Для студентов МГТУ им. Н.Э.Баумана по предмету Уравнения математической физики (УМФ)Дз 1,вариант 11Дз 1,вариант 11 2020-10-18СтудИзба

ДЗ: Дз 1,вариант 11

Описание

Описание файла отсутствует

Характеристики

Учебное заведение
Семестр
Просмотров
368
Скачиваний
40
Размер
5,8 Kb

Список файлов

Овечкин,Дз 1

# Файл: "...Ps_МГТУ\УрМатФиз\ПриведКканВиду\п2_П ривУрПарТипа.mws"

# 02.10.14. Титов К.В. Вариант 30 из Д.З.

# Исх файл: "...Изд-во\Книга_1_ПоСКМ\КнигаПоСКМ_ИсхТ екст+Прогр\Гл7\Пар1\

# п2_ПривУрПарТипа.mws"

# 2. Решение уравнения с частными производными параболического типа.

> restart;

# *) Рассмотрим пример с интерактивным выбором параметров уравнения и новых пере-

# менных. Пусть заданы следующие коэффициенты уравнения:

> a[1, 1] := 1; a[1, 2] := x^2; a[2, 2] := x^4;

1

2

x

4

x

;

> F:=diff(u(x,y),x)+(x^2+2*x)*diff(u(x,y), y);

/ d \ / 2 \ / d \

|--- u(x, y)| + \x + 2 x/ |--- u(x, y)|

\ dx / \ dy /

;

# Примечание. Здесь везде *) - означает задание исходных данных пользователем или

# передачу в последующий алгоритм предыдущего выражения.

# Запишем само линейное дифференциальное уравнение с частными производными

> de:=a[1,1]*diff(u(x,y), x$2)+2*a[1,2]*diff(diff(u(x,y),x),y)+a[2 ,2]*diff(u(x,y), y$2)+F=0;

/ d / d \\ 2 / d / d \\

|--- |--- u(x, y)|| + 2 x |--- |--- u(x, y)||

\ dx \ dx // \ dy \ dx //

4 / d / d \\ / d \

+ x |--- |--- u(x, y)|| + |--- u(x, y)|

\ dy \ dy // \ dx /

/ 2 \ / d \

+ \x + 2 x/ |--- u(x, y)| = 0

\ dy /

;

# *) Введем обозначения, указывая на то, относительно какой переменной заданы началь-

# ные условия (выберите обозначение х0 или у0 - это важно для дальнейшего построения

# алгоритма!)

> x0:=0: p:=x0: u0:=y^2: du0:=y:

# и зададим начальные условия:

> if p=x0 then yx0:=u(x0,y)=u0,D[1](u)(x0,y)=du0:

> else yx0:=u(x,y0)=u0,D[2](u)(x,y0)=du0 fi:

> yx0;

2

u(0, y) = y , D[1](u)(0, y) = y

;

# *) Здесь оператор D имеет следующую семантику (обозначению х0 или у0

# соответствует номер переменной в операторе D[№]

> D[1](u)(x0,y)=y: convert(%,diff);

/ d \

eval|---- u(t1, y), {t1 = 0}| = y

\ dt1 /

;

# Вычислим критерий, по которому определим тип дифференциального уравнения, указав

# на ограничения переменных (здесь это не обязательно делать)

> `assume(x>0,y>0);`:

> di:=simplify(eval(a[1,2]^2-a[1,1]*a[2,2] )); evalb(di=0); zn:=signum(di);

0

true

0

;

# Функция signum(di) имеет три значения:

#

# Введём ещё один параметр dii

> dii:=factor(di); qdii:=sqrt(dii);

0

0

;

# В соответствии с вычисленным критерием di проведем выбор типа уравнения с помощью

# логического блока, используя zn

> if zn>0 then tip:=`гиперболический`

> else if zn=0 then tip:=`параболический`

> else tip:=`эллиптический` fi:fi:

# и дадим его визуализацию на дисплее

> tip; # Ответ:

параболический

;

# Составляем характеристическое уравнение, считая одну из переменных x или y функцией

# другой: и выбираем то из них, которое проще.

>

;

# *) Поэтому будем считать x функцией от y, то есть x(y). Для этого проведем замену x на

# x(y) в коэффициентах a[1,2], a[1,1] (здесь этого делать не надо, так как в a[1,2],

# a[1,1] x не входит)

# Примечание. Если считать y функцией от x, то есть y(x), тогда

> A[1,2]:=subs(y=y(x),a[1,2]);A[1,1]:=subs (y=y(x),a[1,1]);A[2,2]:=subs(y=y(x),a[2, 2]);

2

x

1

4

x

# Такая замена необходима для правильной работы Maple при решении характеристичес-

# кого уравнения. С учетом проведенной замены запишем характеристическое уравнение,

# распадающееся на два, для каждого из которых получим его решение

> y1:=diff(y(x),x)=(A[1,2]+sqrt(A[1,2]^2-A [1,1]*A[2,2]))/A[1,1];

d 2

--- y(x) = x

dx

;

> y2:=diff(y(x),x)=(A[1,2]-sqrt(A[1,2]^2-A [1,1]*A[2,2]))/A[1,1]:

# Найдем решение для ух1

> dsolve(y1);

1 3

y(x) = - x + _C1

3

;

>

;

# Если тип уравнения параболический, то ух1=ух2 и рассматривать надо одно из них.

# Из полученных решений надо оставить одно - действительное решение, записав его как

# общий интеграл.

# Находим решение составленного таким образом характеристического уравнения:

> dsolve(y1);

1 3

y(x) = - x + _C1

3

;

# Итак, записываем одну из новых переменных, снова возвращаясь к х и у

> xi:=(x,y)->x^3/3-y;

1 3

(x, y) -> - x - y

3

;

# Для параболического типа уравнения, вторую из новых переменных выбирают произ-

# вольно, но так, чтобы она была линейно независима с первой и пребразование точек

# плоскости (х0у) в точки плоскости (xi0eta) оставалось взаимно однозначным. (По этой

# причине нельзя eta выбрать как константу, но можно приравняь eta=x).

# Пусть таковой будет

> eta:=(x,y)->x;

(x, y) -> x

;

# *) Зависимости xi(x,y) и eta(x,y) должны допускать взаимно однозначное преобразование

# одних переменных в другие, то есть x(xi,eta) y(xi,eta). Поэтому в общем случае последние

# зависимости следует найти из системы двух уравнений:

> solve({xi=x^3/3-y,eta=x},{x,y});

/ 1 3 \

{ x = eta, y = - eta - xi }

\ 3 /

;

# Примечание. Здесь везде *) - означает передачу в алгоритм предыдущего выражения.

> allvalues(%); # опция используется в случае возникновения RootOf(expr).

/ 1 3 \

{ x = eta, y = - eta - xi }

\ 3 /

;

# *) Из всех полученных значений, как при eta(x,y)=x, когда появляется функция RootOf(expr)

# {x = eta, y = RootOf(_Z^3-3*eta-3*xi, label = _L2)};, в силу вышесказанного выберем дейст-

# вительную пару и запишем её с именами xp и yp.

> yp:=-xi+1/3*eta^3; xp:=eta;

1 3

- eta - xi

3

eta

;

# При необходимости произведем их подстановку при переходе к новым переменным.

# Напомним, что переход к новым переменным должен привести к уравнению

> de1 := a1[1, 1]*(diff(u(eta, xi), xi, xi))+2*a1[1, 2]*(diff(u(eta, xi), eta, xi))+a1[2, 2]*(diff(u(eta, xi), eta, eta))+F1 = 0;

/ d / d \\

a1[1, 1] |---- |---- u(eta, xi)||

\ dxi \ dxi //

/ d / d \\

+ 2 a1[1, 2] |---- |----- u(eta, xi)||

Комментарии

Поделитесь ссылкой:
Рейтинг5,00
0
0
0
0
1
Поделитесь ссылкой:
Сопутствующие материалы
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Нет! Мы не выполняем работы на заказ, однако Вы можете попросить что-то выложить в наших социальных сетях.
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
3631
Авторов
на СтудИзбе
901
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее