Книга: Методичка

Файлы скачаны со студенческого портала для студенты "Baumanki.net"

Файлы представлены исключительно для ознакомления

Не забывайте, что Вы можете зарабатывать, выкладывая свои файлы на сайт

Оценивайте свой ВУЗ в различных голосованиях, в том числе в досье на преподавателей!

Распознанный текст из изображения:

анин тибр

на засев 29 сен

рсдс в 200

а в

ивв ено

в ~" вени ек.в ввввйАНО ГВЩ

Москва

Издателвство МАЙ

2006

Утверидено

1

овета

,,1

5 т.

"1

.."1

в

Распознанный текст из изображения:

ем соотношения:

А„=- В ь С;

(г= Вегз'+Се '"'.

(2 1 1)

(2.15)

9А„=- фв — О|С;

-РП=!ЛВ|Фц -гЛСе з'

(-9 ф

бег

з !О Вт

~О езг

ыб

0 0 р — 1!

(2.!б)

1

-!Лв '"'

е '!'

(2.13)

г

19

тде А, В, С, В и 9, Л, р — пгктоянные, которые нужно оаределигв.

Задание: поисннть подробно (2.10), опираясь па общий вил решения (2йа) — (2дв).

Подставляя (2.!О) в граничные условия (2.9) лля Лиг, получа-

Лбщ

Кроме того, всоответствии с (2 5) — щ=-изр,о . Найдем с

Зх и

помощью (2.10) составляющую |0 и удовлетворим граничным условиям (2.9). В результате получим лоповнительную к (2.9) систему уравнений:

Четыре линейных однородных уравнения связывают четыре неизвестные постоянные А„, В, С, В. После нреобразовапия (2.11); (2. 12) к с|анлзртной форме однородных алгебраических уравнений лля получения отличных от нуля решений необходимо приравнять к нулю определитель системы уравнений (2 11), (2 12):

Задание| объяснить посдеднее утверждение

Раскрывая соотношение (2.13). называемое хвринтвристинеснии уравнением Н-мод, имеем

Л! = а!с!к( р г Л! ъ ыстл(9 г л) ъ тл, (2.14)

тле т = О, 1, 2, 3... — индекс мод. Задание: получить (2 !4) ( при вызоле (2.14) использовать фор-

|за+ глб

мулу гя(ггвб)= ' "" )

1- |за|В !

Поскольку тангенс — функция периодическая с периодом, равным х, в правой части соотношения (2.14) появилось целое число т. Таким образом, при данной толщине диэлектрического волновала ! существует мнол|ество решений (типов волн-ыод) характеристического уравнения (2.14). Зги моды различаются индексом т, различными значениями поперечнмх волновых чисел Л, 9, р и обозначаются кзк Нз„Н|, Нг и т л.

Учигыыш дополнительные соотношения, следующие из' (2,$а)— (2ВВ)

-Лг+Лг =Гг; 9| ! Лге =Гг; ргчйге =Гг зН= а!—

исключая в них постоянную распространения Г, можно получить

еше лва >равнения, которые связывают Л, 9, р.

Обозначив через д, итре„козффипиент щюломления среды

( и = 1. 2, 3), получиы полную систему уравнений, опрелеляющих

зна |ения поперечных залповых чисел Л, 9, р !и|я Н-мол:

г „Лг,дг(зг „г).

,г „Лг Лзг(, г „г)г

Лтизтс(й(р)Л)за|с(й(9(Л)+тщ т=0,1,2,3...

Выразив из (2.11), (2.12) амплитулные козффипиенты В„С, () ЧЕРЕЗ Аи И Палетазиз ИХ В (2.10), НайДЕМ КОМПЛЕКСНЫЕ ЗМПЛИ|УЛЫ сос |задающих Н-мал через произвольную амплитудную пастоян-

Распознанный текст из изображения:

дйю Г

!! = — — ""; Л .= — Ею

(2.!8)

20

2!

ную А„(зависит от источника возбуждения, ко~орый на данном

этапе не рассматривается) и поперечные волновые числа Ь, В р:

А„г»7» при» <О,

В (х)=. А (д/Ь)(ип(ьт+(Ь)с)созЬ») при 0 «» < г;

гпу

А„(д/Ь)(згп рл е(Ь гд)соври)е р(» г) при»> г,

(2.17)

Задавив: пояучить (2. 17).

Определив из системы (2.!6) величины Ь, ц, р, завнсяшие от толшины ДВ !и от коэффициентов преломления д, срел. можно полностью рассчитать электромагии пюе поле любой Н-волны по формуле (2.! 7). Постоянная распрошранеггил ньжодгпся с помошью соотношений (2 15); паина волны в анэлектрическом волногюде Х, = 2я/Т, а фазовая скорость аа = атгр,

Комплексная постоянная А„ осталась неопределенной, поскольку иссаедуются «свободные», т.е не зависящие от источника возбужления, волны. Модуль и фаза постоянной А„зависят от ампчитулы и фазы источника возбужаения. Используя (2.!7) и учитмввя:(2А), можно найти структуру Н-мод в направлении распространения волн, например;

Е, (х) = Кс(Е»~= Ке(Е„,ем ~= Ее~Ею (х)е пге'"г)=

=Ке(Е„(х)е '( ' ~гг)=)Е„(»Ьсгж(юг — Г +Ф),

ше Е (х) =!В„г (»Ьее — комплекснав амплитУда ОткУла видно, что в фиксированный момент времени вдоль оси ДВ распределение Е -компоненты носит периодический характер с периодом„

У

равным дание волны в диэлектрическом волноводе Х„,

2Л. ВОЛНЫ Е-ТИНА В АСИММЕТРИЧНОМ ПЛАНАРНОМ

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ

Но аналогии с теы, как это слелано в разл. 2 1, 2.2, выпоггняя всс задания, будем нсслеловать Е-модьг в диэлектрическом планарном во»повале. Единственными ненулевыми составляющими поля

в этом случае будут И,, Е;, Е; граничные условна отличаются

от (2,9)

Реп!ение ищется в виде (сравни с (2.!0))

А есх при» <0;

гТ = бегах+С гЬ» при 0<х<г,

пгу

„- (х-)

Хпрактеригпшчегхае ураапепие н соотноШение мезгду постоянными Ь, Е р выводятся так же, как и для Н-мод, однако сяелует яме гь в виду, что диэлектрические прсницаемости слоев различные. В результате получим систему уравнений, из которой определяются постоянные Ь, Е р для Е-мод:

,3 „)? Ьт( 2 2) зэйз Ьз( 2 ~).

Эти уравнения отличаются от уравнения (2.!6) для Н-мод только наяичием квадрата отношений показателей преломления в аргументах арктангенса! Е-молы обозначаются как Ев, Е1, Ет и тж,

Составлягошие поля для Е-мод записывмотся с учетом (2.6) сяелуюшнм обриом:

Распознанный текст из изображения:

Нс Еа

Н,,Е, Н,,Е,

02-)«2 ) г

3

42,. 1 г 02.

),2 )-т /,г

(2.25)

где т,', =0,1,2

положительной (см. (2.10). (2 18)), следует ограничиться только первым квадрантом (рис. 2 2,в поясняет зто) Как следует из

гг и

,, ( 2Ш), н,н й „', й г ' ' !(„, „,)» „-...,,„,.„, „...

2 " (ха(

ся волноволных мол не сушествует. Только когда частота колебаний (или разность показателей преломления) становизся настоль-

я

ко большой. по й г>-, круг радиуса й г впервые пересекает

г Р

ветвь м = 0 кривой. Это решение системы из двух последних уравнений (2.23) лля м = О. Оно описывает в рассматриваемом приближении Ис- и Еа-волны, которые являются основными волнами плоского несимметричного дизлектрического волновода. Из выражения лля А г видно, что число волноводных мол зааиси сот па-

раметров, которые можно изменять, а именно л, л„Ха, г Так, нри

3я

)1 Г > — а волноводс, кроме Н - и Ео-мод, распространяются сшс

х О

две моды Н! и В! и з л. Ралнус окружности А г (имловюезыю, и

Р

значение лг, вн йм г ) для м-й молы должен лежать в пределах

(2т, + !) — < — (лг -~~)ыз <(2гл ь3)-. ' (2 24)

г

а

Соотношение (2.24) позволяет, зная гираметры л,, лз, Х„, (,

найти чисяо распространяюшихся люл н волгговзде или, наоборот,

полобрать зги параметры, исходя из требований.

Найденные значения рг и йг позволяют опрелелнть с учетом

(2.15) посюянпую распространения Г, фазовую скорость ов = а/Г

и ляпну волны в линии );ь =2к/Г, а также все компоненты поля

из выражении (2.17) или (2.20), т е., по сушеству, решить задачу о нахождении мол в пяанарном асимметричном диэлектрическом волноволе.

На рис 2 3 в качестве примера показано распределение В (П )-кочпонсгны поля )( (Е„)-волн в дизлектрическом волновогю в сл) ~ае выполнения для кажлой моды условия (2 24) 11орялок т-волны раасн, как Вилис, числу нулей в поперечном распрелелепин поля.

Рис. 2З. Распределение компоненты поля

Удобно для исследования дисперсионных характеристик ЛВ (зависимости пролольного волнового числа Г от частоты м) записать характеристические уравнения (2. ! 6), (2.19) в виде, непосредственно свявы ваянием Г с параметрами сред и с частотой. Из (2. 15) следует, что

2я мл,

где х; =; — л, = — ' (т =1,2.3); л,, =(е,; с — скорость света. ле с

Подставлял (2 25) в (2. «б) и (2.!9), получаем лля симметричного возновола в сяучае Н-мол

Распознанный текст из изображения:

1,5

1,5

г(а? Г2)1??—

(Ьоз«РД,

моды

подпои«п

ш

1(2,

Рас. 2.4, Лисперсионные кривые

2к юо

П?е (гоп — = —; Я,

27

((1? 12)1?2 «((1 2 а?)п? )

Г(Я? Г?)П? = агсгд — „— ' — )о агс?й 2 '„, —; ,'+ «ш (2 26) ((Д?2 — Г')П' 1 ~(Д? — Г?)ПУ:

и, соответственно, в случас Е-мод

= агс(й '- ' (о агс(й -'Д вЂ”.— 2,— 5 лвг (2.27)

22 (1 62)1?2 ~) (( )2 (1 1 2)1?„)

п~ (Д Г)П~ ~ ~~~) (а

Соотношения (226), (2.27) предстаюшют собой дисперсиоиные

уравнения и ври заланиых г, лп поаволяют проследить зависимость

Г от юОч) для кажлой Н- и Г:молы порядка ю Пример численного решения этих уравнений лаи на рис 2.4,а,б, где г (К, — от-

носительная тол?пина пленки; Г//го — эффективный показатель

преломления.

Числеииые методы решения дисперсиоиных уравнений с их программной реализацией рассмотрены в раза 3. Несош?юшпие кривых шш Н- и Е-мод с одинаковым индексом т вызвано шм, что уравнения (2.21), исследованные ранее (см. кривые иа рис. 22)1 были получены при упрощающих предположениях. Однако в изот-. ропиых лизлекц?ических волноводах зго различие невелико и практически трудно получить одномоловый режим (единственная волна Не)

Поскольку а случае направляемых поверхностных мод постоянные Ь, д, р — положи1ельные действительные величины, то из (2.25) следует, что

Гс(г п„г>й ям Г> д„пи (2.26)

г;«, 1555- 1,55 1,5 Ь55 1,55 «55 1.Ь 1.5 1,5?С 1,52 1 51

При Г> йоп, в соответствии с (237), (2.20) волив представляет собой экспоненпиальную функцию во всех трех областях (рис. 2.5,а), такт?о поле иеограничеиио возрастает вне диэлектрического волиовола. Таксе рещение физически бессмысяенно и практически нереализуемо. Соответственна на графике, приведенном на рис. 2.4,а, 1 (Фч =. л, =1.613

Распознанный текст из изображения:

1ч

Физический смысл ограничений (2.2В) состоит в том, что фазог(ггя скорость мод е = а)ГГ должна быть пе больше ее плоских волн, распространяющихся в материале подложки с показателем

преломления лз, и ие меныпе ее плоских волн в волноволном слое

с показатеггем преламвення лг.

2.5. МОДЫ В СИММЕТРИЧНОМ ПЛАНАРНОМ

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ВО)! ПОВОДЕ

ПРн хзлг кГкlс лг нз (217), (220) следУет, что волна ггРелставляет собой гармоническую функцию в области лг н убывает по экспоненпиальному закону в областях лз (подложки) и л, (покрытия) (см. Рнс, 2.1). Поскольку энергия, переносимая такими тинами волн, сосрелгпочена вблизи волноводного слоя лг, этн волны называются веверхлепннымв (волноводнымн). Два таких решеггня показаны на рис 2,5,б,в

При хелг к! к хслз поле (2.17), (2.20) имев! экспонснпггально убывающий характер в области лг и гармонический в областях лг, л .Такис волны нс удовлетворяют физическому условию убывания з.

при х -г+ и соответствуют так называемым излучательным модам полложки (рис. 2.5,г). Тогда на ~рафике, приведенном на рнс. 2.4,а,

жняя гранина отногпення Гггхс =из = 1,5!6.

Наконец, прн 0кГкй и структура волны становится гармо

ннчсской во всех трех областях (рис. 2.5„д). по сопгвегствует из

лучательным могши волновода.

ни

:::1

'!

,!г~

2В

Г Кпг и и Хго, 0

Ряс. 2.5. Структура почв для различных режнмое

для Н мод яг(=его!я — +ги-;

(д) я

'(Ь ( 2'

'г

лляЕ-мод яд=асс! — — г+т-.

(2.29)

Тогла характеристические )равнения лля симметричного волнавола толщиной г = 2г) будут име гь внл;

лля Н- и Е мод

(рг()г+(яг()г =(я д)г(лг -лг)

.(2,30а)

)гг(гя(7гг(3- чстньм Н-молы;

-йг(сй((гг() - нечетные Н-моды,

(2 306)

Ы вЂ” г щ7гду-четные Е-модьй

(л

-дг( -! сгяуйг0 — нечетные Е-моды

Ы

(2.30в)

В симметричном аолноволс (см. рис. 2.1,е) л, = лз. Из первых двух уравнений в (2 16), (2 19) слелует, что при л ! = лз имеем р = 9. Полставив я= 9 и лг = лз в последнее уравнение (2.!6) и (2 19) и сделав для улобства замену г= 2Д получим;

Распознанный текст из изображения:

(2.32а)

нечетные Е-молы

б б

б

31

Как и в случае асимметричного пяаиарного лиэлектрн шского волновола, систему трансцендентных уравнений (2.30а), (2.306) или (2.30а), (2.30в) можно рептнть графически (рнс. 2.6,а), причем в случае симметричного волновола рещение попускают все значения ш, = О, 1, 2, 3..:, как четные, так и нечетные (рис. 2.6,6),

Для нахождения распределения поля в симметричном волноводе удобнее сдвинуть систему координат к срелней плоское~и пленочного волновода(см. рис. 2,1,е): х'=х-(т)2)=х-А. Тесла с учетом сказанНогО ВЬППЕ для области -А ях< А (сравин с (2.17), (2.20))

1Ал пп йх/б(пЬА- нечетные Н-молы;

Е

т А, соб йтгт сов)тт) - чстьтьте Н-молы;

(2.3(а)

(Ал пп )тхт'б(пяд — нечетные Е-моды;

уг = (, (2. 3!б) ',А сгп йгттстпйл-четные Е-молы.

Выражение (2.31) поясняет смысл четности и почетности мод

в симметричном планарном волноволе относительно координаты

х, привеленной на рис. 2.1,е.

а) л)

Рнс 2.6. К ьрафическому решению системы уравнений

б случае симметри»шпо волновала

Задание: записать все компоненты четных и нечетных Н- и Е- мод. используя (2.17), (2.20).

Дисперснониые уравнения ютя четных и нечетных мод в симметричном пленочном волнаводе можно вывести из (2 26), (2.47), учитывая особенности симметричного волновода (ль = лз, йь = йт):

четные Н-моды

(Г'-й')Ы' =(йт — Гт)ттттд(йтт — ГЬ)тттд

нечетные Н-молы

) 1 3

(Г' — йг)мт =(йт — Г')')'с(д(йтт -Гт)птд (2 326)

т

четные Е-моды

2

(Г'-йт)ьтт =()тт -Г')ы' — тд(йг гт)ытл (232в)

(Гт йт)ыт (йт Гт)ттт ь стд(йь Гт)тттд (2.32 )

где все обозначения аналогичны обозначениям в (2.26), (2.27)

На примере симметричных пленочных вплноводов отметим еше раз особенности рассматриваемых диэлектрических и металлических волиоводов.

Во-первых, новая волна, появляющаяся в диэлектрическом волноволе, на крвтической частою (см. рнс. 2.4,а, 2.6,6) имеет волновое число р= 4= 0 н в соответствии с (! 25) Г' =йт =)ттль. Таким образом, волна распространяется со скоростью, равной фазовой скорости плоской волны в безграничной среде с параметрамн, совпатающими с параметрами среды, окружающей диэлектрический вольювод, В то время как в металлическом волноводе при критической частоте Г = О.

Распознанный текст из изображения:

раметры л, »р, Хц, А'

(2.34)

(2.33)

где мс = О, 1, 2 ..

О

р

Во-вторых, при частоте ниже критической ( р" < азор ) в лнзлехтрическом аалноводе моды даннога типа вообще не сугпестау юг, а в металлическом волноваде они существуют в виде затухающей волны.

По аналогии с (2.24) (используя рис. 2.26) чажпо записать ус. ловие, пазволяюшее найти число распросграняюшихся И- и Е-мал в Симметричном диэлектрическом пленочном волнааоде, зная пз-

ррр д-6 — г( (лг — лг) Р <(мр р.1) —, е

2.6. ВОЛНЫ В ПЛАНАРНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ

ВОЛНОВОДЕ НА МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПОДЛОЖКЕ

Данная линия передачи показана на рнс. 2.7 Волновал по-прежнему является бесконечно протяженным в направлении аси ОУ и изменения паля в агом направлении нет, г. е. д рея = О .

Исключив составлвюрпие Е и Е', из системы уравнении (2.6) лля И-волн, прихолим к следующим скалярным уравнениям лля Н,„(х) а кажлой из орел (рис. 2.7):

дг НРРР

— „"" + АгНргр = О прн О < х< р;

дхг

р

дг Кргр

е ргЕРгг О прих>р,

дх'

,тс вг Аг 1-г (рг~ уг р рг Аг уг

Общее реирение уравнений (2.34) с учетом условия убывания полл при х -р т па анкчрогии с (2.18) имеет вид

Н

ШУ

А е р(» р) прнх>р;

Ве'Ах >СЕВ" при 0< х < р.

(2 35)

Длл определения постоянных АЕ> Д С, 6, р воспользуемся граничными условиями, аналогичными (2.9), Тогла, учитывая, что первая среда (подложка) является илеальным проводником:

ЕРРР( Егггг О, Еггг! Еггг~ . Нггг! 72РРР~

При зточ в соответствии с (2.6)

Для определения структуры заектромагнитного ооля и его основных характеристик полагаем металлическую подложку идеальпроволянгей, используем уравнения электротинамики (2.2), .3), представление бегущих волн вдоль асн ОЕ(2 4] в виде Е- и -воли (2.5), (2.6) соответственно

ио

'(( (2

И

Рис. 2 7. Планарныа диэлектрический волновал

на металлической полложке

(2.37)

где э=2,3.

Подставляя (2 37) в граничное условие ГРРР,~„=ЕПР =0 и

чр р*=а чр рю

учитывая (2.35), получаем — АВ- —,АС=О, т.е. В= С.

1

лгег л,сг

Распознанный текст из изображения:

А е «"х «) прях>«;

7«ш, соз «п

~А,. — Прн О 5 х 5«,'

~:;-ь«

~А, е Р(х «) при х>«:

Н !В соФх при Ояхж«,

(2.43)

(2.38!

тле >=2, 3.

вигов Вй, Ав совместна. если

(2.40)

Дет = 1 . ! =О.

е- анпш — р =

л

2

л'

«

( т)~

Я л««73

л

)А с Р(х Г) при х>«;

)(Ве'ахьСВд" при ойхн«.

(2.4!)

(2.44)

,(63

л« = -агстй| — 3«+ л;

Р

(2.45)

Тогда общее решение (2.35) волнового уравнения принимает

где Вь — некий новый коэффициент. Из двух оставшихся «раннчных условий в (2.36) получаем

.В соз«я-.де =О;

!

1 . 1

(2.39)

е ««7 е

— В Лип!я+ — А,Р=О.

Система (2.39) для определения отличных ог нуля коэффипн-

Раскрывая соо нов«ение (2.40), получаем харахтерисмячеюкое

уравнение для Е-мод в планарном диэлектрическом волноводе на

металлической подложке

где м = О, 1, 2, 3... — индекс моды.

Заланве«обьяснить (2.40) и получить (2А! ) .

Кроме топь в соответствии с (2.34)

Рт чйт Дз йз йсз(лтт лз) (2.42)

Выражая Вв через Ан нз (2.39), учитывая (2.38) и (2.37), получаем следующее представление лля компонент электромагнитного поля:

Из (2.43) следует, что в рассматриваеьшй структуре могут существовать только четные Е-волны Ес, Вт, Е4 н т л. (индекс иоды и = О, 2, 4...), поскольку в соответствии с (2.36) электрическое поле е диэлектрической пленке на металлической подложке должно удовлетворять граничнмм,условиям на поверхности металла.

Задание«пояснпть последнее утверждение.

Задание: используя (2.4Ц. (2.42), записать условие, аналогичное (2.33) и позволявшее найти число раштространяюшихся Е-мод в планарном диэлектрическом волноводе на металлической подложке, зная параметры л„ л„ хе,«.

2.6,2. Вл«им Е1-шялл

По аналогии с тем, как бьшо сделано в равд. 2.6.1, будем исследовать Н-молы в диэлектрическом планарном волноволе на металлической пошюжке. Евинственными ненулевыми составляющими поля в этом случае в'соответствии с (2.5) будут бш,Н„„Н„«. Снова решение ищется в виде (сравни с (2.35)):

Характеристическое уравнение н соотношение между постоян-

ными Ь, Р выводятсл так же, как и для Е-мод:

Рз «й«4В«-аз=аз«Я- з)

где и = О, 1, 2, 3.. — индекс моды.

Распознанный текст из изображения:

— слиничный орт оси ОХ).

Е 1

Ане р(» г) прил>г:

аш ах

* — прийихяг;

и!п )и

р, . Г ~ 1 11(йт

и, 462

(2.46)

Н= — т,Н=- — Е

ЗЕ

т пй Зх ' г гти У

(2.46)

Для В-лзод с учетом (2.6)

2

(2.49)

(2.50)

— ~ Е Е ох Рбкю

(2.51)

37

36

Соответствующие компоненты электромагнитного поля лля

Н-мод имеют вил

Заданно: провести по аналогии с разя. 2.6,1 все рассужлеиия лля Н-воли

Из (2.46) следует, что в рассматриваемой струкзуре могут существовать только нечетные Н-волны Нп Нт, Нз и т.д. (игшекс моды т = 1, 3, 5...), поскольку а соответствии с (2.36) электрическое поле в диэлектрической пленке на металлической полложке лолжио удовиетворять граничнмм условиям на поверхности металла.

Задание! используя (2Л5), записать условие, аначогичнос (2.33) и позволяющее найти число распространяющихся Н-мод я штанарном диэлектрическом волноводе на металлической подложке, зная

параметры ит, лз,йи !. 2.7. МОШНОСТЬ, ПЕРЕНОСИМАЯ МОДОЙ ПО ДИЗЛВВТРИЧВСЛОМУ ЛЛАНАРНОМУ ВОЛНОВОДУ

2.7. !. Расчет лереиосимоа .четности

Выражения для полей, направляемых пленкой Н- и В-мод (2 17), (2.20), позволяют опрелелить среднюю мощность, переносимую отдельной модой вдоль оси ОЛна единичную ширину в направлении ОУ(см. рис. 22,6),

Задание: получить последовательно (2.47) — (2 50).

В частности, для Н-мол

Р.=Ке) ПУХ= — ~Е Й лх= — ЯЕт(х)! йх, (247)

глс и -(е,(! — комплексныйвекторпойнтинга; лЛ=хля (х

2(

е

Пойставлял в (224) выражения лли Е, из (2.17), находим

Подставлгш в (2.49) выражение лля Л„из (2.20), нахолим

азт62

' М)"

!тейт 1 рт+лт

ик „т,бз" ~г „т,„т"

2. 7.2. Соотитиеиил, ортогоиегевиости ивиравляеммх лии)

Учитывая (2.47», (2,49), можно показать, что для Н-мод справедливо соотношение

тле ((, и) — инлексы двух различных мол; Бы — симвшг Кронеке-

ра, кг«горый равен нулю лля ! и т и слинипе для ! = т.

Распознанный текст из изображения:

м ! "".!"ю' ъ

УДК 62!.372.8.029.7(075.8)

Гринев А.Ю., Темченко В.С. Поверхностнме электромагнитные

волны в планарных диэлектрических волиоволах; Учебное пособие

— Мс Изд-во МАИ, 2006, — 68 сл ил.

Рассмотрены вопросы численного математического моделирования и расчета планарвых лнэлектричвских волноволов (ДВ) с поверхностными эвектромагнитными волнами. Приведены упражнения и задачи для закрепления теоретического материала.

Пособие предназначено для студенов, изучшоших дисциплину «Электродинамика и распространение ралиоволнь н выполняющих курсовую работу.

Р е ц еи з е н т ы; кафедра «Техническая электродинамика н ан

тонны. МТУСИ (проф., д-р техн. наук В.В. Чебышев);

проф, д-р техн. наук Г.Д, Петрухин

Где 5-7035-1641-2 Ф Московский авиационный институт (государственный технический унявсрснтет), 2006

ПРЕДИСЛОВИЕ

В ! юсобии рассматриваются вопросы математического моделирования и расчета лизлектричсских волноводов (ДВ) с поаерхносгнымп электромагнитными волнами. Диэлектрические волиовопы представляют собой олпу нз основных линий передачи в миллиметровоч н оптическом диапазоне волн, а также элементную базу лля у«!ройс гв этих лиапазоиоа.

Послеловательно рассмотрены особенности линии передачи на основе лнзлек!рнческнх волноволов и их применение в волоконно-о!цнческих линиях связи и в устройствах игпегральной оптики.

Б качестве базовой модели ДВ выбран ллаларнми дяэлекмрячмгля во вывод, Бо-псрвЫх, он прелставляет самосзаятельный практический интерес Во-вторых, при переходе от пяанарного к более ел охгным ДВ ка гественная картина волновых процессов сохраняется. яззшняю!ся лнц!ь определенные (часто незначительные) коан !сотканные характеристики. В-третьих„планариый ДВ относи! !я ьн о просто анализируется как методом лучевой оптики, так и с поч яцын строгого решения уравнений Максвелла. При выполнении курсового проекта лля определения структуры поверхностных электромагнитных волн, постоянной распространения, фа!овод скорости и длины волны в ДВ стулент осваивает на конкретном примере базовые понятия электролинамики: уравнении Максвелла. !Раничныс условия„волновые уравнения и их решение, Е-и Н-волнь!, характеристические уравнения, переносимую по ДВ среднюю мощность отдельной волной и т.п.

Плацарный диэлектрический волновол на металлической подложке и Н-образнная иеттшлодизлектрнческая линия передачи рассматриваются как разновидность плаяарного диэлектрического волновода

Основная цель пособия — цгнмулировать самостоятельную работу студентов. Для этого наряду с теорией приводятся задания, позволякппис закрепить пройденный материал. В конце пособия дактгся задачи я упражнения, лля выполнения которых требуются теоретические знания, умение составлять проствйгпие программы и анализирова ц, пояучснный результат.

Распознанный текст из изображения:

Г( " !

)' — И, 13.,4 =Рбм.

2!ге„ яз(х)

(2.52)

Р(г)-Р(г — лг) ))' 2 Р

о;-.о Л ду

(2.53)

Р = — 3'8 (Е (х)~ ьг)'

(в В

(2.54)

Из (2.5 !) следует, что при 1= ю левая часть равна мощности. переносимой вдоль пленочного волновода (с единичной шириной вдояь направяения ОУ) модой )гг, при гам правая часть равна нулю Физическая суть этого в том, что различные моды в процессе распространенна не обмениваются энергией (не взаимодействукп').

Соответственно для Е-мол

Соотношения (2.5!), (2.52) представляют собой так называемые соотношения ортогональности межлу двумя ыолаьги л лиэлектрическом аолноводе без потерь.

Задание: получить (2.5!) илн (2 52).

233. ЗАТУХАНИЕ В ДИЭ3!ЕКТРИЧЕСКОМ ВОННОВОДЕ

Анааиз Н- и Е-мол в планарноь» диэлектрическом волноводе проводился в предположении„что диэлектрик является идеальным (без потерь). При этом в режиме направляемых поверхностных мод (волноводных мод), определяемом условием (2.28), коэффициент распространения à — действителыош величина. Натичие лиэлектрических илн магнитных потерь в мшериале диэлектрического волновода (подложки, покрьпия) вызовет преобразование части электромагнитной энер~ии, переносимой волной, в тепловую энергию. Можно прслпаложить, что лля планарного диэлектрического волновода с потерями за счет конечной проволимостн диэлектрических сред зависимость полей от координатй сЕимеет формально тот же вил, что и лля случая без потерь ехр(-гГх) (2 4) Олнако при

этом Г является комплексной величиной' Г.—. б — нх. Поэтому любая составляющая поля в соответствии с (2.4) будет изменяться по

закону ехр(-ггг) = ехр(-цг)ехр(-гбг), тле ехр(-ох) — величина, характеризукнпая убывание произвольной сосшвляюшей электромаг-

нитной волны влоть оси ОЗ (а — коэффициент зазухани»; б—

коэффициент фазы).

Так как средняя мошность Р (2.48). (2 50) пропорциональна

квалрату амплитулы поля, то Р = Роехр(-2ал), где Ра — средняя за

период мошность в сечении г = 0 диэлектрического вояноаола.

Разность ьгежлу мощностями в сечении г н г+ лг равна могцно-

сти попарь на отрезке аолновода длиной Лу; ЛРо =-Р( )- Р(г+Лг)

Развеяна обе части равенства на Л:. и устремив Л. к нулю, най-

д«м значение моп1ности тепловых потерь, прихоляшееся на еди-

ницу плицы:

Р„

откуда и= — ", гле и — коэффициент затухания, !1м.

2Р'

Мощность Р, переносимая адель планарного диэлектрического аолновола с Н- н Е-модлин, определяется соотношениями (2.47) — (2.49). Срелняя за период мощность тепловых потерь Рв находится нз выражения

гле интегрирование ведется по всему объему, зйполненному лиэлектрнком с потерями, при единичной длине в направлении ОУ, при этом в зависимости от области подставляется соответствующее значение Ь„~)Г(Ом ч) (1= ), 2, 3).

Задание: пояснить формулу (254), используя уравнение баланса для средней за пернол мощности (см. например, (3, 4!).

В заключение отметим слелуюшне три обстоятельства. Во-первых, поскояьку и определяется отношением Рл к мошности Р, переносимойй вдоль ляанарного диэлектрического вол повода, го интегрированиее выражений (2.49), (2.50), (2.54) по переменной у мож-

Распознанный текст из изображения:

(2.55)

)г:.ь !т-ь

но производить не в бесконечных пределах, а по отрезку единичной длины Во-вторых, при вычислении Р„и Р предпалзхается, что структура Н- и Е-мол влиэлсктрическом волноводе приблизительно совпадает со структурой этих волн в среде без потерь. В- третких, если исследуется диэлектрическая пластина на металлический подложке (см. рнс. 2.7), то необходимо уч иты вать среднюю мощность тепловых потерь в металле, которая рассчитывается аналогично случаю металлических волноводов:

где 77 — касательная составляющая магнитного поля на метал-

лической поверхности; Я, =~ — ' — удельное ~говерхностное со1~ 2о„

противление металла, Ом ( о„- проводимость металла). Нодстааляи в формулы (2.47), (2.49), (2.54) выражения для соответствующих компонент Н- нви Е-мол (2,!7), (2,20) иаи (2.29), нахолим выражение длл коэффициента затухания и (2.53) в диэлектрическом планарном волноводе. Очевидно, что при копкретньм расчетах необхолилю сначала определить волновые числа д, Р, 9 (Р, й) с помощью численных метолов (ель равд. 3).

2.9. Н-ОБРАЗНЫЙ МБТАЛЛОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ

ВОЛИОВОД

Н-образнная металлодизлектрическая линна передачи (рис. 2 8) представляет собой диэлектрическую пластину, ограниченную с двух сторон металлическими гщоскосшмн. Здесь поле должно удовлетворять граничным условиям на поверкностях металлических пластин:

Рис 2 8. Н-образный метзллодязлектряческнй волновод

а также граничным ус(говиям для Н- юьи Е-волн па границах х = а и х = — а (см разд 2.2, 2.3). Из волн типа Е в такой структуре могут существовать только четные волны, а из волн типа Н вЂ” только нечетные

Основной волной Н-образной линии нередачи является вьюна

магнитного типа Н,с, вектор Й которой имеет единственную составляющую, причем все составляющие векторов поля не зависят от координаты у. Эта волна полностью аналогична основной волне магнитного типадиэлектрнческой пластины, в частности, она имеет такую же фаэовую скорость, как и волна типа Н! диэлектрической пластины.

Все остальные типы волн Н-образной линии передачи имеют одну илн несколько вариаций вдоль оси ОУ. Характеристические уравнения для этих типов волн оказываются более сложнмми.

Задаинег провести по аналогии с разделамн 2.1, 2.2 все рассужления лля Н-волн в Н-образной линии перепачи.

Распознанный текст из изображения:

(лг)г «(Лг)г (л г)г(аг лг) .. Кг (лг)г (Лг)г (Л г)2(лг,. г) Лг

(3.2)

3.1, ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

К, 22 гг —; )н

л 3 гшг лг 4 хе~

глг

гле

42

«

го волновода представим в виде

Иг = агс!й К вЂ” « агав! К вЂ” !« лш,

3! ~ ~ гй

(3.!)

Н-мод К =К,=!, а

лля Е-мол

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ

В разл. 2.4 лиспсрсионное уравнение (2 23) решается графически. Конечным результатом решения является дисперсионная характеристика (см. рис. 2.4,0), предсгавляюшая собой зависимость нормированной постоянной распространения Г(хе для Е- и Н-мод

от относительной толщины пленки гггке. Графический способ прост, нагляден, олнако обладает невысокой точностью и поэтому применяется репко.

Универсальными способами решений дисперсионных уравнений (2.26), (2.27), (2 32в) — (2 32г) являются численные мегоды решений нелинейных уравнений такого типа (10!. Ниже приводятся лва метода: «половинного деления«(дихотомии) и аппрокснмшгин Алгоритм «половинною деления«является универсальным. Он позволяет получать решение с заааяной точностью независимо ог сложности дисперсионного уравнения, однако облаласт мюленной схолимостью. При сложном виде дисперснониого уравнения лля повышения скорости вычислений пелесообразно применить более быстро сходяшлеся методы, в частности простой и наглядный метод аппроксимапии.

Для численного решения рассмотренные выше характеристические уравнения в (2 17), (2 19) для Š— и Н-мод асимьштрично-

К = —, К, .= = 1, ш = О, 1, 2 — инлекс моды

В уравнении (3 !) следует брать главные значения арктангснсов Дополнительные условия связи между коэффипиегпами А р, д представим в вале (см. (2 19))

Подставляя уравнения (3.2) в (3.1) и отделяя линейяую и нелинейнюо части, полччим

л9 — гл = 73(б), (3.3)

ГК

,г(;;)= -его!в К 1 — - ! + — агсгЛ~К ~ — -- ! !;

(3 4)

)

Уравнение (3,3) является нелинейным транспендентным уравненнелг относительно параметра (; введенный параметр Кхарак-

гериэуст степень асимметрии диэлектрического волновода. Исхолными данными при решении лисперсионного уравнения

(3 3) являются длина волны ! „, талшина волповола г. относительные лизлектрическне пронипаемости подложки, волновелушего

слоя и нокрьпия еп ег, е! соответственно (можно задавать и пока-

затели преломления лг=,)е„(=1,2, 3), тип волны (Е или Н) н

индекс гл моды.

Определив нз (3.3) параметр б«чг как искомос решение, нахолят величину )г=ч,йгггг, а затем из (2.25) — постоянную рас-

Распознанный текст из изображения:

((01«1

делах

(3 5)

0

Ояул1.

((~о!)

(3 б)

Ею»)»2

2

(3.7)

К! = 4мо: '... =1!

пространення Г и поперечные волновыс числа р и д, что позволяе г построить дисперсионную кривую (см. рис. 2 4,0) н определить структуру соотвстстпуюшей волны по формулам (2.17), (2 20)

В случае направляемых поверхностных волн коэффипненты а, р, 4 — положительные лействительные числа В соответствии с (3.2), (3.4) значение безразмерного параметра Ч находится в пре-

3.2. МЕТОД «ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ»

В соответствии с (3.3) введем функцюо /'(Е);

3.2.Е Алгоритм ремеивл

Резпением уравнения (3 3) являются такие значения Е, при ко-

торых функции з'(() = О. Поскольку в обшем случае неизвестно, имеются ли такие решения на интервале (0,1), то более целесообразно искать не иул функции Г(Е), а некоторый малый интериал (а, В), в котором 7(ч) меняет знак. Такой итпервал всегда можно найти, а затем сузить его настолько, чтобы выполнялось условие

)В -и) < Ь „где Ь вЂ” запаивал точность решения.

На рис. 3.1 для иллюстрации метода предо~аахена некоторая функция у(Е) в интервале 0<0«1. при заданной точности ь определение корня юпоритма состоит из слелуюших !нагов:

1 Проверяют надичие корня уравнения (З.б) в заданном интервале Если Я, =0). Р(Ез=1)>0, пз коряей уравнения (3 б) нет, т.е. прн выбранных исходных данных, заланном типе волны и индексе и молы волна в диэлектрическом волноволе не распространяется.

Рис 3.!. К решению хрансненлентного уравнения

методом половинного деления

2. Меняя параметр т (номер моды), удоалетворякгг условию

У(;, =О) У(бз - !) < 0

3 Определяют «корень» на этапе первой итерации но формуле

и вычисляют „у(э»01).

4 ПРовсРЯют Условна; если з (ггч «0) Уфн)<0 го сужают

интервал поиска корня в пределах [ч, --0)чз «чгь) и опрсделвот

новый корень РГЗ! на втором этапе итерации, используя (3.7). Если

же У(ч"') зг(4, =1) <О, то значение корня 4ГЗ! лежит в интервале

Распознанный текст из изображения:

5. Итерационная пропелура послсдовшсльно пшпорястся л рлз

ло выполнения условна !сы — ьы Н! .д. При этом значение корни

рассчитывается по формуле

~гы„.~г О

2

(5.81

данный алгоритм позволяет вычислить значение Ь с»аранти-

рованной точностью 8=2

3.2.2. Прогриммнои реилизании алгоритма ио методу

нолоаинного деления» /дихотомии) ла алгоритмическом языке

Фортран-90"

Программа «Ьега!» предназначена лля расчета поперечных волновых чисел Л в волноведушем днэлектряческом слое дчя Н -волн планарного опнородиого изотрснного диэлектрического возновода. Вхолными ланными являются: а)аогддо — ллина волны хс, !в толшина волновелушего слоя: г! — относительная диэлектрическая проницаемость покрытия; ед — относительная диэлектрическая проницаемость е, волноведушего диэлектрического слоя; г)—

относительнав диэлектрическая проницаемость с» подложхи; т— номер моды. Программа опрслсляст значение корня с заланной точностью грз. Выходной величиной является значение поперечного волноного числа Л Размерности метрических псрсмениых следует брать олинаковыми.

савинов /сЬ)оск/ а,ай,ю

!вхолные данные; при указанных значениях

!результат лля контроля: Ь = 0.8955242

!Ьшнна волны; размерности а!ашвда н г одинаковые

а!ашЬда 0.85

!таллина еолновелышего слоя

! = 5.

!отн дилл проницлемосгь покрытия

е) 2.11

!отн, лизи. проницаемость волноведушего слоя

е2 = 2Л4

!отн. лиэл, проницаемость подложки

еЗ = 2.12

!номер моды

т 1

!погрешность значении корня

ерз = )е-6

'вычисляется коэффициептА

а 2 * мрт(е2-ез) * г/а)вайда

'вычисляется ком(»фицнент )(

а)г (е2-е)) / (е2-еЗ)

'обрашение к функции решения уршшсния Е(х)=0

айв! = 4)Ь()е-10,(.,ерз)

!опрслслсние Ь

Ь = акьт * 2*5.14159/а!ашйда * м)гт(е2-еЗ)

'вывод результата

ргга! *, Ь

Алгоритм имеет анд

!Программа расчета волнового числа Ь в волноволном

'днзяектричсском слое лля Н-волн планарного одноролного

!изотропного диэлектрического волноволв

ргодгтп Ьета!

!персмснныс, обшие для Ьега! и функции Г

»Функция решения уравнения Е(х) 0 метолом дихотомии

!с точностью срз при условии, что корень лежит в

!интервале от ада Ь

Гпасйов 4)Ь(а,Ь»ерз)

!цикл, пока недостигнута требуемая точность

дв пййе((Ь-а) .8(. ера)

!с = серелнна отрезка !а,Ь!

Распознанный текст из изображения:

3.3./ Алгоритм регаеяил

(3.9)

ь=--агсгй(((7«гд — 1) (Одь нО 5) 1

(3.10)

ге(нгв

енй

0,5

0

0

0,5 1,0

от(а+0)/2

!проверка знака функции в середине отрезка (ай)

11(Г(с) .01. О) Гйеп

!обновление правой границы если Р(с) ь О

Ь с

ене

1обяовление левой границы если Р(с) = 0

а с

епй)(

еаййо

!Ой — решение; Г(дй) = О с точностью ло ерз

й(йм(аей)/3

!Функция Р(х) лля функции йй .

йшсйап у(ч)

!переменные, получаемые из Ьеш(

еотшов /сЫоей/ а,ай,ш

П = агав( м(гг(1/к**2-1) )

П = (П + а(ап(вйгИай/х**2-1))) / 3Л 4159

1 а'х — ш — П

3.3. МКТОД АППРОКСИМАПИИ

Прн решении уравнения (3. 3) методом «половинного деления» основная трудность обусловлена необходимостью многократных вычислений достаточно «неудобной» функции /7(Ы . Метод апп-

рокснмацни позволяет преолплеть эти трудности

Основная идея метода заключается в свелении уравнения (3 3 >

к квадратному путем введения аппроксимируюшей функции лля

правой части уравнения (3.3). В результате такой аппроксимации

решение (3 3) записывается в явном виде, а необходимая точность

достигается простой итерационной процедурой, что значитевьио

увеличивает быстродействие и эффективность алгоритма.

На Рис 3 2 прелставлена лля примера зависимость / (Ы в правой часы> (3 3) о> параметра 5 для Н-мод при разных значениях

К =-(л, — и, )Лл, — л ). Аналогичную форму имеюткривые и для

7 7

Е-мол (рис. 3.2). Поскольку в (3А) берутся 7вавные значения арктангенсав. величина /~(~) ле7кит в пределах

>ле ь -- параметр, определяемый из (34) при 0=1:

Рне. 3.2. К решению трансцендентного >равнения

чстозюм аппроксимапви

Распознанный текст из изображения:

ям интервала окбя!

(3.15а)

(33 50)

(3.12)

/;(ь) о; /,'(О,Ы о;

У;(Ь).О; /;(Ь,Ы.О.

(3 13)

таблица 3 7

Ьь(1-Ь)/Г-~-УФ

Ь(ч) = 1-Ь-()-1)

(3 14)

50

С учетом явного вида /!(Ы (рис, 3.2) аппроксимируаппая ее

функция выздится следуюшим образом:

/т(Ь, Ь)=(1-Ь-Ы/1:~-Ы)-~>+Ь, (3,11)

где Ь вЂ” параме тр, характеризуюгций «кривизну .

Г!р условии (Ь(<(! — Ы функции /г(7., Ы н /1(ч) имено слелувшие свойства

а их производные по параметру Ь

Выполнение условий (3.12), (3.13) означает, что обе функции имеют одинаковые граничные значения, монотонно убывают и являются выпуклыми в интервале О х 1.

О<я<1.

Из условий (3.12), (3.13) следует, что функция / (4) и аппроксимируюшая функция /з(уе Ы (3.11) не пересекаются Олнако полбором параметра Ь можно в любой точке »= 4! лоблтьсявыполне-

ния условия )Гз(О»,Ы-/!(Ц<л, где л — сколь угодно малая величина. Параметр выбирается исходя из условия предельного равенства» (ч» = /т(~» Ы. С учетом форму!»ы (3,1Ц устанавливается связь ст а»! х' 2 ы

между абсциссамн точек пересечения и значениями параметра Ь:

Предельные значения б(Р) соответствуют граничным значенн-

Ь = 1нпб(с) = -!» Ье — — +

и! . 2(1 1

~«, «,/«,"

1- — «, прн «=1;

2/2

2'= !г»г»Ь(Ю=

1 — 0 — «, при «>!

Зш!вине: получить соотношения (3.15а) — (3.15б)

Из выражения (3. !4) следует, что функция Ь(Ь) убываег моно

тонно в пределах Окбк1(Ь'(Ь)<О), т.е. не клу Ь и ', сушествует

взаимно-олпозначное соответствие дри ограничениях на парамет-

ры иланарного лиэлектрического волновода (см( (3 1), (3.4)), ука-

занных в табл. 3.1.

На рис 3.!для примера йредставлены зависимость ~(О) и графики функций, аппрокснмируюших ее с «недостатком» /я, о»о) и с»избытком» УтК, ~о') .

Распознанный текст из изображения:

»(о ч»ш

3 !

2

(3 !9)

!з(»,6)

1

»р! > »гт! > »> »(2! > »!3! 3 ! !

(3 20)

(3.2!)

53

52

3вменяя функцию «!(») в (З.З) на аппроксимиру!ошуго ее фун-

кпию «г(», Б), трансцснлентное уравнение (3 3) свалим к кимр;п-

ному относительно переменной (1-»)"

(я+И(1»)т(1 — Ь-Ь) 6:»-(а-Ь-т)=0. (3 !")

Физическим решением этого уравнения относнтечьно» явля-

-с-~-г!+Ф::ю' ч 'ч! -~:"'!

»(Ь) =1- 7 д П

Подставляя Ь!н и бш в (3.17), находим лва значения»; н с',

т

абсписс точек пересечения функции (а»-и) в левой части (3 3) с

Рис 3.3. Аппроксимирукялис функции

аппроксимирующими функциями «(»,Ьг!') н «(»,Ь(п) правой части уравнения (3.3) (рис. З.З). Из рис. 3.3 следует, что решением уравнения (3 3) является значение», лежащее в интерваче

ф' > » > »,'". (3 !Х)

Решение на первом шаге итеранни записывается в ниле

Если точность а потученного решения, апрелеяяемая величиной интервала ! сч, »з г, недостаточна, то нужно использовать

Г=(О (О!

метоя последовательных подстановок. Для этого вычисленные зна. чения», и», подставляют в (3.14) и находят новые значения

"о! (и

6, и в, . Затем эти значения подставляю~ в (3.17) и определяют гз! Ф

лва новых реп!ения»!гц и»!з!г, причем

Аналогично (3.! 9) записывается новое решение»з на втором

и!все и шрации.

Если заданная точность (»зз -(ч (<д не достигнута, то итера!!! (з!!

ционный процесс продолжается дал ыле. Обнгие формулы лля «-й итерации имеют слелуюший вид.

ш -(1-Ь вЂ” бич (!.-Ь вЂ” Ьп!)т-ь4(атб!!)(а-Ь-м)~

2(о + 3"')

Ьч(! — Ь)»(з! «!(»!!!т!)

(1 (!д (! ЗО!)

Распознанный текст из изображения:

ТОЧНОЕ» ЗНаЧЕНИЕ 5 НаХОЛНЗСЯ В ПРЕДЕЛал ~ (! . з .', тдс

г о! «ш)

ф~ ь уп! ~ ! з до 1 ~

(3.22)

сы «цг

!ЛОГ( л,! — '

в оп«у!я

чз

З.З.2. (Зраграг«милл реллвзалвл вггервлхнв лс мемеду

ваврексвмаавв ла а«герви«Мвчесл«ьн языке Фара«раи-90 Программа «Ьсв2; прелназначена для расчета поперечных волновых чисел Ь в волноведушем диэлектрическом слое для Н-вшгн планарного однородного изотропного диэлектрического волгювода. Входные н выходные данные такие же, что и в программе «Ьсга! «(см. рвзд. 3.2.3). Вначале программа «Ьсга2 вычисляет верхний н нижний пределы параметра кривизны б по (3.!5) и определяет границы области решения, которые затем использует в качестве на ильных значений лля итерационной процедуры. В холе итерационной процедуры происходит обращение к функциям акп и бейа, реализующим вычисления по (3.21).

Программа Ье1л 2

'Результат лля контроля: Ь = О,лсэйб!б

'длина волны; Рюмепности а!ашбда и г олинаковые

а!авЬйа = 0,85

«олвина возноведузцего слоя

1=5.

'отн. лиэл. проницаемость гюкрмтия

е1 2,11

'оти лиэл проницаемостыюлноведупгего слоя

е2 2 !4

'отн. лиэл, проницаемость полложки

еЗ = 2.12

!номер моды

е !

! погрепзность значения корня

еря = (е-б

!вычисляется коэффициент А

а 2 * м!г!(е2-еЗ) * !/а!авЬда

!вычисляется коэффициент К

ай (е2-е1) / (е2-еЗ)

'вычисляется параметр В по (3.10)

Ь = яве( м)г((ак-1) ) / рг

! подготовка начальных па иных шш итерационной процедуры

! на вльнос значения параметра кривизны

гП = ь — 1 т 2*( 1т1/лагг(ай) )/р!

)((ай .ей. 1) !Ьев

!Программа расчета волнового числа и в волношвном

!диэлектрическом слое лля Н-волн пленарного однородного

!изотропною диэлектрического волновода

ргойгав Ьее2

!переменный, общие для Ьаа( и функций а!гз! и дена

соееоп /айвой/ а,ай,в,Ь

р! = 3.14159

!входные данные! при указанных значениях

!лля К=1

'лля К>!

42 1 — Ь 2/р«

еий!1

области решения

. а(в!! айз!(41)

области решения

вйч!2 = айа((42)

!нижняя граница !верхняя граница

42 = 1 — 2«мрт(2)/р!

еЬе

Распознанный текст из изображения:

'числитель

12= Ь

знзменжгчь

г!

!параметр кривизны

+ (1-Ь)*я!ГГ(1 "х) — Г!

= загс(1-х) -1+х

4ена 12/(1

напев

еп4

56

!итерационная нроцелура;

!цикл пока не достигнута зэланнэя точность

4о иЬ!!е(аЬэ(ахл!2-ахй1) .э!. ерз)

!обращения к функции вычисления параметра кривизны

41 = 4е!Га(а!сй1)

42 = 4еца(ахя2»

!обращении к функннн решения квалратного уравнения

ахл!1 эхя(4!)

Ьз!2 эхэ!(42)

еп44о

!оцрелсление Ь

Ь = (аЫ1+аЬэ!2)/2 " 2*р!/э!аюхээ * хогг(е2-еЗ)

!вывод результата

.рип! *, Ь

еа4

!Функция вычисления корня уравнения цо формуле (3.7!а)

(апсзюп э(юЦ4)

!гзеремсниые, получаемые из Ьс!а2

союпюа /сЫосх/ а,ах,ю,Ь

!лискриминант квалратного уравнения

йз = (1-Ь-4)**2 + 4"(а+4)*(э-Ь-щ)

!1(йэ .!!. О) Мор бНелопустимое сочетание пч. ланвмх"

!корень уравнении

ахз! = 1 — ( (м)г!(4!э)-1+Ьч4) / (7*(а+4)) )" *2

гегшп

еп4

!Функция вычилениэ параметра кривизны но формуле (3.2!б)

Впсг!оп 4еца(х)

!переменные, получаемме из Ъета2

соююоп /сйес1г/ а,ах,ю,Ь

!ф-ция П

Н = а!Эх( ЭХГГ(1/Хе'2-1) )

=- ( (( + этап(эхг((эЬ/х *2 1)) ) / 3 14159

* нрсгрэчммы ь Рззлелам 3.2.2 н 3.3.2 состаазсны Д.Х багие

Распознанный текст из изображения:

1. ДИЭЛЕКГРИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД вЂ” БАЗОВАЯ

ЛИНИЯ ПЕРЕДАЧИ МИЛЛИМЕТРОВОГО

И ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНОВ ВОЛН

1,1. ОСОБЕННОСТИ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ

НА ОСНОВЕ ДНЗгТЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ

Устойчивой тенленпией развития современной рдаиоэлектроники является освоение все более коротких диапазонов ллнн волн (Л): миллиметровых ).=!0...1мм (Г= 30...300 ГГц) н оптических

й = 1000...0,001 . (Г= З 10'!...З 10 ь Гц)

Линии передачи (ЛП) предназначены лля канатизаггии элекгромагннтной энергии на расстояния. На их основе создаются различные устройства (фильтры, направленные ответвители, дели гели, фазовращатели, вентили и т.п.). Перед разработчиками линий передачи ставятся довольно противоречивые задачи: ЛП поляны обеспечивать малые потери энергии, большую передаваемую мошность; онн лолжны иметь малые габариты н массу, обвалы ь высокой технологичностью и устойчивостью к внешним воздейсз виям. К этим требованиям лобавляются широкополосность, легкость изгиба линии перелачи при минимальных по~ерях, удобство полклю'-- чения активных элементов, отсутствие излучения. иевосприиычиь ногль к внешним помехам, удобство упрагшения алек грочшпитным', полем в линии и стыковки с другими ЛП, стоимость Важнмм является также наличие надежной и подтвержлаемой эксггсриментоц теории, алгоритмов и программного обеспечения

На более длинных диапыонах (чем миллиметровые и огпцчдг,'- ' кие) волн с успехом использустсл ЛП в виде металлический а(йноволов различных сечений, полосковые и микрополосковые ли-': нни и т.п Все этн ЛП содержат метаялические проводники с ко-'„- нечной проводимостью и„. Поперечные размеры ЛП ггропоррдйг) ' натаны дяине волны, что обусловливав~ (в миллиметровом;и цвг! .'

бенно в оптическом диапазонах волн) технологические и функциональныс ограничения по изготовлению таких ЛП. С уменьшением толщины скин-слоя увеличивается затухание энерпзи в металлических проводниках Этот процесс, усугубляется такими технологическими лефектами проводников, как неровность краев и шероховатость поверхностей. Частично устранить отмеченные недостатки можно, используя диэлектрические волноводные линии перелачи. Некоторые из ДВ показаны на рнс. 1.1 ! 1, 2). Большая часть энергии, передаваемой по диэлектрическому волноводу, сосредоточена в подпростраистве, ограниченном ДВ с поперечными размерами, сравнилзыми с длиной волны. Потери энергии, связанные с наличием неилеального диэлектрика в области концентрации поля, оказываются меньше, чем в металлических волноволах, уже

иа частотах/= ы/2х = 30. 40 П ц при значении тангенса угла лиэлектрических потерь !йбмп/ек„!О 4 (гь — абсолютная диэлектрическая проницаемость ыатериала) С ростом частоты колебаний при одинаковом значении Гйб соотношение потерь в лиэлектрике н мез алле пропорционально Г-'~з

Диэлектрические волноводы, показанные на рис. 1.1,а — з, применяются в диапазоне миллиметровых волн, прн этом использует-

~М е,лй„

.,Вб-,ййВййй. В БК

":ЙЙЙ Ей: йййй ЙЙ

Рис 1.1. Диэлектрические еалповоды а — прямоупиьный.

6 — круглый! в — двухслойный; г — прямоугольный зеркальный;

д — изолированный прямоугольиыа зеркальный; г — Н-образный;

,, ж — пленарный; з — лизлектрический шелевой: и — ллапариый на

Подложке; к — утопленный полосковый; л — гребенчатый полосковый;

л . составная полосковый

Распознанный текст из изображения:

4. УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

Ддя закрепления изложенного материала с|уденту предлагается выполнить рял заданий,

1. Пояснить лостоинства и недостатки ДВ, показанных на рис. 1 1, с точки зрения требований, предъявляемых к базовой линии передачи (см разл 1.1).

2. Предложить новые ДВ, удовлетворяющие требованиям разя. 1.! .

3. Показать, что вдали от критических частот коэффипиент затухания а близок к коэффипиенту затухания лля оююродных плоских волн, распространяющихся в безграничной среде, параметры которой савпалают с параметрами диэлектрической пленки

4. Вывести формулы лля определения доли иошности, переносимой в пленке, подложке и покрытии для асимметричного планарното волновола. (Указание| использо|ить илеологию разлела 2.7.)

5. Получить формулы (2.35) и (2.37).

6. Получить формуты, аналогичные (2.35), (2.37), для четных (нечетных) Н- н Е-мол

7. Получить дисперсионные уравнения, аналогичные (2.26), (2.27), для Н- и Е-мол в планарном ДВ на металлической подложке (см. Рис. 1.!,ж; рис. 2.7) (Указание: поле в диэлектрической пленке на меьзллической полложке должно уловлетворять граничным условиям на повеРхности металла; из волн типа Е в |акой структуре мот)т существовать только четные, из волн тина Н— только нечетные )

8. Вывести формулы лля структуры поля Н- и Е-мод в Н-образном металлодиэлектрическом волноводе (см рис 1 1,е, рис 2З ) (Указание: поле в ДВ лолжно уловлетворять граничным условиям на металлических пластинах, которые полагаются бесконечными.

Основной волной является волна магнитного типа, вектор Е которой имеет единственную у-состаштяюзпую, причем все согшвляюшие не зависят ог координаты у, перпендикулярнои металлнчес-

ким пластинам. Эта волна пол|юстью аналогична основной волне метни п |ого типа Не пленарного симметричного ДВ 1

9. Получить ограничения (см. табл 3.1) иа параметры знэлеьтрнческо|о волновола при решенни дисперсианного уравнения по ме пыу аппроксилшции.

1О. Написать про|рамму лля расчета поперечных волновых чисел й аля Н- и Е-волн пленарного одноролного изотропного лиэлектрического волповода, используя метод половинного деленян

11. Написать программу длл расчета поперечных волновых чисел Ь дяя Н- и Е-волн планарного однородною диэлектрического волновода, используя метОл аппроксимации.

12 Дать лучевую трактовку распрос|ранения электрома|нитных волн в планарном диэлектрическом волноводе.

13. Найти фазовую скорость еь двух низших волн магнитного типа, распространяющихся вдоль симметричного планарного ДВ тол|линой 2|(= 2см с относительной пронипаемостью е„--2,9,

т, = 1,О. Длина волны |евера гора ),„= 3,2 ем. Построить графики

РаспРелеленил попеРечных состаяллюших (Е 76 ) в р в

х |

полЯ в нзправлении пеРпендик)чЯРном лиэтектрн юской пла ин

ке (аналогично рис. 4.1).

Ответ: |',з= 1,874 1Ов и/с, о м 2,336 )ба м/с.

Ф

!4. Опрелслить значение вв волн электрического типа, которые мо|ут распространятьсл в ппанарном ДВ на мета;шической подложке. Толщина пластины т= 15 мм, ез = 2,25, е = 1,0. Чаензта полл зе 10 1Тп.

15. Определить значение ее, волн магнитного типа, когоРые могу| распространяться в симметричном планарном ДВ. Толщина пластины | = 15 мм, с| = 2,25, е, = 1,0. Частота поля Уе = 10 ГГп.

16 Определитыначение ее, волн злекзричсского типа, которые мо|ут распространяться в симметричном пяанарном ДВ. Тол-

Распознанный текст из изображения:

Рнс. 4 ! Распреггехеггня составляющих Е,/Е,

шина пластины ! 15 мм, е,= 2,25, е, 1,0, Частота поля /' = РО ГГц.

!7. Определить распространяющиеся типы волн влаль симметричного планарного ДВ толщиной 2г(=12мм прн частоте поля 10 ГГН. Диэлектрические проницаемости ег = 3, е, = 1,0

Ответ'. Но, Нг, Ео, Е!.

10 Определить толщину симметричного ДВ из ггоггнстгг!юла (ег = 2.56), при которой вдоль ДВ распространяется только основная волна магнитного типа Но, Длина волны генератора 2о 4,5 см,

ег аз=1,5

19. Определить фазовую скорость волны тина Но, рвспространяюпгуюся в асимметричном ДВ толщиной г= 10 мм, ег= 2,9,

е, 1,0, с, = 2,7; длина волны генератора!6 мм. Построить граОщк распределения компоненты ( Е /Е„„) в направлении, перпендикулярном лнэлектрической пластине.

Указавие: см задачу 13,

20 Определить фазовую скоргнпь, ллину волны н построить график распределения компоненты (Е,/Е„,„) в напращгенигг, Перпендикулярном диэлектрической пластиНе, Лля основной волны магнитного типа, распространяю!лейся вдоль планарного полиствролового ДВ (ег — — 2,56) толщиной г = 16 мм на ьгеталличес-

кой полложке. Длина волны генератора Х = 32 мм, е = 1,О.

о г

21. Определить размер г оптического ДВ, при котором в нем

распространяется только волна основного магнитною типа Н (см.

о

рис. 2. ),а, 6). Параметры ДВ. л! = 1,0, лг =- 1,6! 3, лз = 1,516; длина

волны лазера Хо = 0,63 мкм.

22 Найти фазавую скорость еь лвух низших волн электрического типа, распространяющихся вдоль симметричного пленарного ДВ толщиной 2с(= 2 см с относительной проницаемосгъю е =2,9,

г е, = 1,0 Длина волны генератора Хе = 3,2см. Построить графики расггрсделеиня поперечных составляющих (Е,/Е, „) векторов

х !

поля а направлении, перпендикулярном днэлектрнческои цчастиггке (аналогично рис. 4,1).

23. Определить значение ие волн магнитного типа, которые могут распространяться в планарном ДВ на металлической подложке. Тоггшннгг ггластнны г =- 15 чм, ег = 2,25, е! = 1,0. Частота поля / =- 10 ГГН

24. Определить фазовую скорость, длину волны в планарных оптических ДВ с основной магнитяой волной Н толщинои

о

2г/ =- 2 мкм, лг = 1,7, л, — — л! = 165. Длина волны лазера )ге = 063 мкм

25 Вывестн формулы для определения коэффициента затухания ц волны пша Но при тоящине ДВ 2г(=10 мм, длине волны генератора Хо 24 мм и параметрах диэлектрика ег = 2 7,

* ' тйб -" 10, ег = е. =- 1.

6!

Распознанный текст из изображения:

зш 2Ы Р, з(п2Ы сштЫ'

!ч — - — ь — —- 2Ы

1. т Гт(Ь( з(п2Ы саатЫ )

Р Вт 2 "мр„~ 2Ы рл

нп 2!тт(

Отвеет а= — 'т-е . — 188,

етт,р

2Г 1 ип 2Ы сает Ы

2Ы рг)

и= 0,209 м-' (рт(= 1,405, Ы=О„967, 1 =.384 м ').

Указание: воспользоваться результатами разд. 2.7.

26. Вывести Оюрмулу для расчета мощности, переносимой основной волной магнитного типа в Н-образной линии перелачи (см. рис. 1.!,е; рис. 2.8). Рассчитать веаичину переносимой мотпиостн в яинии с размерами 2т(= 25 мм, Ь =- 15 мм. Диэлектрик — полистирол с е,= 2,56, е, =е, =- 1,0; ллина волны генератора 4 си; значение амплитуды напряженности злектрической Ь',-компоненты Ав = 30 В/см.

Р=24МВт (рт(=2,190, Ы=1,103, Гст.=2,941).

27. Определить длины воли На, Нт, распространяющихся вдоль планарного ДВ толщиной 2т( = 10 мм с е, .= 2.8, е, = аз =1,0 нри частоте поля г' = 12 ГГи.

Ответ: 7, = 16,78 мм лля волны тина Нс„)а= 24,74 им лля волны типа Н).

28. Установить, в прелелах какого диапазона частот вдоль штанарного диэлектрического волновода на металлической пшщожке может распространяться только основная волна магнитного типа.

Толщина с=12 мм, ее= 2,9, е,= 1,0.

Ошет: 4,53 ГГп < у< 13,6 ГГп.

29. Установить, в пределах кактно диапазона частаг вдоль план арнага симметричного диэлектрического волновала может распространятьсяся только основная волна магнитного типа. Толщина т= 15 млт, ет= 2,9, е1= 1,О.

30 Вывести 4тормулу лая апрелеления лали мощности носимой волной гила Нс внутри планарного симметрического ДВ П ровести численный расчет слелуюших данных: 2г( = 8 мм, е = 3,8,

т

е,=-гз —.1,0; длина волны генератора Хе= 30 мм,

Распознанный текст из изображения:

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основной

13

13

16

Дополнительный

... 42

65

64

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Уигс Х Г Планарные и волоконные оптические волповоды; Пер. с англ /Под ред В. В. Шевченко. — Мс ир, , — ь с.

2. Семенов А С., Смириов В.П, П/малько А.В Интегральная оптика лля систем перелачи и обработки информации. — М. Радио н связь, 1990. — 224 с.

3. Баскаков С.И. Электрадинамика и распространение радио. волн. — Мс Высшая школа, 1992 — 416 с

4. Никольский В.В., Никольский Т.И. Электролинамнка и раси остранение радиоволн — Мз Наука, 1989.—

9. — 544 с.

5. Сборник задач по курсу Элекпзадинамнка н распространение радиоволн / ол рел.

/П рел. С.И Баскакова. — Мс Высшая шкала, 1981. — 208 с.

П. М, Г адиев И. Н., Полфкзов И.П. Волоконные

6. Аидруиско ., ро

оптические линии связи. — Мс Раппа и св, 136

' язь, 1985 — 136 с

7. Войиымсйи ЛА Электромагнипзые волны -- М Радио н связьч 1988. — 440 с.

8 Голубков С В, Бвтихисв Н. Н., Полуловский В Ф. Интегральная оптика в нифа

формационной технике. — М Энергоатомиздат.

1985. — 15! с.

9. Жоблои К, Симон Ж-К Применение ЭВМ для численною моделирования в физике. — Мс Наука, 9

!о83 !65 с

ОГЛАВЛЕНИЕ

..3

'Е .

! ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ВОЛНОВОД вЂ” БАЗОВАЯ

ЛИНИЯ ПЕРЕДАЧИ МИЛЛИМЕТРОВОГО

И ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНОВ ВОЛН ................................4

1.!. Особенности линии передачи

на основе диэлектрических волноволов ...,..............,...,.......,.....4

1.2. Лучевое представление распространения электромагнитных

волн в аиэлектрических волновадах ..........................,...,..............9

2 ВОЛНЫ В ПЛАНАРНОМ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ

ВОЛНОВОДЕ..

2 1. Исходные саотношенмя строгой

злектрадинамической теории

2.2 Волны Н-типа в асимметричном планарном

диэлектрическом волноводе ..

2.3 Волны Е-типа в асимметричном планарном

лиэлектрическом волноводе .........'....................................... 21

2.4. Классификация ьшд в планарном

диэлектрическом волноводе.............................................. 22

2.5. Молы в симметричном планарном

диэлектрическом волноволе............................................29

2.6. Волны в пленарном диэлектрическом волноводе

на металлической насда кке ...................

2 6.1. Волны Е-типа.

2.6.2 Волны Н-типа......................................................

2.7 Мошность, переносиььая молой

по диэлектрическому планарному волноводу ................... 36

2 7.!. Расчет переносимой мощности ............................... 36

2 7.2. Соотношения ортагоналышсти направляемых мал. 37

2.8 Затухание в диэлектрическом волноводе....................... 38

2.9. Н-образный металлодиэлектрический волновад ........ 40

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ДИСГ!ЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ

Распознанный текст из изображения:

Тем, план 2006, поз. И

3.1. Вводные замечания

3.2. Метод «половинного леления«.................., .... 3.2.!. Алгоритм решения ......................,........... 3.2 2. Программная реализация алгоритма по методу «половиниого деленвя (дихотомз«и) на алгоритмическом языке Фортран-90' ..........

3Д Метод аппроксимации ..................................... 3.3.1 Алпзритм решения ...............................,.. 3.3,2. Программная реализация алгоритма по методу аппроксимации на влгоритмичоском языке Фортран-90*„................................

4, УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

. 42

44

, 'Без-

... 49

ГРИНЕВ АЛЕКСАНДР ГОРБЕВИ«!

ТЕМЧЕНКО ВЛАДИМИР СТЕПАНОВИЧ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВО.ОНЫ В ПЛАНАРНЫХ

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ

Редактор Т.В. Моисеева

Компьютерная верстка О.Е //веровай

Слало в набор 19.12.05 Подписана в печать 9.02.06.

Бумага пнсчав. Формат 60«84 !/16. Печать офсетная.

Уел. печ л. 3,95, Уч.-взд. л, 4,25. Тираж 300 зкз

Зак. 3275/2015. С. 415

Издательство МАИ

МАИ, Волоколамское ш., д. 4. Москва, А-ОО, ГСП-3!25993

Типография Издательства МАИ

МАИ», Возоколамсксс ш, д. 4. Москва, А-80, ГСП-3 125993

Распознанный текст из изображения:

сл достаточно широкая номенклатура лгатернгыов; полцэтиден ( е = 2), кремний ( г. = 2,5), поликор ( е = 9,б, 1а е = 10 4), арсеишр галлия и кремний ( е = 12'.14, гад" 5 10 ~). Лостнг пугая величина потерь составяяет 0,1 — 0,15 лБ/см при г — 100 П и ( х = 3 мм)

Круглый двухслойный волновал (рис ) 1,е), называемый вос локонным световолом, представляет наибольший интерес лля создания вогеяонло-олтических лилий связи (ВОЛСЬ Структура оптического волокна доказана на рис, 1.2, Оцо состоит из све говода, показатель преломления лз = Я, которого больше показателя и ре.

Защитная ободочки

Рнс. ! 2 Структура оптического волокна ломвения л, = /е, отралсаюшей оболочки. Световоды нзгогов. яюг из плавленного кварца л = 1,45. кварцевого стекла. легированнш.о германием, фосфором или бором Характерные параметры свставо. да: Лз = 100 мкм, Л! =10 70 мкм, лз — л~ = 10 -', погори О 3 — 5 !!бгкм.

Отметим некоторые преимушеспи ВОЛС по сравнению с обычными кабельными линиями связи;

— высокая помехоустойчивость, не ~увствительность к внешним электромагнитным полям и праКтически отсутствие перекрестных помех между отдельными волокнами, уложенными вмех сте в кабель;

— значительно большая широкополосность 120-200 МГц) при испояьзонании светодиодов (и вплоть до ! — 3 ГГц при использовании полупроводниковых лазеров).

— малые габариты и масса (при лачьнсйшем совершенствовании технолопзи ожидается уменьшение массы и габарн)оя примерно в 10 раз и более по сравнению с сугцесгвуюшими кабельными лншшми связи. Зти качества особенно важны для бортовой радшь электроники);

— по.зная электрическая изоляция между вхопом н выходои системы связи: отсутствие коротких замыканий, вслепствие чего волоконные световоды могут быть использованы в пожароопасных зонах,

— потенциально низкая стоимость, обусловленная заменой лефнцнтных лорогостояшцх цветных металлов кабельных линий (медь, свинец) материалами (стекло, кварц, полимеры), сырьевые ресурсы которых Не ограничены (например, для изготОвления 1 км саетовола 05 = !ООмкм требуется 1 г стекла), а также простотой изготовления. прокладки и эксплуатации ВОЛС.

Дизлекгриче*кие водноволы, показанные на рис 1.1,и — и. наибояее широко используются в устройствах нгггегральной оптики Планарный диэлектрический волновол (см. рнс. 1. ),и) прелсганляет собои нанесенную на подложку полоску тонкой пленки, показу!ель преломления лз которой больше показателей преломления н, подложки и Покрытия л! (если покрытие отсутстиует, то л! = ла). Если л ! = л, то волновод называется симметричным, в противном случае (г( г.л., ) — агкнмгтри«лмм. Поскольку планарный волновол куЛерживаеть поле только в олном измерении, лля создания ряда устройств используют полосковые (Лвумерные] структуры (см. рнс 1 1,к — м). Лля изготовлении лизлектрических оптических волноаолов и устройств интегральной оптики применяют подложки из стекла, арсенида галлия (Оадз), ниобата лития ((зЬ)ЬОз) и др.

Лнаназон измерения значений основных параметров лиэлектрических оптических волноводов (см. рнс. 1.1) состзцчяет: толщина пленки 0,3 — 10 мкм, ширина полосковых волноволов 3-10мкм;

(~ -гЬ))п -10н ч !О ', затухание О 2 — 10 лб(см.

Лиэлекгрнческие волноеоды, прелставленнме на рис. 1,!,л — м, широко используются в инте~ральной оптике дяя построения делителей, фильтров, направленных ответвителей, модуляторов, переключателей, лефлекторов, тонкопленочных лазеров и лр., а также в ВОЛС, в функциональных узлах оптоэлектронных устройств, осуществляющих обработку информации, в голографических системах н т п

Лля примера на рцс. 1 3 показаны лва ~аких устройства. Ответвитель на основе утопления полоскового ДВ (рис.).3,а) осугпе-

Распознанный текст из изображения:

ется. В то же время гианарный ДВ прелставляет самостоятельный практический интерес, относительно просто анализируется как метолом лу <свой о<инки, гак и с помоцыо решения уравнений Максвелла. В разл 2.3 изложена теория, позволяющая выбрать размеры ДВ, исходя из режима работы (одномодовын и многомоловый), рассчитать мо<цность. переносимую волной, а также потери энер- гии

Рис !.3. Напрашсннмв опмтви<сль (я) в модулятор (В) оптичесюзго излучения

огвляет напрюшснное распределение входной мощности (вход 1) межлу выходами 2, 3 в требуемом соотношении. Проникновение оптического сигнала в диэлектрический волновол 4 происходит за счет ответвления в ДВ электромагнитного поля поверхностной волны от диэлектрического волновода!-2 в зонс близкоп< расположения двух волн<шопов.

Модулятор оптического излучения (рис. 1.3,6) сасгша. из гре- бенчатогоДВ, из<отоввеннога нз авизо<рог<ного материала (например, )лНЬОз), облалающего злектр<юцтическими свойствамн. Пос; деяние проявляются в том, что изменение коэффициента преломления вещества пропорционально нацрюкенню электрического водя. УпРавлаюшего сигнала ()сап„полаваемопз иа электРоды, Вслепсцвм. этого световой луч, распространяю<цийся по ДВ, испытывает фазовую модуляцию в зависимости от значения напряжения 0 „,„.'.:

Основные направляющие свойства ДВ, изображенных па рис. 1.1, можно изучить на модели плоской пластины, бескозщч ной в саном направлении — планарного ДВ (см. рис, 1.1,ж) или плапарного ДВ на подложке (см. рнс. !.1,и). Полосковые вслиоволм, размеры которых ограничены по двум направлениям, прцбди, женно уловлстворяют модели пяанарного ДВ прн условии, что ол!пх ' из размеров <начитсльно больше др)того. Если это условна пе вы полняется, то при модедьном перехоле ог полоскового к цванарному волноволу характер волновых явлений качественно сохраня-

<

! Д. ЛУЧЕВОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЪ|Х ВОЛН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ВО)1НОВОДАХ

Наиболее полное прелставлепис о характере электромагнитных

процессов в диэлектрических волноводах (см. рис. 1, !) можно получить на основе решения уравнений Максвелла (или вытекающих нз них волновых уравнений) с соответствующими граничными условиями на границах орел и условиел< убывания поля ца бесконечности (3, 4).

Другой путь исследования — использование метода геометрической оптики (а также различных молификапий). В соотвстстяии с иазванпем геометрическая (лучевая) оптика использует понязж лучей яла описания распространения эяехтромьпштных волн При этом луч в кажлой точке пространства совпадает с векторол<, определяющим направление распространения волны, который, в свою очередь, перпендикулярен поверхности постоянных фаз элсктромагнятной волны. В геометрической оптике распространение волн рассматривают как распространение лучей без учета волнового характера поля Можно строго доказать, что зто представление будет тем точнее, чем меньше ллина волн. В то же время на практике метол геометрической оптики в большинстве сяучаев более удобен, чем волновой подхол, поскольку он позволяет упростить задачу и пать. таким образом, ясную, хотя и нс такую полную, как при реп<енин уравнений Максвеш<а, физическую картину явлений.

Распространение света в планарном диэлектрическом волноводе рассмотрим на примере распространения одного нз световых лучей, который в результате полного внутрсинего отражения света от границ раздела пленка — подложка и пленка — покрытие двн-

Распознанный текст из изображения:

Учит ыаая, что

едыен еспс а

Пнсскессь Пнасксстс постоянней настениной амплитуды есюы

зспв /'г

япф=/с,=л,'

жется по зигзагообразному пути (рис. 1 4,б). Поскояьку явления

отражения и преломления на границах разлела лизлектриков иг-

рают важную роль в волнояопных процессах. напомним кратко

основные положения.

Рнс. !.4. Падение плоской волны ва станицу раздела лвух срел

Если на границу раздела двух сред без потерь (рис. 1.4,а) падасг под углом плоская однородная электромагнитная волна, го в системе каорпинат, представленной парис. 1.4, выражение для касательной компоненты электрического поли прошедшей волны можно представить следуюшим образом:

Е;=Е,ехр(!сх — й,(хсощт жпр)] (хс О),

где индексом «т «отмечены составляю!дне, каса сельные к поверх-

ности раздела; Ег =ех/е,сцм — постоянная распространения вол

ны, палаюшей под углом Ф в среде с показателем прсломлеиия л)!

углы Ф и Ф связаны законом преломления Снеллнуса;

где я =ах/е„р„г; л, = (г, л =ч/ег — показатели преломления

перяой и второй орел соответственно.

— — (л,/сь) — пп Ф

ссмжи,/1-з)п и = (знак

° /"

пан«с» перел корс сам взят из физических соображений), и подставляя созтс в выралсение лля Е,, получаем

ь.(н(4~7скн-'».! )*г 1с-к «1 с «

г

Плоская волна произвольной поляризации полностью отражается от гранины разлела двух сред, если угол паления р > Ф, где поФ„= яс//сг =лс/ссг. ПРоанатизиРУем выРажение (1.1).

)«««с'-. '

тельная веяичина лля всех у~лов падения Ф. Преломленная волна, как следует из (1,1), в этом сдучае явяяется плоской с постоянной амплитудой

2. ПУсть л, >г(, тогда дла Углов палениЯ Фсвк величина

»Г ° —:

(л, /л,)г -ппг ср — действительная величина н преломленная волна по-прежнему плоская одноролная. Если же Ф>Ф„,, то пи св> н,,слг и (г(~ /л )г -Япгсу — мнимал величина. В этом сдУ- чае, взяв перел корнем знак «минус«(что необходимо из физических условий убывания волны при х -к ), получим из (1.1)

,-ки" (-к(йгстй;скс'1*) ч(скк,с) сыс

При этом плоскости постоянной амплитуды определяются

° «~БР -Тк Тку*.

костлми постолнной фазыс (Егз(пр)лисопзг

Следовательно, при угвзх падения Ф> Ф прошедшая волна не является олноролной. Амгщитуда цревомяенной волны зкспоненциально за!ухает по мере удаления от границы раздела х = О, причем коэффициент затУханна и = 1, с//з(пг Ф - (лс /лг)г

Распознанный текст из изображения:

Поскольку плоскости постоянной фазы перпенлнкулярны границе раздела, то волна. описываемая выражением (1.2), распространяется влоль поверхности разлела (влоль оси От, рис 14,а) с постояшюй (зашср, а амплисуда ее зксцанснпнальна убывясс по нормали к поверхности разлсла. Такая волна, прижатая» к поверхности разлелв, назьсвается лааерхласишой. Она ьсожез супсес гвовагь галька пРн лт > ь( (сРеда, из котоРой падает плоскаЯ волна, оп и- чески более платная) н угле палсння срсср„

г'

Теперь рассмо~рим цланарный диэлектрический волновал (ри«1.4,б). Предположим, что внутри пленки луч идет к верхней границе. Если угол Хь между нормалью к поверхности пленки и направлением распространения луча больше критического угла па-

денна, апределеннасо выше (ср„= агсыпл, /ль), та прн л, э ц волг

ца будет полностью отражаться от верхней сранишя гшенки После эпьго отраженный лшс палаег на нижьцою границу пленки и испыплвает полное внУтРеннес атРаженне, сьосколькУ хь„,р =9>сус„(в этом случае р =агсмпл /ьь ) Следовательца, волна, распространяясь в аленке зишагообразно, осуществляет перенос энерпьи влоль нее. Рсзультируюшее поле в сиеике представляет собой сумму первоначальной и отраженной волн, пшш в ссоюьажке и покрьпии описывается выражением, аналогичным (1.2) Различные волноводиые молы (см.гл. 2) цредпшвляют собой зигзагообразные волны.

Таким образом, выше на основе лучевого полхода показана возможность сушестваяания в планарном лиэлсктрическач волноваде направляемой поверхностной электромагнитной валим. основная энергия которой сосредоточена внутри волновала

Далее перейдем к кояичествснному исследованию характеристик поверхностных волн, используя строгий подход ца основе решений уравнений Максвелла с соогветствуюшими граничными условиями. При этом осаоацос внимание уделим свабоднммь направляемым поверхностным волнам, г.е. волнам, це связанным с конкретными источниками их вазбужлепия. Возбужленне поверхностных волн является бочсш сложной залачей н требует отлель.- наго рассмотрения.

ВОЛНОВОДЕ

2.1. ИСХОДНЫЕ СООТНОШЕНИЯ СТРОГОЙ

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Пленочные диэлектрические волиоволы имеют некот шие черты с полыми ььетшчььическими вовноводами. В ча и те н другие мосус поддер.'кивать ограниченное число на ных типов волн-мол на любой заданной частоте, в обеих рах возможно преобразование мол, если форма волново

нохроматнческого поля с временной зависимостью сх(ц(сас), где

ы — круговая час сссга. Для опревеленил структуры электромагнит-

ного поля волн диэлектрического волновала необхолимо решить

систему уравнений Максвелла:

покрытие о,

а)

Рис 2.1 Планарный лиэлектрнческий волновал

орые обстности, правлен- струкгуда откчоняешя от илеаьсьной прямолинейной, н т.п В то же время имеются и суцсествеиные рашичия, вызванные в псрвукь очередь тем, что электромапситное поле исша суюествует стрита внутри металлических волноводов, а в ДВ она формалыю сушествуст во всем пространстве.

Исследуем направляемые (вояноаадные) моды на примере планарнаго регулярного лиэлектрическсьго волновала (рис. 2.1, а,б). Для простоты далее будем полапьть, что волновад является бесконечно протяженным в направлении оси 0У и изменения поля в этом направлении нет, т. е. д/ду=п Ограничимся сл) ьаем мо-

13

Распознанный текст из изображения:

гогЙ = геи,Е; гогЕ = -(вхг,й,

(2. ))

Р„= Е„(х)е '""',

(2:2)

ЭН, дн

х„;мгЕ дх ду

тле Е= Е„е ', Н= Н„е'"', е,, н, — абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемость с граничными условиями па поверхностях раздела х = О, х = г и физическим условием убывания поля при хна

Кюклое из уравнений (2. !) равносильно трем скалярным уравнениям.

ЭН, ЭН,

— ' — '=*'~~зб.'

ду Эх д)2 ЭН,

— — — =(си Е; дх дх

ЭЕ, ЭЕ„

— '- —" = -)ин„Н„;

ду дх

ЭЕ„ЭЕ;

— "- — '= -дыр,Н;

дх Эх

ЭЕ ЭЕ

— к- — -(н)ь,Н .

Эх ду

В соответствии с метолом комплексных амплитуд Е= Е е!":,

тле Š— комплекснав амгьзитуда. После сокршпення в (2.2), (2.3)

на дахр()ая) получим урввиения для комплексных амплитуд.

Залаиивг нз уравнений Максвечяа получить (2.5), (2.6).

Поскольку в направляющих линиях необходимо передаватв энергию из одного сечения в лругое в виде бегущих в направлении' оси Обводи„которые хвралчеризуются мзгожнгелсм бегущей вол-

ны ехрЦыг- Г ), то аналогично случаю полых мшатлических вохноволов решение (2.2), (2.3) для комплексных амплитуд Е ищем в виде

тле Е (х), У„(х) — комплексные алшлитуды, зависящие только

от х (дггду=б ); ! — коэффициент распространения волны в рассматривае мои с груктуре, (/м.

После подстановки (2.4) в (2.2), (2.3) посаелние разделяются на две следующие независимые подсистемы:

ЭН„,... Э Ею

-(ГН вЂ” — их = ГЕИ, Е„,' ГЕ, = -Оф,Н: — Ю. = — (Мр,Н (2 5)

-4ГŠ— — -шыр,Н 4 ГН „=не„Е; — "~=две.,Е, (2.6)

Из (2 5), (2:б) следует, что для рассматриваемого случая моды

делятся на волны типа Н (Ещ =О, Нш аб), определяемые уравнением (2,5), лла которых отличны от нуля только составляющие

Ею. Н„„Н,, и на волны типа Е (Н е О, Ь, вб), определяемые уравнением (2.6), для которых отличны от нуля только сосгашшю-

шнс Ню Е, Е„,.

Таким образом. для определения структуры возможных типов электромагнитных волн в диэлектрическом пленочном волноволе

лос~аточно найти продольную (вдоль оси ОЕ) Н, -компоненту лля

И-волн или Е,. -компоненту лля Е-волн, поскольку поперечные

Распознанный текст из изображения:

а)Е(),)

— '-Е)ЕО)=О прях<0, 8.

(2.86)

(2.8в)

р)Е„+/ф,Е =0; Р Н ухее Н,„=О

(2.7)

убывания паля при худ

82У', (2)

— чу+6)Е(2)"-О при Ояхя).

82

Е (х)=

,1 дх при х<О; Яе()ытСе 1)'х при О<х<(; Не"Р(х ") прил>(,

(2.ба)

(2.10)

гле А'=Дг -Г'=бе)Š— Г'1

2 2

17

16

компоненты затем можно вычислить, используя (2.5), (2.6). Из уравнений (2 5), (2.6) видно, что лля опрелеления структуры электром)н нигньы волн в диэлектрическом волноеодс удобно исполь-

зовать Е -компоненту для Н-волин Н у-компоненгул)ш Е волн.

Задание: пояснить последнее утверждение.

Известно, что каждая из компонент электромагнитного поля в каждой из областей на рис 2.!,б удовлепюряет одноролночу волновому уравнению

с соответствующими граничными условиями на )товерхностлх разделов х = О;1( и условию убывания при х — ) я, полагалось, по

И) 6 02 5 ив=де. В (27) де=а(сере)))2 =2л)ье — волновое число

бг

своболного пространства (хе — ллнна волны), ()2 = — „

еу)

оператор Лапласа; е, = ему'ее (ч = 1, 2, 3) — относительная дизлек

трическая пронипаемость сред.

2.2. ВОЛНЫ Н-ТИПА В АСИММЕТРИЧНОМ ПЛАНАРНОМ

ДИЭЛЕЕТРИЧЕСЕОМ' ВОЛНОВОДЕ

Исключив с(итавляющие Н.„и Н, из системы уравнений

(2.5) для Н-волп, приходим к последующим сиаярным уравнение

ям для Ею (х) в кюкдой из сред (рис. 2.!,6):

л, г 1-2 „2,1-2

82Е(3)

" — р'Ео' = О при х > г,

дх)

где р) .- Г) - 62 = Гг - Езе,

Задание: шш рассматриваемого случая раскрыть (2.7) для Р:„,

Н„и сравнить с (2.8).

Отличие записи (2.8а) ог (2.8б), (2.8в) обусловлено тем, что )лекгромагнитные волны, определяемые вне лиэлектричсского слоя О<х<), должны иметь характер поверкносгиой волны (см. (!.2)), т е пояс как бы «прилипает к поверхности разлела х = О; г и амплитуда уменылается при удалении от нее по экспоненпиальиому ')акопу. Величины 6, р. ге (2.8а) — (2.8в) — вещественные положительные числа

Нз грани не раздела х = О Ф (рис. 2.1,6) тангенциальные составляющие электрического и'магнитного полей лолжны удовлетворять граничным условиям (на (ранние раздела двух сред касательные компоненты электрического и магнитного паля ненрерывнм):

Ея ! -е Ееу!х=е' Еьу) и у!у=у(

Нп) ! Н(2) ~ . Н(2)1 Н(з) ~

Запи)пем решение уравнений (2.8а) — (2.8в) с учетом условия