Для студентов НИУ «МЭИ» по предмету Вычислительные методыВсе 27 номеров домашнего заданияВсе 27 номеров домашнего задания
2022-12-092022-12-09СтудИзба
ДЗ 1: Все 27 номеров домашнего задания вариант 16
Описание
Задание 1. Вычислить значение Z и оценить абсолютную и относительную погрешности результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления по дополнению. Записать результат с учетом погрешности. Указать верные цифры.
Задание 2. До скольких значащих цифр следует округлить число x0=10/7, чтобы погрешность вычисления величины f(x0 ) не превосходила 0,01%?
Задание 3. Локализовать корень нелинейного уравнения f(x)=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε2=0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε2 число итераций.
Задание 4. Дан многочлен третьей степени P(x)=x3+bx2+c. Методом Ньютона найти действительный корень многочлена, расположенный на интервале (-3, 0) с точностью ε=10-6
Задание 5. Вычислить нормы ‖∙‖1, ‖∙‖E, ‖∙‖∞ матрицы А и нормы ‖∙‖1, ‖∙‖2, ‖∙‖∞ вектора b.
Задание 6. Определить погрешность решения СЛАУ Ax=b, если элементы матрицы А заданы точно, а элементы вектора правых частей b получены в результате округления.
Задание 7. Решить систему уравнений Ax=b методом Гаусса (LU-разложения).
Задание 9. Решить систему уравнений Ax=b методом прогонки.
Задание 10. Решить систему уравнений Ax=b с точностью 0,05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя. Указание. Для обеспечения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.
Задание 12. Функция y=y(x) задана таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степеней. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов.
Задание 14. Для функции y=y(x), заданной таблицей своих значений, построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Используя их, вычислить приближенное значение функции в точке x0.
Задание 15. Для функции y=y(x), заданной таблицей своих значений, построить интерполяционный многочлен Ньютона. С его помощью вычислить приближенное значение функции в точке x0 и оценить практически погрешность приближения. Записать результат с учетом погрешности.
Задание 17. Вычислить приближенное значение интеграла ∫ab f(x)dx, используя квадратурные формулы: а) центральных прямоугольников с шагом h=0,4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0,4 и h=0,2 оценить погрешность последнего результата по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0,4.
Задание 20. Вычислить центральную и правую разностные производные функции f(x) с шагом h=0,1 в точке x0=(a+b)/2. Выполнить априорную оценку погрешности для каждой формулы, сравнить с точным значением производной. Записать результат с учетом погрешности.
Задание 22. Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
{ y'=f (t, y)
{ y(t0 )=y0
на отрезке [t0,T] с шагом h=0,2: а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.
Задание 25. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи
{ –y''+q(x)y=f(x)
{ y(0)=y0, y(1)=y1
с шагами h1=1/3, h2=1/6 и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.
Задание 27. Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
{ ∂u = k ∂2u + f(x,t), a ∂t ∂x2
{ u(a,t) = g1(t), u(b,t) = g2(t), 0{ u(x,0) = φ(x), a≤x≤b,
используя явную разностную схему. Взять h=(b-a)/10, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при τ=0,2τ,4τ,...,T.
Задание 2. До скольких значащих цифр следует округлить число x0=10/7, чтобы погрешность вычисления величины f(x0 ) не превосходила 0,01%?
Задание 3. Локализовать корень нелинейного уравнения f(x)=0 и найти его методом бисекции с точностью ε1=0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε2=0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε2 число итераций.
Задание 4. Дан многочлен третьей степени P(x)=x3+bx2+c. Методом Ньютона найти действительный корень многочлена, расположенный на интервале (-3, 0) с точностью ε=10-6
Задание 5. Вычислить нормы ‖∙‖1, ‖∙‖E, ‖∙‖∞ матрицы А и нормы ‖∙‖1, ‖∙‖2, ‖∙‖∞ вектора b.
Задание 6. Определить погрешность решения СЛАУ Ax=b, если элементы матрицы А заданы точно, а элементы вектора правых частей b получены в результате округления.
Задание 7. Решить систему уравнений Ax=b методом Гаусса (LU-разложения).
Задание 9. Решить систему уравнений Ax=b методом прогонки.
Задание 10. Решить систему уравнений Ax=b с точностью 0,05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя. Указание. Для обеспечения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.
Задание 12. Функция y=y(x) задана таблицей своих значений. Применяя метод наименьших квадратов, приблизить функцию многочленами 1-й и 2-й степеней. Для каждого приближения определить величину среднеквадратичной погрешности. Построить точечный график функции и графики многочленов.
Задание 14. Для функции y=y(x), заданной таблицей своих значений, построить интерполяционные многочлены в форме Лагранжа и Ньютона. Используя их, вычислить приближенное значение функции в точке x0.
Задание 15. Для функции y=y(x), заданной таблицей своих значений, построить интерполяционный многочлен Ньютона. С его помощью вычислить приближенное значение функции в точке x0 и оценить практически погрешность приближения. Записать результат с учетом погрешности.
Задание 17. Вычислить приближенное значение интеграла ∫ab f(x)dx, используя квадратурные формулы: а) центральных прямоугольников с шагом h=0,4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0,4 и h=0,2 оценить погрешность последнего результата по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0,4.
Задание 20. Вычислить центральную и правую разностные производные функции f(x) с шагом h=0,1 в точке x0=(a+b)/2. Выполнить априорную оценку погрешности для каждой формулы, сравнить с точным значением производной. Записать результат с учетом погрешности.
Задание 22. Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
{ y'=f (t, y)
{ y(t0 )=y0
на отрезке [t0,T] с шагом h=0,2: а) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найти точное решение задачи. Построить на одном чертеже графики точного и приближенных решений.
Задание 25. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи
{ –y''+q(x)y=f(x)
{ y(0)=y0, y(1)=y1
с шагами h1=1/3, h2=1/6 и оценить погрешность по правилу Рунге. Построить графики полученных приближенных решений.
Задание 27. Найти приближенное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности
{ ∂u = k ∂2u + f(x,t), a ∂t ∂x2
{ u(a,t) = g1(t), u(b,t) = g2(t), 0{ u(x,0) = φ(x), a≤x≤b,
используя явную разностную схему. Взять h=(b-a)/10, шаг τ выбрать из условия устойчивости. Изобразить графики зависимости приближенного решения от x при τ=0,2τ,4τ,...,T.
Файлы условия, демо
Характеристики домашнего задания
Предмет
Учебное заведение
Семестр
Номер задания
Вариант
Программы
Теги
Просмотров
58
Покупок
0
Качество
Идеальное компьютерное
Размер
144,69 Kb
Список файлов
- реш16.docx 144,69 Kb
Хочешь зарабатывать на СтудИзбе больше 10к рублей в месяц? Научу бесплатно!
Начать зарабатывать
Начать зарабатывать