаь!Тпя

вероятность выиграть первым холом рав|ш 0,3 п ие зависит от про!папика. а для второго хода раппа 0,0 прп и!'ре с ЕГ я 0,7 при игре с С. Игру выиграл Ерс

Какова вероятпос>гс а) по противником был Е>; б) по протипиикоы был С?

7.7. Из 18 стрелков 5 попздшот в мвшспь с вероятностью 0,8; 7 — с верояыюстьк> 0,7; 4 — с вероятностью 03> и 2 — с вероятиостью 0,5. Иаудачу выбрзиный с!релок произвел выс!рел, по в мишень пе попал. К какой из групп вероятнее всего прпнадлежач э!от стрелок?

7.8. Вероятности попавшим при каждом выстреле для трех стрелков равпы соответственно 4>5, 3,4, 2,'3. При одновременном выс!реле всех трех стрелков имелось два попадания. Определигь вероятность 'гого, ыо промахнулся тре!иц с!резок.

7.9. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю„ который был убит одной пулей. Определить вероятности то.о, что вепрь убит первым, вторым ила третьим охопшком, если верокп>ости попадания для пих равпы соотвегствеиио 02; 04; 06.

7.10. Попадаине случзйцой тачки в любое место облас и 8 равиовозмовц!о, а область 8 состоит из четырех часгсй, составлявших соотвегствеицо 50, 30, 12 и 8% всей области. При испытании имело место событие Л, которое происходит только прп повадвпш случайной точки в одпу из этих частей с вероятпосгями соо!ве!ствепио 0,01, 0,05, 0,2 и 0,5. В каку!о из час!ей области 8 вероятнее всего произошло попадание?

7.11. В урпе имеется а ц!аров, причем цвет кшкдого из и х с рюшей вероятностью мо кег быть белым или червым. Извлекаю!ся посггсдовагелы!о Ег шаров., причем кажгый после извле:!еппя шар возврашае!'ся в урну, Какова веооягвость того, по в урне содер>кшся только белые шары, если черпые шары пе цзялскгыц!сь?

7Л2. Из двух близнецов первый — мальчик. Какова вероятность, что другов тоже мальчик, если среди близнецов веров!пос>ь ро>кдеппя двух мальчиков и двух дево !ек соогвстствепио равиы а и )>, з для равпополых близнецов верояпюсгь род!ыься первым для обоях полон одигшкоаа?

7.13. Принимая, по вероятность рождения однополых близисцов вдвое больше, чем разнополых, вероятности рожде-

гшя .близиецов раз!юге иола и шсязод последователю!ос!

,«К, с>диязковым!!, а вероятпость рожденич в двояпе первым ма.п,

:',.', цика раш!оя 0,51, определять ясроя!пос ь рождения в орого

Мальчика, если первым родился мальчик

7.14, ."1ва стрелка поочередпо с!реля!пт в мишень. Верея!- ,!.". мости попздаиия первыми ьысгрелаьш для ипх равпы гоогветстм>евно 0,4 и 0,5, а вероятности попзлзпия при после

дуа>гцих выстрелах для каждого уасличивжогся пз 0,05

Каковз вероягиост!ь по первым произвел высгрел первый

стрелок, если прк па!ам выстреле произош;ю попа;шппс

в мишень?

7.15. Произведено !рп пеззнцшац!х псцыг пшя, н кз>кдом

мз которых собьыпе А происходит с вероягпос>ью 0,2

Вероятиость появления другого события В аависит о! числа

воявлеиип собыгпя А: при од~окрагпом появлении события А

эта вероягпость рзвпа О,1, прп двукратном появлении рзвпа

0„3, цри >рехкратпом появлении равна 0,7; если сабы>пе А

не имело ыесга пи разу, то событие В иевоэмо>кпо. Опред,

лить иапвсроягнейшее ~п>ело появлеивц собьппя Л. если собь

тве Е1 имело мес!т>

7.18. В техникуме л студе!пов, из ко!орых ггя 1?г = — 1,

2„3) человек учатся /г-я гол. ( рели двух наудачу выбранных

.'студситов оказалось, что олин из Yих учится больше второго.

14акова вероятность жп о, по это! студепт учи!ся !ретив !о г?

7Л7. Третья шсгь адиай из трех партий дгоалгв юшяе!ся

ш'оросор!поп, остальпые ле!алп во всех пзргиях первого

сорта. Де!м>л!ь взятая пз од»огт !шр>пи, гягаяалас!

соргцой. Оп >едегппь ве!'оягнос>ь того, ч!о дшзль была взя!а

вз пар>и!ь иые!оц!ев в!оросоргпые детали. Иап!и ту же вероя!

носгь прп условно !га ! зятзя из чой ж- пзр!ии в!орая легаль

"т',.'!.' оказалась цервосортпогь если первая детзль после проверки воаяращспа ь пар!и>

7.18. Получе!ш пар!ия из восьми изчезли! одного образца

По дацпь!м проверки половицы пар!пи, три изделия шцьаалпсь техшшески исправпьыиь а одно браковав;ым. Кзяшш : я:,:,,,:,вероятиостгь что прп проверке трех последу!ощпх изделия

одно из иих окажется исправным, з два браковишыми, если

любое кол!шестам бракованных изделш! в дацпоя пари!п

1>авповоэможцо?

7.19"'. Прибор содержит лва блока, исправность каждого

из которых иеобходгша для функциоиировапия прибора

Распознанный текст из изображения:

ггоитоигияг иезлгпспмь:г! исггы !мига

ггл. !

яд слх глгигые соьытни

В 8. Вычисление вероятиостей поиилении событии

ири поиториых иезаиисимых испытаниях

Основные формулы

Вероятность Р„, „, пояилеиия события т раз при и независимых опь|тзх, в каягдом из которых вероятность появления события раппа р, опрелсляегся формулой биюмиальпого распрсдслеиия

т и л — и

Рл! „,=С„р'а

глс д=- ! — р.

Всроягиосгь погзлеиия события ие

и опытах вычисляется ио формуле

менее ггг раз прп

Я вЂ” !

— Р;я и а=-а

я

Йч!яг= л, Р,! ь ичи Й,г м=1

ч„~

г=ш

Вероятность появления события хотя бы опии раз при

и опы.гах будет

Рл, г=! — г7.

Еолпчестзо и огп!тот, которые иуткпо произзесп! длч то о. ыобы с ггероягг!осгьо не меиыпе Р а!си!по было утзсрыла!ь, гн! да ~пое событие произойдет по крайз!ей мере олин рьз,. иахол;ися по формуле

!и 1'1 — Р!

гп 1! — Р) '

глс р — зерояыгость пояглышя мого собьгтпя и катядом о пап'е.

Нзиисроягиеиигее зююепие р, числа лг поязлегвй собьгпгя 1тззпо пилой части ~~с~а (и+1)р,

(гг-~ — 1)р иаиболыксе ггиачспие вероятности достигается ирп двух !ислах р.,=!и —,' 1)р — 1 и Иа=!и —,-1)1г.

Вели оиьггг! полая!!с!!а!!!, по зерояпюсти пояилып.я собыгия рази!ипгы, то вероягиость Рл,„поязлспип собьпия ья раз

Верояпюсти безотказной работы в течение промегкутка времспи Т для а!их блокоь соответственно равны р, и рм г!рибор испыпгвался время Т и зыгпел из строя. Определить вероягиостп того, что отказал первый блок, иторой блок, оба блока,

. ". йри. и оиыг'ах ! азиз козф!!гиыюп гм п)и! и ' и Рилли!копии

г!рот!заела!!!ей фуик!гки

л Я

01п) =- Ц!1гг,гг-);и„)= "Л', Р„,. мп'"-,

л— и- и

т гча ггь =- 1 1гг 7г! иерея гипс!а пояз !сипи соим!пи з г и оиы*е

Козффюцгенпя Р„м могут быль опрелслеиы лпф 'ререппировзпием фтикиии 0(п).

Р,

1 1'г!'г'О (гг!)

и Я< = гл 1 тги ~

тгто,дает, папример,

У,з г<=-- сггд ° г)

ретпеиие !яловых примеров

П р и и е р 8.1. с!го всроятпее иьп:тра;ь у раююсви.кого

иротпив!ка !ии ьейиыи исто!1 партии псклв !еи): а) !ри партии из четырех кли пять из иоськи; б) пс мопсе трех партии из четырех плп пе меосе пяти партии из оосьмпг

Р ею е п и е. Так как иротизиики равиосильные, то вериягчюгти иыигрыип и проигрыша каждой партии олииакоиь!

' и,раппы р=г! =1 2

з) Вероятгюсгь выиграть три партии из четырех

1 1

Р.иа = С! гч — -а-.

Ве!гоягпосгь !!!и!г)гзг! пять гы!гиги пз иоськи Ра;=

= С.'; „=. -,, Так кзк —, л —,-, то веро!инее ли! !и рать

три пар!пи из 'геигрех

б) Всрояп ость иыи! рз!ь ие менее грех пар!из из четырех

1 б

Л- !з == Рг! з — '- Р.; =- -, . +;; =' -'.;,

и " '' ! 4! 4 ! 1:, !и

а-перо!!июсгь выиграть ие менее пяти пар!пи из восьми

азиз — Т мз ! з;6 ! Р'мг; ! мч =

7, гз 7 1 03

= --; — -',:--+8+1')г =,——

г гг! 2бсг

Распознанный текст из изображения:

!!! Ч! ~

К я 1,!"!!

О мзгазгвоз. пз очереди!я других магаснь .и всрояг-

('л+- 1) д=—

полой !асти

Задачи

>7 = г)г>7зг)'„. 0,077,

'(1

р=(1 --дйг(>)(1--д',)З=0,177.

зл

52 слюыгпгыо совытпя

93 5 Тзк как — — „, ь —,, '!О о ! Оягнее Быи!'ЗЗГЬ пс т!сисе пяти

2аб 16 ' партий пз восьми. Лналгжи >но !>Спикнся задачи 3. ! — 8.31, ЗИ-.!', 8.4бо, Пример 8,2, Иъ>естся шес>ь гкжребнгелей электрп- чсскОГО 'Гока, для и!овОГО пз ко>орых прп Опрсделеиных

>С>ОГИЯ! ОСРОЯТИОСГЬ

8 того, что произойдет аоз,т рия, приводящая и о>к.по-

!соню погребигеля, равна О Д О,б, для в>орого -- 0,2, з

ДЛЯ ЧЕГЫРЕХ ОС>ЗЛЬИЫХ— Рас. 7. по 0,3 Опрезелгпь неровность гого, что генератор тока оудет отключен по>и>остью; а) если Ясе погреби!ели соединеБЫ послсдоьателыю; б) ес>в потребители соединены так, кзк покзззпо па схеме (рис. 7).

Р сш сии е. а) Верояп>ость неогкляшенпя всех п>ес>п но>ребигелсй ранна произведению вероятностей неотключения каждан> погребителя, г. е.

Искомая вероятность равна вероятности опглю >ения хотя бы одного потреоигеля, т. е. р= 1 — Г7 0,923,

б) В споч случае генератор будет отключен полиостьк>, ес>и и каждой парс последовательно соешвеиных потребителей о>к почсн хо>я бы одпп потребитель:

Л>илогнчпо решаются зздгвп 8.32 — З.Зб.

П р и м е р 8.3. Вольиая парт>и изделий содержит один пропент брзка. Каков должен быть объем случай>юн выборга, чгобы вероятность острет>пь в ней хов бы отпо бракованное исшелие была не меньпге 0.957

Р е и е и и е. Искомое чис>к> л нзхош>тся по 4>орь>уле

!и (! — Р)

л.-= — . В данном случае Р = 0.95, а о == 0 О!.

!Б 0,05

Позтоиу л = —,' — ' 296,

1п 0.99

Лнзлогв во решаются задачи 8.36 — 8.40.

',.*1:. ';,"9 61 ПОЗТОБПЫС НБЗАОИСИМЫБ ИСПЫТАНИЯ

П р и и !' Г> З.з, Оптовая бааз спабжа *г 1

1:-;-": рг ггзждого гю которых может поступить заявка

;'дйнь с вероятносп ю 0,4 независимо ог заявок

овнов, Иайги папвсроя>псйиее число зз>п>оь о д

'„;,узость получения э>ого числа заявок

Решение. В данном слуюе и=10, р=0,4

4,4, Напверояп>ей!псе число 9 зюииж равно

числа (л-';1)р, т. е. 0=4

Вероягносгь четырех заявок пз леся>п

Ри — С 0,4 О.о' 0,8,1,,

ы"

Лналог>ипо рен:зются ззда >и 8.41--8.43

8.1. Определгпь верояп>осп >ого, по помер перооя ',.:- -':Беар>етивиейся автомашины пе содержит: а) пифры пять; ;,,:,:. б) двух и более пятерок; в) ровно двух пятерок

Известно, что осе номера четырехзначные, непов>орюо

йтиеся и раоиовочь.ожные (счишется воаможныч помер ОООО),

8.2. В семье десять де!ей. Считая вероятности рожде>вя ,„;.;. мальчика и девочки равнымп 0,5, определить вероятное!ь ,'Ф трго', что в данной семье: а) пяп ьтль иков; б) мальчиков !;-, не менее трех, ио и пе более восьми

8.8. Из гоблины случайных 'пшел !иуда'>у выписаны

200 двузиа пгых слу шйиых чисел (От ОО до 99). Определ>пь .;,-„" вероятное>ь гого, что среди вгх число 33 ос!ретива ,;,,;,, а).три раза; б) четыре раза

84, В бпбш:о!сне имеются книги только по технике и „'- математике. Вероятности того, по любой вга>ель возьче!

книгу по >ехиикс ! по ыз>емзгпке, равны сооп>егсгвги>ю 0,7 ,-„'.... и 0„3, Определить всроятнос>ь >гдо.:по >вгь читателей ;" >П>г>дряд возьиуг книги илп только но технике, или только ,.', -по. математике, если каждый из них берет ~олько одну киву

8.5, )1ое злсктри'вские лзмпо пгн включены в пень после; ", довательпо. Определить оерояпюсть гого, что при повышении !'"О

-:„,:напряжения в сев выше номинального произойдет разрыв : "".-. Пепи, ес.п! верояп>ос>ь того, что лаяло >ка перегорит, для '; —,'.',; Обе!!к лампочек одинакова и в зп>х условиях равна 0,4

8.8, Собьпие В наступает о том случае, если событие ,:.:;:, 4! Бояшпся не менее трех раз. Определи!и вероятиосгь

Распознанный текст из изображения:

54

+

Рис. Б.

СЛУЧЗ и!ЫБ СОБЫТИЯ

!гл !

типа А выходят из строя с перов!Носп,ю 0,3, элсмеить. гюя  — с всроятиссгью 0,4, элемеигы типа С вЂ” с всроятиосгяо ОР.

3 8. Верогп иосгь того, что агрегат необходимо посзавигь иа ремонт после Гн аварий, определяется формулой В (ГГ!) = — 1 —,' 1 — —,', где ы — среднее чвсло аварий до поста!ювки агрегата из ремппг. Вакззать, '!то верою пасть

'! Го после и произ!Годствси!и !х я!клав нога! буе Гся

Г! ', «

ремонт, определяется па формуле йтя= — 1 — '1 — 1, где р — Вероятность того. !то во время одиого ироизводс!яикао!а никла праизоид!.! ЯГ!арию

3.3. 1Г!Та!ННГгхт! Тся юты!ю .'юззггнсимых опыта, В кгп!Ыиэм гя ка" арык событие Л пгопсхал!и с всгая!!!остью 0,3. СОСЯ пс В пас Г', Пас Г с еьепая! Нос пю, рявкай 1, сстп! саоытгс Л праиаоюло ис мсиес двух рзз; пе макет !и!Ст)чинь, гслк событие Л пс, имела нес!Я, и наступает с вероигиостью 0,6, если сабы!Не А имело Нес!о одю! раз. Опредсгипь всрогииосгь по«зле!Нгв события В

8.10. 1!о ти!гневя в ткр' произв!дено 200 исззэ!югп!!Нх Г!!Ястрелов при адпиаказых условиях, которые лз.п !16 погздюгвй. Определи!ь, какое зна !сикс верояпюс н попздгипя на одни выстпсл более Вега! п!о: ! 2 плк '!Нй сс.я;!о ю!ыта обе пюатезы !тяни!озирая!и!я н сдшчсгвсю!о воз- ЧОГКПЫ.

появлеикя событня Г4, если вероятность появления собьпия Л и),п одном опыте равна 0,3 н произведено: з) пягь Вез!и«н спмых Опытов; б) семь иезависнкых а!п,пов.

8.7. Влек!)!!! !ескзя схема, содерткюиая два блока .Гяпа,4, едки блок тяпа В и четы)е Слака типа С, составттпя так, как это показана на ркс, 6. С!предслить вероятное!ь разрыва испи, неусГры!ю!Ого с помо!пью ключа К если элсчс! Гы

35

8.11, 1эассчи!а!ь ззвпснмосп, Г!е!!Оягиасги хо!я бы алиево

появляяя собыгю! А прк .!О иезаииснмых опытах ат вера!и

насп. р появления события А В казнюм опыте для сл;.з!:О!них з!яч!Япгй р: 0 01! 0,05; 0,1; 0,2; О 3: 0,4; 0,6; 0,6

332. Всроятиасть хотя бы о и!Ого появг!сипя событич

прв четырех !юзюясюгых опытах ргиГиа 0,69. Какова всраю-

Т!Ость появ Геи!!ч события А прп одном ог!ыге, если г!ри

!С!!ждат! Оиы!с эта исраятиость огитако!яу

363, Веров!Носы, появле! Нэ неко!араго соаытия в кане!Ом

кз воссмиздигпи Независимых опыгоп рю!На 0,2, Оирстгслить

вероягнас!ь паявляюя э!о!о собып!я г!о крзйнси марс

Три паза

8.14. Верая!!юс;ь иыюры иа пз кюктыи иэ ло!срюяых

бнлегав рвиа 002. Рассюпгпь исропп!Ос!и хо!я бы Одна!о

вынгрыяа !!а л б!!,Гете!В г!ля л==-1, 10. 20, ЗО, 40, ОО, 60,

70; 30, ОО, 100, если сина!!ь по билюы прюяллсяз; разным !.Нр,! н

336. Если изв стио, что иа лптерскигяй билет выпал

вмиг!!!Ни!, то Вероягясютк !о!о. по вьигрыюем Судет исгиГ-

снпед нли стирзльиая э!г!!ии!и!, равиЫ Саагве С!вяию О,ОО

н 002. г!аитп вероягиость юиюрыяз хо!я бы ади!ага из - !Нх

пред!!с!т!в па '10 аыю'равшнх логерсвиых билетов, ьыбрюГ-

пых из разных серий

8.16. Игр: сосзоиг в иабрзсывюпя коля! Нз колыюс!

Игрок получас! 6 колеи и бросает колыга ло первого по

падаикя. 1Ьп!и ВерО~ГГнасть ТОГО, 'па хптЯ бы ОдиО ! О'!Ыго

останется иензрасхадоняпиым, сслн вороги пасть попадювя

прк каякдам броске рзи!я 0,1,

3.17. ГОирелстиг!ь Вераягиость пол!,чсипя !и: маисе 26

очкоВ ипп тгт!.'х Выстрелах иэ сиартивнОГО и!!с!ОЛСГЯ па

ынд!е!и! с мякснызл нык чнслач Оч«ОВ, рявиым 10, если Вега

ятносгь иол) !е!!Ня 30 о !коа равкз 0,006. Извссгиа, ига при

'олпом ьыс!Р!е ю в'! аз!пас гь псьтт «!!ю! Васьки о и!аз раю!з 0,15,

а меиее вась!!н очков — 0,4,

3.13. Дза !баскет!Огыичста делают по Три броска м гюк

'В карзпгу. Всраяп!осгк пападаиия мяча прк ка!кдом бро

равны саотве!стасика 0,6 к 0,7. !!Яйп! Верогпиость !о а,

чта; а) у обоих будет равное количеп!ва иоиздаиип; б) у п.

'вота ааскстбол! ста Оудет балыке по!яда!Ний, чем у В!враго

8.1СОк Бег!Ояп!Ость того, ч о .!ачпз ос!Яистся исирзю и!!

: - прас!Ге 1000;зсов рабаты, равиа 0.2, Еакова веро;!! !!О ! ь

Распознанный текст из изображения:

с ту !1п!!ыи сог!1т "я

!гл. г

!Ого, по хотя бы о;пш вз Грех ламп ос!Влетев пспрзвиои после 1000 часов работыу

8.20. '!'рос раба !Их иа своих сгзиках производят изделия .только о!ли июго и хорошего качесгвз, гтричем первый и в!орой пз ппх производят издегшя о!лп июго кзчесгва с вероятностью 0,9, а третий — с всрояшос!ыо 0,8. Один из эгнх рзбочих из! отовил 8 изделий, среди которых 2 хороших, !(акова вероятность,;то среди слсдуюппш 8 изделий, изгатовле!шых тем же робо и!м, будут 2 хороших и 6 отл!шлых?

8.21. Пля победы в волег!болю!Ом состязании команде необходимо вьи!трать гр!! партии из пян; ко!шпды неравносильны. Определить вероятность выигрыша в кюкдои иа"1гии

ГИ для первой команды, если для уршшпвашш шансов оиа должна дать фору: а) в две пзрнш; б) я одну парт!по.

822, 8(з! ! между двуь!я шахмагис!амн провод!пса па следующих условиях: 1) у !Гг!ьпгз!Огсз только резульгзгивные иар!ин; 2) вьпнравип!м считается тот, кто первым наберет че!ыре очка лрп услов!и, по у прон ялика прн этом не более двух о !ков; 3) если у Обоих ш роков по трп очка, то ВыиГрывзет тот~ кто первым наберет пяГь Очков.

Определи!ь вероятности выигрыша з!Втча для каждого из игроков, если верошпости гыигрыша каждой пэртли для иих он!ося!ся кзк три к двум.

8.23. Пля прпк1рпвшшя Трюк!шинн пользо~а~ся двумя коробками спичек, досгшшя паудзчу ту или иную коробку, Через неко!орое время ои обнаружил, что одна коробка луста. Езкова вероятность, ч!о во второй коробке при э!ом г) спичек, ес,и впа шле я каждой коробке было по л спнчеку (Задагш Валаха).

8.24. Верояпюс!ь попадзлия стрелком в десятку рзвча О, 1, а В дев!и и " .— О, х Оп,"1гмшлить взроя'О!ос!'ь то!'О, ч ГО данный стрелок при '!Рсх сыстр лах наберет не менее 29 очков.

8.26. Во время ка к юго пз опытов па 1 чзс в !шиь включается багзрея мощностью в 120 алг нли в 200 вш; вероятное!и благоприян!о!о исхода оп!на равны соогвегсгвенио 0,06 и 0,08. Результат проведенной серии опытов считзется достигнутым в слу ше хотя бы одного благоприятного исхода спыгз с батареей в 200 вш или хотя бы двух с батареей в !20 алп Общая энергия, затрачешшя на про-

б!7

:.А':Г"', 4 а1 повтои!!ыз незлвнспмыг испытлппя

',:.г! Пзводство всех опьпов, пе мо;кег превышать 1200 зпл!лп гас

Кзкзе батареи выгоднее !!спольаоватьз

8.26. Прибор выходит из строя, если перегориг не менее

пяти ламп 1 типа или ие менее двух ламп П тигш. Опред.- лять вгроятпость выхода из строя приборз, если навесы!о,

что перегорело п!пь ламп, а вероятности лере! орашш ли!и

1 н П типов ршзлы соответсгиешю 0,7 п 0,3 (гыход !ш с.гро !

ламп — события независимые)

8.27. Вероятность возникновения опасной для прибора

перегрузки в ка;кдом опьпс равна 0,4. Опредешпь веров!- вость отказа прибора в серии из .!)тех независимых опыто8

если вероятное!и он<аза ппвбора при ошюй, двух и !псх

опасных перегрузках соогветственко рагны 022; 0,5 н 0,8.

8.28. Вероятность у !асгпя в казсдом из опытов любого

!

из и одинаковых обьектов равна р !'р( '~. Если дал!и!й

л г

объект у !зствовал в опытах не менее 2а рач, результат опытов

считается достигнутым. Определ!пъ яерояпюсть досп!жения

.результата после гл опьпов при л!(2 !г.

829. В условиях предыдущей задачи определи!ь вероятность досткжения результата прп (2)г — 1) опьп ах,

"."! еслш после досгижешш изм чениого резулгпата Опыты ирекрзщшотся,

8.30. Вероягкость отказа казкдого прибора прп испытании

равна 022. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы

с вероятносгыо ле менее 0,9 полу ппь ие меныие ! рех Отказов 2

8.31, Пункт Л нужно свячзть с ° 10 зболентами пункта г3

1(зждый збонегы занимает линию 12 минут в шс. Вызовы шобых

двух абонентов независимы. Какое минимальное когш !естсо

";,-":-'~:: —",.,кг!Палов необходимо для того, побы можно было в л!обой

,,"-(,;.ыоыенг с вероятностью 099 обслужить всех абоне!Позу

8.32. Последовательно послано четыре рздиош!гнала.

ВерояГПОстп приема кзгкдОГО из иих пе зависят От ТОГО,

првняп! ли ос!злш!ые си палы, и соогиетствен«о равны О,1;

0:2; 0,3 и 0,4. Определить вероятность приема ь' сигналов

,(Д=О, 1, '2, 3, 4)

3.33. Используя условия предыдущей задачи, определить

вероятность хстаиовления двусторонней радиосвязи, если вероятность этого события при приеме одного сигпа!ш равна

0,2, при приеме двух равна 0,6, а при приеме трех к че1ы

рех — единице.

Распознанный текст из изображения:

С' ти>Г>иг.!" Саг.ит 1Я

в

14 '.

Осиовнь.с формулы

Н ь

1) Г

3.34. Бсрощиоси> псрегарзив 1:.Зой,, шарон и !рс.>ч еи ламп паз !ы соотвстсисщшо 0,.1; 0,2 и 0,3, Вероятности выхода из строя приборз ири перегара>пв ащ:оп, двух и трех лав> равны саа>век>авва 0,2о; 0,1> п 0,9. Определпгь нероят> ос!ь выхода прибора пз строя.

8 33. Охоии>к стреляет и лося с расс>ояппя 100 ж п пападаег и пего с вераягпас>ью 0,5. Если при первом вь>сгрв,!Е Иап>>,ганнам ИСГ, Га ОХаГИПК Стрвпявт В!Оран раэ, На С

1ОО л!. Если ие> >шпала>п>я и в э!Оч слу>ае, та охо>вш стреляет трщий раз, пр>вем з момент выстрела рзссгоми;е:щ лося разно 200 лг. С истая, гго вероятность попздювя обрзтио иропорпяопалы>з ьвадра!у рассгояпяя„опред!.,чпть вероятность >щпздапия в пася

8.36. Сколько >иссл иеабхогвмо взя>ь ия таблицы слу'!зй>ых чисг ь 'иоаы с изпаальищп всро5ги!осгью ООеспеш> взлось появлев>с срели иих '!рех всел, окзнчивзюпц хся иифьОЯ 77

8 37. Бероятность попадапяя в десятку при одном выс ре,>е р = 0.2. Сколько нужно произвести пезависвгых выс>релов. чтобы с вероятностью не менее 09 попаси, в лес пку хотя бы одпп разу

338. Ба отв> шшл звгомщ изготовляет 1О дегалей, Ва ьзкое коли шс>во ппклов веро:пиос!ь изготовления хотя бы од!ап бракованная детали будет не менее 0,8, если веров посгь гого, ч!о любая легаль бракавз>вая, раз>в 00!у

8,39. 11а прямой через 00 сяг одпп ог другого расположены иеи>ры Окружностей, диаметры которых одины<азы и равны 1 гш. Пссколько таких прямых устанавливаются в>рзллсльио друг другу в одной плоскости, причем огласи!егвиын сдвиг линий рапиозазмаиген на любую зеленину о: О да 60 сш. Перпендикулярно щим линиям в тай же плоскощн псршиипастся круг радиуса 7 сяг. Какое количество линии должно бьиь, >тобы вероятность пересечсив> о>гружнасг«г!Оремепгаюитегося круга с какой-либо окружностью была нс мсиес 0.,97

8АО. Иэ ящика, в котором 20 белых п 2 черных шара, л раз 151>вменяются шары по одному, прнчем после каждого иэв.течщ ия шар возвращается. Определишь наименьшее и:ело пзвлечшвй, при котором вероя5ишсть достать хотя бы адик раз 1 р>ш>И шзр буггег бо.>ьгпе палаев>ы.

ф,„.:,~уф '

ПОЛИ!>ОМПЛЛЬНОН ГЛСПГЕДГЛС;Ив

841. Лгв данного баскшбалпс!а исроягиос>ь заброс>иь

мяч в корзину пря броске рагва ОЯ1, Произведено 111 бросков

т)агг>и иапвероятпсйшсс число попадании и соотвегси ую п)ю Р вероятпоси

8А2. Нанти папзероя:пспшпе вслз о>рипагельпых п пала>к;иельнь!х о>ппбок п соответствуюпг>ю вероятное>ь при

1шгырсх яз>шршп>5>х, сслп при кзж '1011 1 эмсршии> перая>нос,

"1

папу'>сипя ПалажителЬПОП Овпбьи рзв:.а 2 3, а о>рппатсльиай — 113

8.431:. Опредегипь число л пов|ориых иезависимьш испытаний, которые нужно произвсстг! для того, пабы пщгвсроягпейшее числа появлев>й собыи>я рщвялось 20, если вера>15-

ность появления этого сабьния >рп каждом испытав!и

равна 0,8

) 8А4'. По иелп, сосгоящсй ив т элсмеитзриых исл и,

произведен> л иеззвиспмьгх выстрелов. Всроягиаси попадзиня, в й-ю !шль пр» любах! выстреле рзв>в)>л (>1= 1, 2,..., и),

У' р.= 1 — рм де р> верогпность промаха. Опргщслнгь л=!

вераят>>ость ги>ражсиия пели, если для э>аго необходимо нарва!Пь не мс>шс двхх эдеме>изрпых Пег!си, каждш> пз которых поршкается при одном >впадании в пес.

8Аот'. Подзошюя ловка атакует корабль, выпуская по нему послсдсза>слыло и пеэав>симо ащ>у от др;гоп и торпед. Кзз;щ>я тор!в а попадзсг в кар;вль с вероятностью р Прп попадав>и гарпсд5ы с всраяиюсгыа — затоплялся один

/!

ив и отсеков корабля. Определи!ь зс>ачтиость гибели корабля, есгв для э>ого необходима за>а;!Стюве не менее двух отсеков

3 9, Полииомиалыгое распределение. Рекурреитные формулы. Произвол!!шин функция

Вероятность гога, что ири л независимых опьизх, и каждан пз ко>арык может про> зов п >олька олпо >ч событии Аь А>, ..,, Ам соотвсгсгтеипа с ЯеРОЯ>настями 7>1, 73, рч5, соо!>гпя Аь 1/; = 1, 2,..., гл) прапзайдт!

Распознанный текст из изображения:

б!

бо

!Гл. 1

случлгп!ые соегьт11я

ПОЛННОМНЛЛЫ10Е РЛСПРЕДРЛРШ!Е

и

ровно ль, раз [, ля —.— и !ь, определяется формутоа поли:о

'Ы =1

мпального расс!ределення

л! л, лг

лг

Вероятгюсть /э„1„, „„, „является коэффпциеьиом при

лг

и"'и" ...и„"[„в следующей пропзводяигей функцию

6 (пн пг, ° ° пл) =(Рги;+Ргпг+ ° ° +Рмилг)

Производящая функция для и + М неззвпсцмых опьпоз ЯВЛЯЕ1СЯ ПРОИЗВЕДЕННЕМ ПРОИЗВОДЯЩПХ ФУНКЦИИ ДЛЯ И П СООГ- ветственно для /г/ опытов. Использовш!ие этого свойства часто сущесьвенно упрощаег вычисление искомых вероьппостеы, Для этих же целей применяется соответствующая замена аргуме!Пов в производящей функции. Ес.чп, например, нужно опредешьть верояпьость того, по собьпне А, при ьг испыгаьшях появьпся на / раз больше, чем собьпие Аа, то в

1

ПььОИЗВОДЯЩЕЕ фУПКЦИИ СЛЕДУЕТ ПОЛО1КитЬ Пя= —, П,=И,

и'

и,= ! (/'=3, 4,,..., ш). Искомая вероятносгь является коэффьиьцгеьпом при и з разложении по степеням и функпии

л! л

Сг (и) = /1111

и '; /

/.—..1

1

Если Ря=- (/1=-=1, 2..., т) и требуется определим

ги

в,рояпюсьь тоь'о, что сумма номеров пояанвцп!хся собьпии

равна г, то искомая вероятность является коэффпциеьпом

иш и в рззло кеншь но степеням и фушгшьн

Прп разгьожшшн Й(п) а ряд удобно для (! — и) " испол,- зоввть слелуьощее разложение:

(1 и) 1 + Сл П Сл 1л + Сл гп

Фзкторизлы больших чисел могу! быьь наидены пз таблицы логарифмов этих величин [2Т( нли вычислены по формул:

~!,::„.,:,.С/тир!!янга

".' Вероягносщ поязлсш!я события прп и опытах ипог.1а может 'и; 'быть полу ьепа с помощью сооьпюшешьи (рекурреьпных формул) .". вида

Рл = иггрл 1+ иар!г-я

1:...;:,:;;::,;:-где ил п Ья — известные !юс!оанпые. Искомаи веРОЯгпосьь

' определяется переходом от и к и+ 1 после рас !сьа по

исходным данным вероятностей для пескольквх значений /1.

1;-,:,:,;:;. решение типовых примеров

П р и и е р 9.1. Вероятности того, что диаметр л!обои

детали меньше допустимого, болыие допустимого и з до- ( „':::,~:'.пуст!1мых пределах, равна! соотвегстве!пю 0,05; 0,10 и 0,85,

-,,:: Из большой партии берутся наудачу 100 деталей. Определить

вероятность гого, что среды них будет пять деталей с меньшим диаметром н пять деталей с большим диане!ром.

Р е ш е н и е. Пусть событие А, — выбрана наудачу деталь

первого, А,— второго и Аг — третье~о типа. По условию

Р,=О,05, Р1=0,10, Ра= — 0,85. Всего пРоизводптса и=100

~ ~ ~ н~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ г ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г

опытов, Определяется вероятность и того, что при этом

собьпия А, и Аа произойдуг по пяти раз. Тогда и, =ля=5,

и,=90. Поэтому искомая зероятносп

-г 1 Л гпи

Р =1 нм; а, а, аа — 5!5!90! 0:Оо О ! 0,8о

Логарифмируя данное равенс!Ео, находим

!ЕР = !( 100 ! — !8 00! — 2 1Е 5! + 5 1л 5+ 00 18 0 85 — 1о

Воспользовавшись таблипен для лоьзршфмов факгориалоа 1;-";т.':; и тэблицеб /гесятигннях логзрььфыов, 1ю.чуьаю!

!ар=3,782'1, т, е, Р--О,ООО.

Апалогпчью решз!отса задачи 9.1 — 9,7 и 9.25.

Пример 9.2. При каждом испытании вероятность по.

явления собьыия рвана Р, С какой вероятностью оно произойдет четное число раз при и яспытанияху

Распознанный текст из изображения:

62

ель глгшын со!!виня

ггл

Р„, и 1 — Рл и Тогда

Ргг=Р. (! — Р)+(1 — Рь !)Р

/гь — — Р+Рг, ! (1 — 2Р)

Представив последнее выражение в анде

1',

1/гл — —,' =(! — 2/)),гчг, ! — —:-'

'),'

(/<= 1, 2...., гг)

левые и правые:исти всех и ~аких равенств

и пе)темно:кив

валун!о!

(Рг ) '=(1 2Р) $ ~ //ггг-г — .) '

$3, — 2/

г!.= !

Р е Я с и и <.. Осозиз'шм через ггг, не!аозт<гость того, чго после и опьпов <обыгнс произойдет четное шсло раз.

, 11ерсд А-м опытом можно сделать две гигатевы: при (/г — 1г-м ошгге событие произошло гстиое илн нечет ие число раз. Вероятности азах гипотез равны соответственно

1'. -гз

4% полпномпллыгое иаспиедгленме бз

Б,ваш!оп случае и!ело событш1 ги=-10, верояишси!

10

'Р„.= — (/<=0, 1, ..., 9), а произнодяшая фуш<гиш имеет

'вид

а

О! Рчм и! . и!) =-!о! г гга

где индекс д у пь указывает па то, что н результате опыта появляется число /г

По!го)гига! п„=и". Тогда у функпин

и 3

0,(п) = †, гт и'

1<Р ~~Р, ~ 1о' ', 1 — а,'

л=п

коз<1)фнгписиг ирн и"' равен вероятности того, по сунь!а

первых трех пн<рр номера бил<па раи а с.

дна)гаги шо у фуикшш

/1 л г! ',В

вй/ 1!

Сокршпзя обе !асти равенства иа в аз агЄ— —,;1, находим

1"= !

1 „' 1!

/)л — ) =(1 — 2Р) ' Ра — —.— ~ °

Т;гк кш' Рг=1, то искомая вероятность будет

Р. =, 11+ (! — 2Р)" 1.

Лизлогн шо решаются за га и 9.8 — 9.!3, 9.20 п 9.27"'.

г! р и м с р 9Л. Опредегпггь вероятность получения ! рамвайпого билета, у которого равны сумъиа первых трех п последних трех пифр намерз, ес)и! номер шеспгзиачиый н может бьиь любым ог 000000 до 999990.

Р е ш с и н е. Рассмотрим сначала первые грн пнфры номера. '1'ак кзк они произвольны. то можно считать, что производится три опыта (и=3), н результате каждого из

1

которых с верояпгосгью Р= —, пояаляегся одна нз пифр,

коэффвииеиг прп и"' равен вероятности того, гго сумма

последних трех пнфр номера биле!а рзииз а,

1.1о тогда у фупкшп!

] /! гги гч

О (и) = О, (и) О, (и) =,, „

1,':;::;."!г,::.коз!(гфпииснт при и' ршпш искомой вероятности гого, что

!';;-'-,';,.::, суммы первых трех и иослешшх трех ппфр номера билета

Равны

14)леем

(1 — и) "=1+С,'и — , 'Сггг-,'—.

<.: Понтону искомая вероятность будет

Лиалоггвчпо решаются зада!и 9.!4 — о.24,

Распознанный текст из изображения:

пол пюмиллш!ОБ рлспрглглгппв

!ГЛ. 1

654

сл.чайные совыт!и

В а д з '1 и

9П. В урне имелся три шара: !Срный, красный и белый, !йз урны шары по одному нзвлекалнсь б раэ, прпчсч после кюкдого извлечения пшр возврашалсч обрзтпо. Определить»сроятпость того, чго чарный и бель:и шары извлечены пе менее 1ен по два рзвв казкдый,

9.2. !рабочий производит с вероятностью 0,90 годное 5!Зле!и!С, с вероятностью 0,09 — нзделие с устрапнмым ораком и с верогпностью 0,01 — с неустранимым браком. Прсиэ!шаспо трп изделию Определить вероятность того, по среди ннх хотя бы одно годное изделие и хотя бы о,пю с усгршшь!ым браком.

9.3. Кшкдый пв девчы! Пиров с од!иаковой верояп!остью могкет быть помещен в одни из трех первоначально пустых юцнков. Определить вероятность !ого, что: а) в каждый ящшг гюпало по три шара; б) в олин ящик попало четыре ишра, в другой — три, а в оставшийся — два шара,

9.4. По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух концентрических колец, производится десять выстрелов из спортивного пнстолеш. Верогппосгн попадания в указанные облащп прп каждом пыс1реле равны соответственно 0,1о: 0,22 и О,!3, Определить вероятность гого, ыо при атом будет шесть попадании в кр)ш, три — в первое кольцо н Очно попшшпис во второе 5!Орггно.

9,6. Прибор имеет четыре блока, в каждом из которых ичшо!Ся гьае!г!ро15!5ые лампы. Если известно, по одна лампа выи!лз пз строя, '!О всроя1нос1П ТОГО, '1ГО эта лампа прп!Ыдлеяшг дз1шому блоку, рваны соотвшствепно рг= — 06!11, )Ч.=-!55=02)66", да==0,2661 н и- зависят

:и мг. вышло пз с!роя! до этого. Огредслпть вероятное!1, прекрашеш1я рабогъг прибора прп Як!ходе пз строя четырех лзтп1, если прибор прекращает работзть как прн выходе из

ирои хотЯ бы Одной лампы из первОГО блока, так и в том

с.1учзе, коГДЗ и яо ЯГОром и в '!ретьеы блоках ВыхОдят нз строя хотя бы по одной лампе.

9.6. В электропоезд, состоящий из шесп1 вагонов, озлится ш1епздцш'ь человек. причем выбор каждым пассажиром вагона рзвновоэ51озген, Определить вероятность того, гго: з) в кюкдый вагон вопло по два человека; б) в один вагон никто не вошел, в другой — вошел один человек, в два вагона—

по два человека, з в оса!!в!!и!еся два вагона согггвшспгшшо три п чсгыре человека

9,7, Урна содерркит У белых, гл юрпых п л краси» шаров, Производи ! ся ', + лг, —,'- л, и шлечеш!и шаров;и гэдиоъ1у с яогв!гашением кзвгдОГО извлсчг'ППОГО П1з)рз. Оп!' ' д. шнгь всрояы!ос ь гого, иго буъ-:г пзв !е тлю а) сначзгп1,11 белытн э!1!си т, 1срных и. н;ПСонец. л, красных шаров, б) !1 белых, т, 1е~пигх н л, красных и!аров, причем вс шары о!и!ого иве!а появлаогся по.1р;ш, ио 1юследоваге ш нос!1, пьс1оп чо;кег бы!к тобой; в) /1 белых, т, ч рных и г, крзсш1х шаров и л!обои последо55атсг!Ыюсгп

98. Опрсдели1ь всрояпюсгь !Ого, ч1о прп л б!'Оса!шик

герц появиася ш югпос число р;з

9,9. 1!З55 рашюсплю5ых п1ю!Папика шрзют в изахьшаы до !эх пор, пока о:пш из пих пе выш раег па две парте больше, шм др!ПО!0 Ки ова всрогппость, шо бугшг сыгппю 2л рсгбль!зтпвпых пзргнй?

9.10. Лвое и ршот ло тех пор, пока один из ш1х и' выиграв! Зсе дшшгп у другого. Определить вероятность того, что при эгон будет сыграно ровно л партий, если все с!авкп одинаковы, каждый игрок в начале шры имеет по три ставки, а вероятность выигрыша в любой партии для каждого из игроков равна половине

9.11. Ввз игрока продолжают игру до полного рззореипя одного из нпх. Капитал первого игрока равен л рублей, второго — т рублей. Вероятности выигрыгца каждой партии для эгпх игроков равны соогветсш!енно р и 5? (у †' 1! = — 1) В ка!кдой портил выигрыш одного игрока (проигр1пц дру гого) рзвеп одному рублю. Определить вероягноп и рззоре- НИЯ ДЛЯ КШКДОГО ИЭ !!СРОКОВ

9.12. В шахмиы игрзюг л+ 1 равносилюпгх игроков, прп шм каждый по очереди играет с победителем. Игра г1родолжа*тся ло тех пор, пока один из игроков пе вьшгрзсг подряд у всех и противников. Какова верояп!остап !го прп агом бу;пг сыграно ровно т результативных партий !шшьн не учи ывшогся)?

9.1вй !51зтг мезкду двумя равпоспльнымп пшхмагистамн происходит пз слсдгнощпх условиях

1) у штышпогся только резургьтзтив!5ь!с партии;

2) победивцпчм считается избравший шесгь очков, если его протпв1шк набрал не более четырех очков;

3 Б. Г. Вилодии и др.

Распознанный текст из изображения:

полшломнлльнов нлспиидилгнив

рц! !

слюллглныи совытня

л

!г!

1 — Ц (йдг — Рьи)

Д (ль+7 !а) — и"-'

з='!

и )гя(ц)= =

йг(гг) =

3) если у одного шесть, а у другого пять выигранных пзртий, то игра продолжается до тех пор, пока разрыв не составит два очка,

Определить вероятность того, что результативных партий придется играть: а) пе более десяти; б) ровно л.

9.14яд Вероятность появлсгшя события в каждом из л независимых опьпов одинакова в равна р, Доказать, что производящей фушгцией для вероятностей появления событил! больше й раз является функция

Д(л) ='",+'а'.

1 — и

9.15з. Вероятность появления события в й-м опыте равна рь(9=1, 2, ..., л). Докзззтгь что производящими функциями для верошпостей появления события соответственно больше к раа в пе больше А рзз прн и независимых опытах являются <Ьункцлш

9,16. Два стрелка проливодят по л выстрелов, причем каждый стреляет по своей мишени. Определить вероятность того, шо у них будет по одинаковому числу попаданий„ если вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна половине.

9.17. В кюкдом 'иа двух одинаковых приборов — левом и прзвом — имеется по две лампы. После 100 чзсов работы только в одном приборе с вероятностью 1/4 перегорает одна лампа и с вероятностью 1г'16 — обе лзмпы. Определить вероятность того, что в л пзрах таких приборов в левых приборах пере~ориг по крайней мере на ьч(т -- 2л) ламп больше, чем в правых, Рассчитать эту вероятгюсть для случая, когда я=лг=3.

9.18. Матч на звание чемпнока мира по стоклето шым шгцпкам состолш нз двадцалп партий. Определнль вероятность лого, что матч окон ются с результатом 12:8, если, вероятности выигрыша лкЖсй пзртни для каждого из игрсжов равны 0,2.

9.19. Для победы в матче на звание чемшюиа мира по шахматам претенденту необходимо набрать не менее 12','. очков ив 24 возможных, Прн нв !ейном исходе (12: 12)

звание чемпиона мира сохрюиется зз чемпионом. Встреча!отса два равносильных противника, у которых вероятности

выигрыша каждой партии в два раза меньше вероятности

ничейного исхода. Определит!и а) вероятность того, по чемпионом мирз осты!ется прежний чемпион, и вероятносль

того, что чемпионом мира станет претендент; б) вероятность

того, что в матче будет сьп.рапп двадцать партий

9.20. Определить вероягпосль того, что прп бросании

а игральных костей (кубиков) сумма очков па верхних гранях

будет а) равна заданному числу т, б) не больше т.

Найлн эти вероятносцл при в=10, т =20,

9.21. Определить вероятность получения билета, у которого с)мг!а цифр номера рвана 21, если номер билета раввовозмольен от 0 до 999999,

9.22. Каждая нз л величин Хг, Хь ..., Х„с одинаковой вероятностью может принимать любое целое пололкигельпое значение от 1 до лк Нзйти вероятность того,

!то сумма Х, + Ха †'- ... + Х„ будет а) равна ззданному

пылу гл7 (лггг)7лг=--гг); б) не меньше заданного числа 7ч'.

9.23. Два стрелка производят по лри выстрела калкдый

в свою шлшень. Один стрелок при каждом выстреле с одинаковой вероялностью выбивает лгобое количество очков

от 7 до 10, а для другого вероятности выоить 7 и 10 очков

равны 1,'8, а вероятности выбить 8 и 9 очков равны Зг'8,

Найти верояпюсть того, что; а) первый стрелок выбьет

26 о!ков; б) влорой стрела( выбьет 26 очков; в) оба стрелка

выбью~ олпнзковое количество очков

9.24. Вросаюг две монеты, Определить вероятность того,

, '.я:

что равное колгшесгво героов будет прн л-м бросании монет

(не рю!ьше)

9.25. Определи~ь вероятпошь пеоглходнмосп! повторного

голосовшнш прп выборе 7 человек, если голосу!от л человек;

вероя!носль быль вычеркнутым для калкдого из /г кандида!он

одинакова и равна р, а для выбора капдпдага необходимо

полу ппь большинство голосов. Повторное го:юсование производи!га в том случае, если будет равное !пело ~олосов

у !-го и (1+ 1)-го кандидатов (по числу полученных го!гого!!).

9.26, Две равносильные волейбольные комзнды пгршог

одну партшо. Игра продолжзется до тех пор, пока одна

команда пе будет иметь по крайней мере па два о !ка

болшпе, чем другая, причем наиыепшцее необходимое число

3'

Распознанный текст из изображения:

ГЛа<БА Л

Осно впь<е <1)орь<улы

»(

Габлица 2

хл

х< х» х»

Р< ~' Р< Р»

Р»

»'

!»1

68 слкчлпныв совьжня !Гл <

очков раню 1б. Определи;ь вероян<ос<и: а) Р<, п Яа выигрыша первон (подзю<цсй первый мяч) и вгорон к<ьчанд со счетом !5:!г (/»=(1, 1, ..., 13); б) Р< и О< выпгрьнпа дги обеих комзнд, когда провгравщая команда имеет не более !3 о п<ов; в) Рь и <уа выпгрып<а со с югом (!6 — '- 4);(!4-,— ь<) (!»=б, 1, ...); г) Рн н О<, вы<и рыща, когда каждая команда потеряла не менее 14 очков; д) Р н О вин<рыща первой н вчорой команд.

9.27"', 1)езавг<сиь<ые 'пспыт;щия проводя гся до тех пор, тока не будет серии из ги появ.<епнй собы <пи А. ОпрелеЛпгь веро.пность того, что для этого придется пронес<и и испытаний, если вероятность появления соби<на А прп кжклом яспыганип раина Р. 1)з!г<п зту вероятность прн и= — 2, д — б

2 10. Ряд, многоугольник и функции распределении

дискретной случ»чйной велвчнпь<

Случаиная величина называется дискретной, если ее

частные (возможные) значения можно пронумеровать.

г(<<скретпая случайная величина Л' моя<ет бь<ть задана

' рядом распределения или функцией распределения (инте-

гральным законом распределения),

рядом распределения называется совокупность всех воз-

мокных значении х, н соответствующих нм вероятное<ел

Р<=Р(Х=х<) Ряд распределения может бьыь задан в виде

таблнпы (тзбл. 2) или ф»орму«ои,

ВеРоз<ности Рг Удовле<воРаот Услощпо

и

~х', Р;=1„

<

где число возможных зпзчений л может бьп.ь конечным плп

!

бесконечным.

Графическое пзобрзженпе ряда распределения называется

. многоугольником распределения. Для его построения

Распознанный текст из изображения:

7!

70

!гл и

4 !О!

СЛУЧЛЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Р (Х = /г) =

1аа

/а!

и

а!'

'б

случайная величина значенйи х. Функ-

Таза!!да 3

2 3

О

х!

Р(х)= Х рв

0,070 0,007 0 0

0,340

0,583

аа

Возможные значения случайной величины (х!) опгладьшаюгся по осн абсцисс, а ьеролтности р; — по осп ординат; точки А! с координатами (хП р;) соединяются ломапыъи лнннямн (рис. О).

Функпней рзспределения (интегральным законом рзспределення) случайной величины Х называется функшая Р (х),

хг тг хб

Рис. 9.

равная верояпюшп Р(Х< х) того, что будет меньше произвольно выбранного гия Р(х) вычисляется по формуле

где суммирование Ведетсл по всем знзчепиям /, для котоРых ха.С х.

Решение типовых примеров

П р и и е р 10,1. Из партии, содержашей 100 изделий, среди которых пмеетсл 10 дефектных, выбраны случайным обрззом пять вздслин для проверки Вх качества. Посгроигь ряд распределеиай сааучанного числа Х дефектных паде!пай,

сода.ржав!Ехся В Выборке.

Р е ш е и и е. Так как в выборке число дефектных иаделни может'быть любым пелым и!слом в пределах ог 0 до о Включи!ельне, то возможные знзчения х! случайной величины Х рины:

х! — — О, хя= 1, ха= 2 ха= 3 ха=я ха=0.

ДИСКРБ'П!ЫЕ СЛУЧАННЫБ ВЕЛнаннгЫ

Вероятность Р(Х=/г) того, по в выборке ока!кетов

' ровно /» (/5=0, 1, 2, 3, 4, б) дефектных изделнй, равна

В результате расчетов по данник формуле с точностшо

до 0,001 получим

д5=Р(Х=О)= — 0383 Р,=Р(у=1)=0340

иа — — Р (Х = 2) = 0070,

р =Р(Х=З)=0007, Р„=Р(Х=4)=0,

Ра = Р (Х = б) = О,

г

Используя для проверки равенство ~ра=1, убеждаемся,

л=!

по расчеты и округление произведены правильно (см. табл. 3).

диалогично рсшшотся задачи 10.13 и 10,14

П р п и е р 10,2, Изделия испытываются прн перегрузошых ревгпмах. Вероятности для каждого изделия прог!5н

4

испытание равны -= и независимы. Испытания заканчпваюгси после первого же изделия, не и!державшего пспьпаии, Вывестп формулу для ряда распределения числа испыгшии.

Р е ш е н и е, Испытания закааииваюгся на /г-а! изделии (й= 1, 2, 3, ...), если первые / — 1 наделив пропдуг 15сп55ганнл, а /г-е изделие не выдержит испытания.

Еслп Х вЂ” с.тучайное число исгаытанпи, то

4!а-!

Р(Х=/а) =-.— ,'=) (/5 — — 1, 2, 3, ...).

Распознанный текст из изображения:

случапныв ввлнчнны

!Гл ц

и применяя формулу сложения вероятностеи, получим

Р(х) = 1 — Р НА!+ г!4)+ (Аг+ 44)+(А4+ АЗ)] =

=1 — Р (А!+АЗ) — Р (44+ 44) — Р (44+- АЗ)+

+ Р [(А4+ Аз)(АЗ+Аз)]+ Р [(Аг+ Аз)(АЗ+. АЗ)] +

+ Р НА!+ Аз)(АЗ+ АЗ)] — Р [(А1+ Аз)(АЗ+ Аз) (АЗ+ А4)]

где все вероятности определяются при условна попадания в прибор п(гг)1) частпц. Так каггР!-[ — Рз+Рз+Р4=1 и прн

сУ / Р,у 4 Х Х 7

Рис. 11.

каждом попадании юстины в пригюр обязательно дает отказ

один н только одгш иа блоков, то

Р (А! ! Аз) — (Рз Г Р4) Р (А! ' г,!) (Рз Г Р4)

Р (А ! + А4) =- (Рз + Рз)з;

Р [(А! +- г?з) (А, + Аз?] = Р:,', Р [(г1~ -' — Аз) (У1! + А!)] =Р"„;

Р [(А! + Аз) (г1! -!; АЗ?] =Рл;

Р [(А -1-,4!) (А --,4 )(А — АЗ)] — О

Таким образом, уштывая, !то РЗ=Рз=Р,=0,2, получим

( ~Ы,' 1! а!г!

Г (х) =- 1 + ЗР"з — 3 (2РЗ)" = 1 — ЗР "] (2 з — 1) =- 1 — 3

1О!'З4

а 4а! днскгетныв случлнныв вели'пп!ы 75

где под [х] понимается наибольшее целое число„меньшее х, например [б 9]=5, [5]=4. При и-.= 1 Р(х)=0

Таким образом. график функции распределения вероятностей для нескольких папшьных значений х имеет внд,

нр лстаалшнге'и на рис. 11.

Аналогично аешаю4ся гпшачи 10,6 и 10,1!.

Задачи

10.1. Построить ряд распределения и функцгпа распре-

деления слу:!Зйпога числа !юнаданип 44гшаи в кар!вину п) и

одном броске, если вероя!ность попадания мячом в корвину

прп одном броске Р=О,З

10.2. Опыт состоит ив.цгех независимых бросании монеты,

при кюкдам из которых герб выпадает с вероятностью

Р=О,5, Для случайного числа появлений герба построить

а) ряд распределения; б) многоугольник распределения;

н) функцию распределения.

10.3. Прапаводя!ся последовательные независимые нсиы-

.тания пяти приборов на надегкпость. Каиг!ты!1 следующий при-

бор испьпывается только в том слуша, если предыдущий

акааался надежным. Построить ряд распределения случайно-

го числа испь4тюшых приборов, если вероятность выдерагать

нспытанш! для каждого пв нпх равна 0,9,

10.4. Неаависнмые альпы продолжаются до первого по-

ложительного исхода, после че1о опи прекращаются. Найти

для случайного числа опытов: а) ряд распределения; б) мно-

гоугольник распределения; в) наивероятнейшее число опытов,

,если вероянюсть положительного исхода прп каждом опыте

равна 0,5.

10.5. Два баскетболиста поочередно набрасывают мяч

в корзину да тех пор, пока один иа них не попадет. Построить

ряд распределении случайного шсла бросков, праияводпмых

' кагкдым пз баскетболистов, если всраян!ость попадания для

первого равна 0,4, а для второго О б.

10.0. 51н!г!ень состоит пз круга гкбз 1 и дг4ух концентриче-

с!шх колен с нсчерами 2 и 3, Попадание в круг ."ч) 1 дает 10

о!кон, в кольцо М 2 дает 5 очков, н кольцо )чь 3 дает

( — 1) очко, Вероятное!и попадания н круг ,!ч9 1 н кольца

'М 2 и )чу 3 саотвегшнешю равны 0,5; 0,3; 0,2. Построить

Распознанный текст из изображения:

СЛУ'1АИИЫЕ БЕЛИЧИНЫ

!ГЛ 1!

ряд распреде.ленни лля случайной суммы выбитых очков а результате трех попаданий„

10.7. Сигналы ~а аключепке приборов подаются через каждые 5 сек. Время от а!омента переда !и сипщла до вклю1еннч прибора 16 сск. Пола !з сш палов прекрапсается сразу же!есле го! о, как кклк! пжся хотя бы один прибор. 1!анти ряд распределения Лля случзщюго числа поданных сигналов, если вероятность зключеш*,я лля каждого прибора равна 11'2.

10.8. 'В!естся и зато!опоя для одпон и тос! же детзлг. Вероятность пзгснозлев1я годпон детали кз каждой заготовки резка сщ а! 11ан1п рял рзспределепкя ч;сслз заготозок, остав- ШИХСЯ ГОГЛЕ ПЗГО1ОЗЛЕШ1Я ПЕРвой гошюк летали, б) Посгропп ряд распредслапея для случзшю1о чксла использованных ваго. озок.

10.9. Произаодщся пспытзнкя л наделив на !Ыдежпоссь. прк !ем зерояпсость аыдержщь испытания лля каждого наделяя равна р. Построить ряд рзспредсления слу явного чнс1Ы изделий, выдержавших испыта!шя.

10.10. Прибор, состоящий из блоков а, Ь, н Ьм дает отказ в слу.ще осуществления события С= А+В,Вь где Л— отказ блокз а, В, и Вз — отказы блоков Ь, и Ь, соотаетстяеино. Отказы происходят при попадании з блок хотя бы одной космическоп ~!истицы. Построить ряд рзспределения числа случаппых частиц, попздание которых а прибор приводит к его отказу, если вероятности попадзния в блоки частицы, попавшей в прибор, разны Р(Л)=0,5, Р(В1)= = Р(В ) = 0,25.

10.11 з. Вероятность попадания в цель для одного выстрела ранца р. Вероятность поражения цели при ш попаданиях

Построить ряд распределения числа произведенных выстрелов ло; поражения пели.

10.12. Число проаедешсых опытов Х случзпно и мо1кет изнепягься а прелелах от О до со. Вероятность Р(Х=/е) =

лае-л

Камсдый опыг может быль успешным с верояты

носгыо р и неуспешным с вероятностью (1 — р), Построить ряд распределения чис.ча успешных опытов.

') г ~!,'-,!';-' 510

ЦЕПГЕИЫП11ЫЕ СЛУЧАПЯЫЕ алЛ11'ПП1Ы 77

10.13. Вероятность гюлученпя ге(ба прк каждом из пяти

бросаний монеты равна 0,5. Состзапгь ряд распределения

ОтНОШЕНня ЧИСЛа Х ПпяВЛЕсщп ГЕрба К ШСЛу )е ПОяадсщщ

решетки.

10Л4. 11рояззодится трп независимых опыта, а ка1кдом

из которых с рззноп яероягпостыо может быть получено

':::::," ' лсобое целое число от О ло О. Построить ряд распределения

СУММЬ! ПОЛУЧЕПКЫХ Ч!!СЕЛ.

й 11. Функции распределении

н плотность вероятности

непрерывной случайной величины

Основные формулы

!

Случзпнзя величина нааывается непрерывной, если суще'".,": ' сткует неотрицательнзя функция 2(х), удоалетнорясощая прк

л!обых х равенству

л

!

Г (х) = ~ уе(х)с(х.

Фун!с!сия,~(х) пазызается плотностью вероятносгп

Р (х(Х(х+ ах)

!

дх

Пепрерывная случзйпзя величина издается либо функцвеп

распределенкя Г(х) (интегральным законом распределения),

либо плотностью вероятности Д(х) (дифференцизльиым законом рзспределенпя).

Функция распределения В(х)= Р (Х (х), где х — произвольное действительное число, дает всроягноссь того, что

случайная величина Х ока1кется меньше х.

Фушсппя распределения В(х) имеет следующие основные

сзовстаз:

П Р(л~Х(Ь)=В(Ь) — В(л)!

2) Г'(х,) --В(ха), если хс(х1!

3) Пп! Г(х) = — 1;

л- Ч.лл

4) 1пп В(х) =О.

Распознанный текст из изображения:

78

СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛНЧИНЫ

1гл. н

5 Н! НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧЛЙНЫЕ ВЕЛ!!»Н!НЫ

Плотность верочтностн (дифферепцпалыняй закон распределения) у(х) обладает следующими основныаи свойствамн:

1) Р(х) ~ 0;

,( ) ар(х),

ллх

3) ~ 2 (х) г(х = 11

4) Р(а=Х(б)=),Г(х)11х.

Величина хр, определяемая равенством Р(хр)=р, называется квзнтнлем порядка р; квантнль х,л называют медизной. Если плотность имеет максимум, то значение х, при котором 7(х) достигает максимума, называется модой,

Понятие плотности вероя!носп! 2"(х) может быть введено и для дискретной случайной велиншы, если положить

Р(х)= ~ р»8(х — хл),

а=!

где ха — возможные значения случайной величины,

ра — соответствующие им вероятности:

р»=Р(Х=х„),

8(х) — обозначение делыа-функци!л, т. е, такой фушщии,

что

оо, прн х=О,

3 (х) =

О, при х и'= О,

оо оо

Ь(х)алх=1, ~ ли(х)о(у — х)!Ух=ли(у),

где о(х) — тобая непрерывная в точке х=у функция. Лля

8 (х) справедливо следующее аналитическое представление:

8(х)= —, ~ е!мм !гол

1 Р

— оэ

(Сыо например, И..'лл. Гельфанд и Г, Е. Шилов, ЧОбоб!це!лные функции и действия еад ннмп».)

Пример 11.1. Проекция Х радиуса-вектора случайной тош!и окружности радиуса а на диаметр имеет функцию распределеш!я (закон арксннуса)

! 1 ..к — + — агсьйп — '

0пределнть; а) вероятность того, что Х окажется в прел и!

делах промежутка ~ — — — !", б) квантиль х,ол! в) плот-

2' 2!!

ность вероятности 7(х) случайной велич!шы Х; г) моду и медиану распределения.

Решение. а) Вероятность того, что Х окаже!ся в преи и2

делах 1,— — —,1, равна

2' 21'

Р ~ — —,(Х(' --~ = Р ( —,~ — Р ~ — —,, = -- агса1п —,

и

'2

б) По условию р=0,76; решзя урзвненне

1 1 хл» вЂ” + — агса!и — ' = 0,7б, 2 я и

находим

лиг' 2

хд!! =

в) Плотность вероятности 7(х) случайной величины Х

равна:

1) для всех х, принадлежащих промежутку ( — а, и),

Д(х) = = — ( — + — 31 сьйп — ) =

аР<х) !! Г1 1 . х1 1

х глх 2 я)2 и» вЂ” х'

2) нулю для всех остальных значений зе

г) Закон арксннуса моды не имеет„так как функция

7(х) =-

ве имеет максимума,

Решение тнпозых примеров

при х)а;

прн — а(х< а;

прп х =.— и.

Распознанный текст из изображения:

$ Н!

Решая уравнение

1 1 . хве 1

(й -.О, Ое«х«" с )

~ ах'е е" агх = 1.

е

Отшода

0

1

а=

~ л'е а» ах

е

0,00!

0,027

0,729

хае Ьея1х= — „,

Ле'

е

Задачи

7(х)= — х'е" .

ке

2

СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ !гл. и

находим мелиану хел = О.

Лналогично решаются задачи 11.1 — 11.8.

Пример 11,2, Плотношь верояпюств слу1зШ;ой вел! чины равна

Требуется: а) найти козфф1пшепт а; б) найти фупкцшо распределения случайной вегшчнПЫ Л! в) вычислить верошность попзданвя случайной вели швы в интервал !О, —,П

й7'

Р е ш е н и е. з) Козффициент а опрелеляем с помошью рзвепствз

Двукратным интегрированием по частям получаем

ае

Следовательно, а=-,;- и плотность вероятности имеет вил

б) Функция распределения Е'(х) случайной величины Х

определяется по формуле

ьэ

Г(х)= 1 —,-х"е "'гтх=1 — + + е е". я

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАПНЫЕ ВЕЛИЧРП1Ы 8!

! г

в) Вероятность Р (О «Х«. -- ! попздз1пш случайной

л!

величш1ы Л' в заданный промежугок вычисляется по формуле

Р,,''О(Л - вЂ”Ч =Р,'-,'-'! =! —;,';0,030.

Аналоги п1о решаются задачи 11,9, 11,10, 11 12,

П р и м е р 1!.3. Электрош1ая аппаратура имеет три пзрзл.

лельпые дублвруюшне линни, Верою ность вь1кода из строя

кзжлой липли яа время гарантийного срока работы аппара-

туры равнз 0,1, Используя пельш-функцшо, написать выраже.

ш;е для плотности вероятности случайного числа лший, вы-

шелшкк ив строя за время гзрзпп1йпого срока, если выкол

из строя одной лпшш не зависит ог !ого, работают или

пышен! Ез с!роя дру! Ее ляшш,

РЕ !пение. Обозначим юрез Х случайное число ли!ив,

вышел!пик из строя. Случайная вели!ива Л' дискретного

типа имеет следу!однй рял распределения (тзб,г. б):

Таблица Ь

Пользуясь понятвем плотности вероятности лля дискретной случайной величины, получим

.У(х) = 0,7293(х) 1- 0,2433 (х — 1) -~-

+ 0,0273 (х —, 2) — ! — 0,0013 (х — 3).

Лцалогнчно решзется залача 11,1б,

11.1, Функция распределения рзвпомерцо распределенной

случайной величины Х имеет вид

пр «

Р(х)= х нри 0=-.:.х .=1.

1 прп х >1.

Пзйти плотность вероягности случайной величины Х,

Распознанный текст из изображения:

СЛУЧАИ!!ЫЕ ВЕЛИ21ИИЫ 1гл и

З 111 ИЕПРЕРЫВНЫВ СЛУЧАЙНЫВ ВЕЛИ'!И!1Ы

33

(.'2)

0 при ха" хз

а

2!'

22

!1.2. Дана функция распределения случайной величины

х 12

1 Г

Р(х)==. т е агг (закон нормального распределения).

)' 2г

Найти плотность веров~ности случзйной Величины Л'.

11.3. Б книге !. Крамера 131) дана функдия распределения годовых доходов лип, облагаемых нзлогом:

Определить рззмер годового доходз, который для случзйно ныбрзнного нзлогоплшельщика может быть превзойден с вероятностью О,б,

11.4. Функция распределения случайного времени безотказной работы рздиозпнзратуры имеет вид (экспоненцнзльный закон рзспределения)

! г (!) = 1 — е " (1 ) 0),

Нзйги: а) вероятнос~ь безотказной работы аппаратуры в течение времени Т, б) плотность вероятности У(Г).

11.5. Случайная величина эксцентриситета детали характеризуется функцией распределения Рэлея

х!

!2(х)=! — е 22а х'= О,

( )

Найти: а) плотность вероьиности Г"(х); б) медиану распределения; в) моду рзспределення.

11.6. Функция распределения Бейбулла

.22

)2(х) = 1 — е "' (х) 0)

в ряде случаев характеризует срок службы элемеь!тов электронной аппзратуры.

Найти: з) плошюсть вероятности Р(х); б) квантиль распределения порядка р; в) моду распределения.

11.7. Случайное Время простоя радиоэлектронной аппаратуры в ряде слу шев онест плотность веровтности

гтях — Мхыч

у(х)= --:е """ (х ~0),

ха 1'24

где М =1й е = 0,4343... (логарифмнчешси нормзльный закон рзспределення).

1.1зй!и: з) моду рзспределения при х,= 1 и а =К бМ; б) функцию распределения.

11.8. Дэна функция распределения случайной величины Х; )2(х)=с г! гьшс(3 — ( — со(х +ос) (закон Коши).

а

Определить: а) постоянные с и Ь; б) плотность вероятности; в) Р(а Х(~).

11.9. Кзково должно быть а, чтобы !'(х)=ае — ' являлось плотностью вероятности случайной величины Х, изменяющейся н бешсонечных пределзхР

11.10. Прн каком значении а фушсцня

является плотностью вероятности случайной величины ХР

Найти: з) функшпо распределения случайной величины Х;

б) вероятность попадания случзйной величины в интервал ( — 1, 1).

11.11. Шкала секундомера имеет цену делений 0,2 сек.

Какова вероятность сделать по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой более 0,05 сек,, если отсчет делается с точнопью до целого деления с округлением в ближайшую сторон> Р

11.12. Лзимутальпый лимб нмеет цену делешьй 12. Какова

вероятность при считывании азимугального угьш сделать

... ошвбку в пределах 1-10', если отсчет округляется до ближайшего пелота числа градусов?

11,13. Известно, что вероягпосгь выхода из строя элек.. ' тронной лзмпы в течение Ьх дней, с точностью до величины

порядка малости более высокого чем бх, равна раях независимо ог величины х дней, которые лампи прорзоотзлз до интервала времени бх. Кзковз верояг:есть выхода нч строя лампы з 1ЕчсипЕ ! ДЫЕйа

11.14"ч Между двумя пунктамн, отстоящими один ог другого на расстоянии Ь курсирует автобус с остановкзми но требовзишо в любом месте. Достоверно известно, что в пределзх этого перегона садится, а затем выходит из автобуса некий пзссажнр, Плотность вероятпогтн паса:ьки сто В точке х

й

(О =, х-= ~) пропорционзльнз х(ь — х)', а нло!ность

Распознанный текст из изображения:

4 лзл

ИЛ,11

слг ыпныв вгличины

ХгиаК!ГЯНС!НКН ДИСКГчлтНЫХ ВГЛИЧИП

вероятности выхода е! о я:очке уч прн условгнь что посадку он совершал в .!лике х (х-.--у:=-=. 5), пропорнкопальна (у — х)", г! =.:0

1)ай!п вероялность того,:лто: з) пзссзжир сядет в аплобус ранее пункта г; 5) пассажир, севший в автобус в точке х, выйдет после пу !кла:.

11А5. Погас:!опзтельн!ш уско;леиньш ясны!зния п)гнбороя лш надежность проводя!ся до первого олгаза, после чего онц прекращаются. Вольв!ась понятием плотности вероятиогчи для дпскретноИ случайной вели шны, нИти пло!ность вероятности случайного числа испытанных приборов, ещш нероялпость отказа для всех приборов одна и та же и равна 0,5.

В 12. Числовые характеристики дискретных

случайных величин

Основные формулы

В качестве числовых характеристик дискретных случайных

величин чзще всего используются моменты этих величин.

!1ачальпый ть и центральный р„моменты /:-го порядка

дискретной случзйпой величины определяются формулами

гла — — М (Хь]=~д , 'харя

г =- !

ргг — М ((Х вЂ” У)"] = ~к~~ (х; — У)~ Рп

! — — -!

где М(Х"] — математическое ожпданне Х, х; — возможные

значепяя случайпои величины Х, р; — соответствугощяе пи

вероятности, а х — математическое огкиданяе Х. ! анни

образом, начальный момент первого порядка определяется

формулой

х = М ]'Х] = — ~~ хгр„

л=!

щорой цсгиральный момент, или дисперсия, — формулой

() ] Х] = М ((Х вЂ” х)'] = У', (х! — х)" р!

л=!

пли формулой

() (Х] М ! нг] (М ( г(])г

Среднее квадратическое отклонение я определяется соотноп шпиги

— 'рг (ч (Х]

рели верон!ности разлп шых значений случзйной вели!пни Х зависят ог события Ла, то услогпое матеиаплческое ожпданплз слу !айной вел!шины Х прн условии осуп!есгвления Ал с(!.ь

М (Х ~ Л„] = — К хгР (Х=х; ! А,).

г=!

Вот! ')а (5 =--1, 2,,, т) образщог полную группу несовместных гобыгий, т, е, ~~ Р(А!)=1, то полное ьштематп !еское

г=. !

ожидание Х связащ! с условпын магенагнческпм ожиданием формулой

ггг

М (Х] = М ! М (Х ! Ал]) = ~к ', М (Х ] Аа] Р (А,).

Во всех приведенных выше формулзх число слагаемых

. в суммах может быть бесконечным; в этом случзе для существования соответствующего матема~ического ожидания ряд должен сходиться абсолютно.

ре!пение тяповых примеров

П р и и е р 12.1. Партия, пасчгиываюлпая 100 изделий, ! "; содержит 10 дефектных. Из всей пзртнн слулайпым образом

отбиракгтся с целью проверки качества 5 изделий (слу1!айная выборка). Найти математическое ожиданке чис.ла дефектшах яззелий, содержащихся в случайной выборке

Р е ш е и я е („лучаиное '!нсло дефек!ных изделии, соде)гжащяхся в выборке, может иметь следующие значения

хл=О, ха=1; ха=, хл=З, ха=4, х! — — 5.

Вероятное!н рл=Р(Х=х;) того, что Х принимает данное

внзченяе хп равны (см. пример 10,1)

С,';, лСа

(! = 1, 2,,), 4, !г, л!).

!и

Распознанный текст из изображения:

».'1 1 со» ХАРлктеиистики лисгсеетных величии 87

1ГЛ, П

СЛУН»АИьсЫЕ ЗСЛИЧПНЫ

Искомое мзтемзтическое ожилание

о о

С -,, 'С,"„-' ! "Ь ' .

!=-"

Так как ах!С(„С'„-! есть козффнлвент ири п' в произведении

1=О

(1+п)'о(1+п)о', то ~~!С('„(ч1„— ! есть козффвцнепт при и'

!=о

в выражесши

см

-: — »(1 + !и) (1 + и) ) )! ! — 16п (1 — 1- л) ',

Следовательно,

о

! ОС!1

!'=о

Аналогично решаются задачи 12.1 и 12.2.

П р и и е р 12!2, Дискретная случаапая величина Х аллана рядом распределения ро —— Р(Х=!), !о= », 2, 3, ..., и.. Быразить математзческое ожидание случайной .велачины Х через производяшую фупкцшо

а(п) = ~, рано.

о=!

Р е ш е н и е. По определенвю математического оокилзния случайной величины

и

1Ь»!Х)= ~ Диво.

л=-!

С другой стороны, значение производной от провзводяшей функции, вышслеиное прн п=!, равно

л л

6'(1)= — ~~ = ~~ »сдало ' = ~~ »сло.

с!и

о=!

л-1

Слсдовзтельпо,

М »Х] = Сс' (1),

Аналогично решюотся залаю 12.3 — 12.6 и 12.24 — 12,26.

Пря мер 12.3. Опыт моокет быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью 1 — р.

Условная вероятность достижения намеченного результата после сл успешных опытов Р(т) равна

1»лс

Р (т) = 1 — ( 1 — — ) (со ) 1)

и

Найти мааематическое ожидюие числа независимых опытов, необходимых для достижения наме киного результата.

Р е ш е н и е. Обозначим Р„(А) вероятность достижения намеченного результата при и опытах. Если Р„м — веросппосгь иметь ровно т успешных из обшсго числа и опьпов, , то согласно формуле полной вероятности

л

Рл(Л)= ~Х~ Р„мР(т).

м=о

Так как опыты независимы и верояи!осп успешного

исхода в каокдом из них равна р, то

Р .= С",,,'р: (1 — !)"--. Подставляя в формулу для Рл(А) значшсия Р„„н Р(т),

получим

л

Р„(Л)= гс' С„'"р (1 — р)л '"(» — ((1 — — ~.~

1Л=О

о'"

и!

Для ласти!кения налоечепного результата потребуется ровно и опытов, если при п-м опыте он будет достипг,т. Вероятность последнего собьггю! равна Рл(Л) — Р„! (Л). Следовательно, матемаы!ческое ожидание случайного числа опытов, необходимых для достижениа намеченного результата,

~(Х)=,'Р (Р.(Л) — Р.,(А))=

л=!

=-'' 4'-='à — (' — 5'~='=~ "('--':-) '

л=! л=!

Распознанный текст из изображения:

Г:.

4 1П хлглктсгистики дисхгитных величин 01

Слхг!АПНЫИ ВСЛИЧИНЫ

!гл. и

Таблииа б

По пригедепным данным выбрать лучший прибор, сели лучпши явлвется тот, который в среднем вмеет меньппн! уровень помех.

Р е ш е н и е. Обозна шм через Х случайный уровень помех. Средний уровень помех для прибора А

М,! !Х1=0,20 ° 1+0,06 ° 2+0,04 ° 3=0,44 балла. Для прибора В

Мв [Х) = 0,05 ° 1+ 0,04 ° 2+ 0,10 3 = 0,44 балла, Итак, по среднему баллу аба првбора равноценны. В качестве дополнительного критерия сравнения испольвугм среднее квадратическое отклонение уровня помех: в 1 — г ))л !Х1 — )'гмл!ХЧ ( гл)

= )' 0,80 — 0,44в 0,78 балла, вв = 1~ глд !Х) = !~Ма !Х ) — !хл1)

= ) 1,!2 — 01,441 0,95 балла.

Таким образом, прибор А дает более устойчивые показания относительно средних, и, следовательно, он лучше прибора Ей Валави

12.1. Определить математическое ожядапие числа приборов, давпшх отказ аа время испытаний па надежпостчь если испытанию подвергается один прибор, а вероятность его огкааа

12.2. Считая, что вес тела с одинаковой верояююстью ма1кет быть равен:побому палому числу граммов от ! до 10, определить, при какой из трех систем разновесов: а) 1, 2„

2, 5, 10; б) 1, 2, 3, 4, 10; в) 1, 1, 2, 5, 10 — среднее число необходимых для взвешивания гирь будег наименьшим, если при взвешивании разрешается гири ставить только иа одну 1ашку, а подбор гирь при взвешивании осушес1вляется '1 ак, чтобы использовать напмепыпее вавможпое шсла горь.

12.3, Испытуемый прибор состоит па пяти элементов.

Вероятность откава для элемента с номерсм 1 равна

р, = 0,2 + О, ! (! — 1).

!

011ределпть матема1ическое о кпда1ше н дпсперсп1о числа

О:КаэааюяХ ЭЛЕМЕитаГ„ЕСЛИ ОтКаВЫ ЭЛЕМЕНТОВ Неэаингнмгсь

124. Пронвводягся независимые исиыганпя 1рех приборов. Вероятность очкаая каждого прибора соответственно Ра~на Рь Рз Я Рз Локазать, что ма1ешыишское ожидание шсла отказавших приборов равно р,+р1д— п1

12.5. Определить математическое ожидание числа приборов, отказавпшх в работе ва время пспыташ1й, если вероятность о1каза для всех приборов одна и та же и равна р„ а чвсло испытуемых приборов л.

12.6. В лотерее имеется т, выигрышей стоимостью !гь

тя — стояъ1остью /гь ..., ш, — стоямостью /гв. Всего билетов Лб Каку1о стопмошь балета следует устапови1ь, 1гобы матемаж1ческое ожидание выигрыша на один билет равнялась

!

половине его стоимости?

12.7. Первый игрок бросает 3, а второй 2 оди1шковых

монеты. Выигрывает в получает все 5 монет тог, у которого выпадает болыпее число гербов. В случае ничьей 1ира повторяется до палучешш определенного результата. Каково математическое ожиданяе выигрыша для каждого нз игракаву

12.8. '!'ри вгрока А, Еь С игра1от на следующих услаанях: в каждая партии участвуют двое; проигравпп1й уступает место третьему; первую партию играют А с 11. Вероятность выигрыша в кюкдой партии для каждого ш рока равна '/ь Игра продолжается до тех пор, пока алии ив игроков не выиграет подряд 2 раза, П1ш эгон оп получает тч рублей. Каково математическое ожидание вьнгрьнва для каждого нгрока: а) после первой партии при условии, чта А ее выю рал; б) в начале пгрыУ

12.9. '!'ри игрока А, Е), С и~реют па следу1ошпх усгювнях: в каждой партии участвуюг двое; проигравший уступает место 1регьсму; гервую партию 1юрают А с Ь'.

Распознанный текст из изображения:

случайные Рел!и!нны

!гл !!

Верояпюсть выигрыша в каждой пар!ни для каждого игрока равна !/ь Игра продолзкается до !ех пор, пока один из ггроков не выиграет подряд 2 рава', г!рн этом он получает сумму выигрыша, равную числу всех сыграшгых паржш, сг,

,:.аково мзгематпчсское ожиданпе выигрышз для игроков Л п С' до и!шала игрыУ

12.гО. Лвтомзгпческая линия при пормалы!ои !щс!рой;е мож г выпускагь брщ;овапное изделие с всроя!пос!ью Р. ЛШ ш зл; дка лп! вн про!!вводится после первого же брзковюшгжо пз гелия, Паг1ги среднее число всех изделии, нз-отовлщиш!х между двумя перси ладками линни.

12.11. Бсрояпп!с:ь приема позывного сшшзла одноп радпощзшгш! другов радпостзнш!ей равна 0,2 прн кюкдой посылке. Позывные подаются каждые б сек, до тех пор, пока пе буде-г полу !еп огвегпыг! сипи.л, прпшмаемыв достоиерщ!. Общее время прохождения позывного п ответного сигнзлоя равно !6 сек. Нздгн среднее число подагщемых позышпях сип!алов до установления двустороннен связи.

12.12. Нанти математическое оз<идапие и днсперсшо числа изделий. изготовляемых па поточной линли прп нормальной пзстроике за период между двумя переиаладками, если прп нормальноб настроИке вероятность изготовления бракованного изделги равна Р, а перепаладка производятся после изготовления И-го бракованного изделия.

12.13. Условная вероятность отказз прибора, вычисленная в предположении о нерабогоспособности т элементов, имеет вид:

а) длв прибора А

Р(иг)=1 — е" (а >О„и=О, 1, 2, ...);

б) для прибора В

0 при си=О,

Р (си) =

'( 1 — е """ '! при т=1, 2, 3,

Нанти математическое ожидание числа неработоспособных элементов, приводящих к о!казам приборов Л и В.

12.14. Блокпровочпая схема, состоящая из реле А, включенного последовательно с двумя реле В и С, соединенными параллельно, должна обеспечи~ь ззмыкзние цепи между клеммами 1 и В (рис. 12). Вследствие неиспрзнности реле А

з !2! хлгяктсгнст!Псп дне!сеет !ых веси!'шн ив

может не срабогать с всршггносгью О,!8, а реле В и С— с одинаковымн вг-роятпостями, рщ!ньп!н 0,22. Определи!ь ,к среднее чнсгю включений

схемы до первого оз!каза

В

блокировочноп схемы

ь и с

à — Π— 1

12Л5. Прибор имеет зле- 7 ~ — у

мсн:ы Л, В и С, уязвимь!е !.

космическому излучению и

;"!::: дающие отказ прп попадаю!и

Рпс !2

в ппх хо!я бы одпоИ часгипы, Отказ прибора ияс!упает

в случае о!каза элемента Л плп совместного о!каза элементов В и С. Определить математическое ожидание числа чзсгиц, по;:,:.;.. пздзпие которых в прибор приводит к его отказу, если условные вероятности попадзния в элементы А, В и С частицы, уже попавшен в прибор, соответсгвепно рзвны 0,1; 0,2; 0,2.

12.16. Прибор имеет и элементов типа А и т элемшпов

типа В. В случае отказа элементов типа А они не заменяю.гся, а работа прибора продолжается до тех пор, пока в схеме ,':-":.: есть хотя бы один исправный элемент типа Л. Отказы элементов типа В устраняются так, что число исправных элементов типа В в схеме остается постоянным. Отказ любого нз исправных элементов прибора равновозмозкен, Определггп среднее число отказов элементов, приводящих к полнону отказу прибора, т. е. к выходу из строя всех и элемещов типа А.

12.17. Локазать, что дисперсия числа появлении собып!я

при однократном производстве опыта не превосходит 1,'4,

пю == О

12.18. Определить условия, для которых трегии пентрзльпып момент биномнального распределения равен пулю

12.19. Функция рзспределенич случзннои вели и!ны Х

зздзна рзвенсгвом

!г!

В(х)= ~ С Р (! Р)

! ''.*.

где Гх) — нанболщпее целое число, меньп!ее зп

г(оказать, что если 1ппир=а, то Ищ О(Х)=а,

ь и

12.20. Из урны, содержщпеИ весьма бо,ьп!ое шсло белых н черных шаров, смеша!шых в равноИ пропорпип, вы'и!мщотся последова!слыло 10 шаров. Шары, вынутые до