Книга: Расчет напряженно-деформированного состояния круговых колец

Распознанный текст из изображения:

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана

Клюев Ю. И.

РАСЧЕ 1'

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

КРУГОВЫХ КОЛЕЦ

Учебное пособие для выполнения домашних заданий, курсовых

проектов по курсам «Строительная механика», «Прочность конструкций

аэрокосмических систем».

2ОО2 г

Распознанный текст из изображения:

и — толщина кольца,

Ь вЂ” ширина кольца ~=1),

ж — радиальное перемещение кольца (постоянное по толщине),

и - тангенциальное перемещение на срединной линии,

и - тангенциальное перемещение произвольной точки кольца.

Допущение 1: задача решается в рамках гипотезы Кирхгофа-Лява

(Бернулли) — прямая неизменяемая нормаль.

Допущение 2: Внешние нагрузки, распределенные и сосредоточенные,

приложены к срединной линии кольца.

~ Обозначения и основные допущения приняты такими же, как и в ~1), Все

формулы ~4; ...) взяты из ~ Ц.

Распознанный текст из изображения:

3

2. равнении равновесии

, +Я=Я =+д

Им

— = ДЯ+Ят.

И~О

Из (4,2) следует

— + — =Я' =+д +Я вЂ”,+т,

3. Деформации

1 .й~

~ = — ж+ — -'удлинение срединной линии кольца;

Р Фр

(4.2)

р - угол поворота касательной;

д - угол поворота сечения кольца;

1) На направлении Л~+ЫЛ~

~Ы

Д- — = Яду;

~ф)

2) На направлении Д+~ф

— +Л =Яд,'

сф

(4.1)

ф~Р

3) Моменты относительно т. О

— ДЛ =Ят.

Иф

Исключая из первых двух уравнений нормальную силу М, приходим к

системе двух уравнений

Распознанный текст из изображения:

Рис.3

Коэффициенты А, В„С определяют из условий отсутствия смещения

кольца как твердого тела, т. е.:

~" к =о; ~ к =о; '> м,=о. (2)

На основании (2) имеем

7р !

) [д ь|пр~-(д„+д. „)сарр]Я!р+~ напр,;-!!,сокр) =О!

о !=.!

ор I

) [д, аоя р — (д„+ д„„)апр~(!ыр+ ~ф совр — !~ я!пр ) = О;

о ~=!

) [(!!,, + д, ) (! + т)Ыр + ~(ЛЯ + М) = О.

о ~=!

Из (3) определяются А, В, С

=Я„+Д (4)

В дальнейшем верхний индекс,'~ опустим и под цр будем понимагь

суммарную тангенциальную нагрузку: заданную и уравновешивающую.

(3)

б. Определение внутренних силовых факторов

Способ №1

Нагруженное в своей пло~кости К~льц~ в общ~~ С~у~ае три раза статически иеОпределимо. Для раскрытия статическОй неопределимости

ИОСПОЛЬЗуЕМСИ МЕТОДОМ СИЛ. МЫСЛЕННО раЗрЕжЕМ КОЛЬЦО В СЕЧЕНИН е!=О И.

приложим неизвестные силовые факторы Х„Х,, Х,,

Распознанный текст из изображения:

Вычислим изгибающие моменты от единичных силовых факторов,

соответствующие Х,,Х.„Х,.

(4.20)

М, — 1, М, — 1 Я мир, М, — 1 Р (1-соьгд). (4.18)

Обозначим через М,, изгибаюц1ий момент в эквивалентной системе от

заданных внешних нагрузок и, пренебрегая деформациями растяжения и

сдвига (доп. 1, 3), получим систему канонических уравнений

4~Х~+4~Х2+4~ з+4~

(4.19)

31 ! 32 2 33 3 3!

-" М,М, '-' М,М,

где ю„=ю„= /' ' 'ыр; а„=1 ' ~ыр.

о а

Определив из (4.19) Х,Х,,Х„находим изгибающий момент М = М(р),

действующий в сечении кольца

М =Х, +ХДйи~р+ХЯ1 — сокр)+М, . (4.21)

проверка 1~(е~

(4.22)

Нормальные и поперечные силы находятся по формулам

Ф = -Х„соя р+ Х, Йтр + Х,,-;

(4.2З)

Ц =. Х, соку+ Х, яп р+ Я.,

у,. =у,. (~р), Я. =Я,. (у) - нормальные и поперечные силы от внпиних

нагрузок в эквивалентной системе.

Распознанный текст из изображения:

7

Упрощения

1. При кососимметричной внешней нагрузке

Х, =Х, =О.

2. При симметричной внешней нагрузке

Х2 =О.

3. Для колец постоянной жесткости

М =М, +Х, +Х,к1пр+Х„сокр,

(4.30)

где

Рассмотрим вычисление М, от распределенных нагрузок

~Хо~ Х2 Х2 > 3 3

„у,у ~М,,~р ' ~'М, к1пр~р- ~М, сок рсфср; (4.33)

1 '" к|пр ", сокр

2то Ю

о

~к

сокр к1й р

Д = Я, — — ~ М, ьт рйр+ — ~М,, сок рйр;

о о

к1пр р сокр г

Х = Ф,. — — ~ М, кш гор — — — ~ М,, сок рЫр.

о о

Т. о., для определения внутренних силовых факторов необходимо

найти М,,Я, Ж,, и вычислить три интеграла (подчеркнуты).

Вычисление Д, Л; не представляет трудности, так же, как и

определение М,, от сосредоточенных нагрузок.

Распознанный текст из изображения:

М,, =-)дрЯГ1-соса)йаа гинтегрируеи по а).

Рассмотрим случай, когда ц Определена на участке От О до ~,.

у ка 0<~)<~),

М, = ~д,яяиаппа Гинтегрируеи по а).

Для участка р>щ,

р у-р Р

лг,. = )с...аа = )с ...иа ~ 1 д,нушаниа гиитегрируеи по а ).

0 гс' Юс

Подчеркнутый интеграл равен нулю, т, к. на этом участке д = О.

Константы С„С2,С, определяются с помощью (4.22).

~ф,

К = С, яппи — С, собр — ' + Кце.

й'ф

(4.28)

7. Определение перемещений

Перемещения находятся из системы уравнений

—,+ — = — — М -+(4.12)

Ыр' Ир ЕУ

и = — — -+ (4.13)

0= — — —,+и -+(4.5)

~2

Я Ыф'

Из решения (4.39) получаем

) у +СО +С) сояу+С2 я пу

в=- —.'+С,яппи-С,сокр; (4.40 — 4.42

й"~9

1 те О„СО

р. г+ О

Я Иу'. ' Р'

ИЗ УСЛОВИЯ ОТСУТСТВИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ КольЦа КЙК ТВЕРДОГО ТЕЛа ИМЕЕМ .

(4.39)

Второй способ определения внутренних силовых факторов

применяется, когда внешние нагрузки изменяется по всему кольцу. Из

первого уравнения (4,2) находим

0 С1 соя у) + С2 я1п Р + а (4.26)

Д„= Д„(р) — частное решение уравнения.

Из второго уравнения получим

1 т 1 Р 3 ~(Ы+ )~у' ' (4.27)

Распознанный текст из изображения:

12

Содержание задания:

В заданиях б — 23 определить напряженно-деформированное состояние

кольца. На круговой диаграмме построить эпюры перемещений и,д,и и

силовых факторов Х,МД.

Провести проверку полученных результатов,

Исходные данные 1кольцо единичной ширины):

Лм 1 6; = О,Ж4 1'„= 2. ИЙ

д„„ц жр„~=5000н/ ф' =50ЙОл~ Д=5000н; =5000;

р =- 7800 кг/м 3.

Литература:

1. Балабух Л. И., Алфутов Н. А.„Усюкин В. И. Строительная механика

ракет. М.: Машиностроение, 1984 г.

2. Лекции по курсу «Строительная механика» ~Клюев Ю. И.)

3. Алфутов Н. А., Семененко А. Н. Напряженно-деформированное

состояние круговых колец. Учебное пособие. М.: МВТУ им. Баумана, 1982г.

4. Клюев Ю. И., Хромушкин А. В,„Челомей С. В. Расчет многослойных

балок, колец, арок. М.: МГТУ им. Баумана, 2000 г.

Распознанный текст из изображения:

Задание №1,

Исследовать устойчивость кольца в плоскости под действием

радиальной нагрузки:

а) гидростатическая нагрузка;

б) нагрузка, направленная к центру кольца.

Литература:

Алфутов Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.:

Машиностроение„1978г. Стр. 22Π— 228.

Задание №2.

Исследовать зависимость частот и форм собственных колебаний от

жесткости упругого основания.

Задание №3,

Исследовать вынужденные колебания кольца при действии нормальной

распределенной нагрузки, изменяющейся по закону

Ч, =- Чо С032;РсоБи1.

Построить амплитудно-частотную характеристику.

Задание №4.

Исследовать вынужденные колебания кольца при действии двух

радиальных сил, изменяющихся по закону

Р(~) = Р, сочв~ .

Задание №14.

Определить собственные частоты и формы колебаний кольца в рамках

гипотезы Тимошенко в зависимости от модуля поперечного сдвига С.

Методические указания по выполнению домашних заданий по

динамическим задачам.

Задание №1 - №4.

Гипотеза Кирхгофа-Лява

1. Уравнения движения кольца при наличии упругого основания

1'кольцо единичной ширины)

Распознанный текст из изображения:

14

«'де

~» - жесткости упругого основания по направлениям «.«и и'.

Соотношения д чи деформации

3. Физические соотношении

Основные этапы выполнении домашнего задании

1. С помощью третьего уравнения «1) исключить из первых двух

уравнений силу Д и получить систему из двух уравнений,

зависящих от ««" и М «4).

2. На основании «2) и «3) получить выражение для Х и М через

перемещения «5).

3. Подставить «5) в «4) и получить уравнения движения в

перемещениях «б) — представить на проверку преподавателю.

Система «б) представляет систему двух дифференциальных

уравнений в частных производных «по координате д и времени 1).

4. Представить внешние нагрузки и перемещения в виде

»«~р,~) = ь«~р)сове~„.

и ~р,1) = ифо)сови1;

д '»ф,т) =«,'«' «~9)совйм;

цЯрД = у„Ясоваи.

Распознанный текст из изображения:

д,,(р)=,» Оудяппр;

и=:!

(9)

О ~р) =~~» д.„созе.

п=0

Коэффициенты ду „и д, „вычисляются по формулам

гю

д,. = — 1д„~д~;т щдд;

гг о

гуГ

д, = — 1д,м) дд'

гд

д, „= — 1д ~р)соипрнд.

~ о

(10)

После выполнения (10) д, „,д„,дд, являются известными числами.

Для сосредоточенных нагрузок, регулярно распределенных по окружной

координате, справедливо следующее разложение в ряд Фурье:

Р.т 1

д~р) = — + ,"» созе,

,г

где т — число сосредоточенных сил, 7. Представить перемещения в виде

и'(р) = ~ ьд„япп(гг;

а=!,2,3...

и=0,1,2

3. Подставить соотношения (9), (11) в уравнения (8) и получить

уравнение.для и =О (зависит только и,) и уравнения для п =1,2,... Представить на проверку преподавателю,

При исследовании вынужденных колебаний в - частота внешних

нагрузок (задана), при определении собственных частот и форм колебаний—

искомая частота собственных колебаний.

5. Подставить (7) в (б) и получить уравнения в полных производных от

координаты р (8).

6. Разложить внешние нагрузки в ряд Фурье по окружной координате

Р

Распознанный текст из изображения:

где А н В матрицы коэффициентов ~2х2), В =~о тт~, р . вектор

сосредоточенной нагрузки, а - заданная частота вынужденных колебаний

(рад/сек).

Для определения собственных частот имеем

(А — и'В)0 = б, нли (13)

гует1А — еэ В)=6 - уравнение для определения собственных

г

частот, После определения собственных частот из уравнения (13)

определяются собственные формы колебаний.

Представить на проверку преподавателю.

Методические указания по выполнению домашнего задания №14

Гипотеза Тимошенко

1. Уравнения движения

2. Соотношения для деформаций (для тонкого кольца)

(2)

3. Физические соотношения

Распознанный текст из изображения:

На основании 1'1) и ~4) получаются уравнения движения в

перемещениях.

Дальнейший ход решения совпадает с решением задачи в рамках

гипотезы Кирхгофа-Лява,