Ответы: Рк 1,11 вар

# Файл: "...КомпТехн\Maple\УМФ\РешГипУр_W.mws" Титов К.В. 30.10.12

# см. файл: "...КомпТехн\Maple\УМФ\РешГипУрВ_MapleMW S.mws"

# Решения в СКМ Maple.

# Лекция № ____

# Реквизиты, отмеченные звездочкой *), необходимо задать самостоятельно.

> restart;

# Рассмотрим нахождение компоненты w(x,t) решения волнового уравнения u(x,t), которое

# будем искать в виде u(x,t)=z(x,t)+w(x,t)+v(x,t) на примере колебания струны длиной L.

# Компоненту w(x,t) будем определять из однородного уравнения

> diff(w(x, t), t, t) = a^2*(diff(w(x, t), x, x));

d / d \ 2 / d / d \\

--- |--- w(x, t)| = a |--- |--- w(x, t)||

dt \ dt / \ dx \ dx //

;

# Д а н о:

# Зададим краевые условия в общем виде:

# - начальные - w(x,0)=f1(x); D[2](w)(x,0)=F1(x);

>

# семантику оператора D[2](w)(x,0) можно определить путем конвертирования в diff:

> D[2](w)(x,0): convert(%,diff):

# - здесь граничные условия - w(0,t)=0; w(L,t)=0;

# *) Параметры решаемой задачи:

> L:=1: a:=1:# L - длина струны.

;

# *) Укажем функции, задающие начальные условия:

> f1:=x->0; F1:=x->x^2/L^2;

x -> 0

2

x

x -> --

2

L

;

# При этом 0<x<L, t>0, что во многом обусловлено представлением решения в виде ряда.

# Далее построение решения идет в автоматическом режиме в соответствии с методикой

# его компьютерного изложения и позволяет вести детальный анализ каждого промежу-

# точного результата.

# Запишем дифференциальное уравнение с частными производными, решение которого

# как было сказано выше требуется найти, в удобном для дальнейших вычислений виде:

> de:=a^2*diff(w(x,t),x$2)-diff(w(x,t),t$2 )=0;

/ d / d \\ / d / d \\

|--- |--- w(x, t)|| - |--- |--- w(x, t)|| = 0

\ dx \ dx // \ dt \ dt //

;

# Для решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего выше записанным кра-

# евым условиям, введем обозначение W(x,t) вместо w(x,t).

# Примечание. При такой постановке задачи (см. файл: "...КомпТехн\Maple\УМФ\

# РешГипУрВ_MapleMWS.mws" ) получили нулевые граничные условия:

# W(0,t)=w(0,t)-z(0,t)=0 и W(L,t)=w(L,t)-z(L,t)=0, что очень важно для дальнейшего построения

# алгоритма.

# Обратим внимание на семантику опции assume, указывающей на свойства параметров,

# участвующих в вычислениях. Будем использовать эту опцию при упрощении выражений.

# Укажем на свойство параметра n и введем обозначения:

> assume(n,integer): omegan:=Pi*n*a/L: N:=infinity:

# Запишем компоненту W(x,t) решения u(x,t).

# Начнем с вычисления коэффициентов ряда Фурье:

# - запишем коэффициенты ряда Фурье для функций начальных условий:

> A := proc (n) options operator, arrow; 2*(int(f1(x)*sin(Pi*n*x/L), x = 0 .. L))/L end proc; A(n);

/ / /Pi n x\ \\

2 |int|f1(x) sin|------|, x = 0 .. L||

\ \ \ L / //

n -> --------------------------------------

L

0

;

> B := proc (n) options operator, arrow; 2*(int(F1(x)*sin(Pi*n*x/L), x = 0 .. L))/(Pi*n*a) end proc; B(n);

/ / /Pi n x\ \\

2 |int|F1(x) sin|------|, x = 0 .. L||

\ \ \ L / //

n -> --------------------------------------

Pi n a

/ 2 2 n (1 + n) \

2 \Pi n (-1) + 2 (-1) + 2/

- ------------------------------------

4 4

Pi n

;

# Теперь запишем выражение компоненты W(x,t):

> `n:='n';`:

> W := proc (x, t) options operator, arrow; sum((A(n)*cos(omegan*t)+B(n)*sin(omegan* t))*sin(Pi*n*x/L), n = 1 .. N) end proc; W(x, t);

N

-----

\

) /

(x, t) -> / (A(n) cos(omegan t) + B(n) sin(omegan t)) sin|

----- \

n = 1

Pi n x\

------|

L /

1

----- (polylog(2, -exp(I Pi (t + x)))

2

2 Pi

- polylog(2, -exp(I Pi (t - x)))

- polylog(2, -exp(-I Pi (t - x)))

1

+ polylog(2, -exp(-I Pi (t + x)))) - --- (polylog(4,

4

Pi

-exp(I Pi (t + x))) - polylog(4, -exp(I Pi (t - x)))

- polylog(4, -exp(-I Pi (t - x)))

1

+ polylog(4, -exp(-I Pi (t + x)))) - --- (

4

Pi

-polylog(4, exp(I Pi (t + x))) + polylog(4, exp(I Pi (t - x)))

+ polylog(4, exp(-I Pi (t - x)))

- polylog(4, exp(-I Pi (t + x))))

;

# Итак, имеем решение дифференциального уравнения de в окончательном виде:

> W(x,t):=simplify(W(x,t));

1 / 2

- ----- \-polylog(2, -exp(I Pi (t + x))) Pi

4

2 Pi

2

+ polylog(2, -exp(I Pi (t - x))) Pi

2

+ polylog(2, -exp(-I Pi (t - x))) Pi

2

- polylog(2, -exp(-I Pi (t + x))) Pi

+ 2 polylog(4, -exp(I Pi (t + x)))

- 2 polylog(4, -exp(I Pi (t - x)))

- 2 polylog(4, -exp(-I Pi (t - x)))

+ 2 polylog(4, -exp(-I Pi (t + x)))

+ 2 polylog(4, exp(-I Pi (t - x)))

- 2 polylog(4, exp(-I Pi (t + x)))

+ 2 polylog(4, exp(I Pi (t - x)))

\

- 2 polylog(4, exp(I Pi (t + x)))/

;

# *) Введем обозначение NN-й частичной суммы полученного решения и запишем его

> NN:=20: Wn:=(x,t)->sum(-(2*(Pi^2*n^2*(-1)^n+2*(- 1)^(1+n)+2))/(Pi^4*n^4)*sin(Pi*n*t)*sin( Pi*n*x),n = 1 .. NN);

NN

-----

\ /

) |

(x, t) -> / |-

----- |

n = 1 \

/ 2 2 n (1 + n) \ \

2 \Pi n (-1) + 2 (-1) + 2/ sin(Pi n t) sin(Pi n x)|

---------------------------------------- --------------------|

4 4 |

Pi n /

;

# Проверка. Подставим полученное решение W(x,t) в исходное дифференциальное уравне-

# ние de:

> re:=subs(w(x,t)=W(x,t),de):

# В правильности полученного решения можно убедиться, запустив процедуру упроще-