Введение в теорию массового обслуживания, страница 3

Например, интенсивность потока отказовтехнического устройства, как правило, является функцией времени () и на графике (рис. 2) представляет собой известнуюU-образную кривую. Неисправности приборов случаются чащевсего в начале и в конце срока их эксплуатации. Любопытно,что и человек болеет чаще всего в молодости и в старости. Достоверную статистику по выходу из строя бытовой техники можнонайти в соответствующих мастерских. Естественно, статистикаотказов оборудования ведется на транспорте, на производстве ив других сферах деятельности человека.Для нижней части U-образной кривой характерен пологий уча-21Рис.

2.Кривая отказов технического устройствасток, на котором интенсивность отказов можно считать постоянной (участок AB на рис. 2).Теперь вернемся к заголовку параграфа. Поскольку простейшийпоток мы определили как стационарный, заголовок может показаться противоречивым. Однако в данном случае речь идет всеголишь о новом определении: простейший нестационарный поток– это ординарный поток без последействия. Простейший нестационарный поток также называют пуассоновским потоком.Поскольку в нестационарном потоке вероятность появления k событий на интервале зависит не только от длины интервала, нои от его начала 0 , в дальнейшем будем обозначать (0 , ) вероятность появления k событий на интервале (0 , ) . Добавим кординарности условие, соответствующее условию леммы из § 1.2.22Тогда>1 (, + ℎ) = ∘(ℎ),1 (, + ℎ) = () · ℎ + ∘().(9)Подставим в равенство0 (, + ℎ) + 1 (, + ℎ) + >1 (, + ℎ) = 1выражения (9) и придем к равенству0 (, + ℎ) = 1 − () · ℎ + ∘(ℎ).(10)Подставив (10) в равенство0 (0 , + ℎ) = 0 (0 , ) · 0 (, + ℎ),после несложных преобразований получим:0 (0 , + ℎ) − 0 (0 , )= −() · 0 (0 , ) + ∘(ℎ).ℎ(11)Аналогично (0 , + ℎ) =∑︁ (0 , ) · − (, + ℎ).=0Повторив рассуждения из § 1.2, получим отношение (0 , + ℎ) − (0 , )= −()·[−1 (0 , )− (0 , )]+∘(ℎ).

(12)ℎ23Устремив в (11) и (12) ℎ к нулю, получим бесконечную системудифференциальных уравнений:⎧0 (0 ,)⎪⎪= −() · 0 (0 , );⎪⎪⎪⎪⎪1 (0 ,)⎪= −()(0 (0 , ) − 1 (0 , ));⎪⎪⎨ ...⎪⎪⎪⎪ (0 ,)⎪= −()(−1 (0 , ) − (0 , ));⎪⎪⎪⎪⎪⎩. . .(13)Введем вспомогательную функцию −1 (0 , ) ≡ 0.

Тогда (0 , )= () · [−1 (0 , ) − (0 , )].∀ ≥0(14)Введем производящую функцию(0 , , ) =∞∑︁ (0 , ) · .(15)=0Умножим левые и правые части уравнений (14) на соответствующие степени и просуммируем их.∞∑︁ (0 , )=0· = () · [∞∑︁−1 (0 , ) − (0 , ) ],=0(0 , , )= ()·(0 , , )·(−1),24 ln (0 , , )= ()·(−1).Проинтегрируем последнее равенство по :∫︁ln((0 , , )) − ((0 , 0 , )) = ( − 1) ·().0Из начальных условий:0 (0 , 0 ) = 1, 1 (0 , 0 ) = · · · = (0 , 0 ) = · · · = 0 следует∫︀ (0 , 0 , ) = 1. Введем обозначение Λ(0 , ) = 0 () · .

Тогда(0 , , ) = (−1)Λ(0 ,) Λ(0 ,) == −Λ(0 ,) · Λ(0 ,) =∞∑︁[Λ(0 , )] = −Λ(0 ,) ·· .!(16)=0Приравняв в (15) и (16) коэффициенты при соответствующихстепенях , получим: (0 , ) =Пусть[Λ(0 , )] −Λ(0 ,)·.!(17)∫︀ ()Λ(,)0¯== 0 − 0( − 0 )– средняя интенсивность входящего потока на интервале (0 , ),¯ · и уравнение = − 0 – длина интервала. Тогда Λ(0 , ) = (17) примет вид (0 , ) =¯ · ][¯· −· .!Таким образом, мы снова пришли к формуле Пуассона.25Глава 2. Марковская модель СМОФункционирование СМО мы будем рассматривать как случайный процесс с непрерывным временем и дискретныммножеством состояний.

Следовательно, в любой момент вре-мени ∈ [0; +∞) система находится в одном состоянии из заданного конечного или счетного набора.Например, в цехе имеется десять однотипных станков. Станкиобслуживает один мастер по ремонту. Таким образом, соответствующая система может находиться в одном из 11 состояний:0 – все станки исправны, 1 – один в ремонте и девять в рабочем состоянии, 2 – один в ремонте, один в очереди на ремонти восемь работают, . . . , 10 – один в ремонте и девять в очереди.

Очевидно, момент отказа станка и время, необходимое дляустранения неисправности, – случайные величины. В процессефункционирования система иногда переходит из одного состояния в другое. Более того, теоретически в любой момент временисистема может находиться в любом из перечисленных выше состояний. Поэтому имеет смысл говорить только о вероятностяхсоответствующих состояний: 0 (), 1 (), 2 () .

. . 10 ().Случайный процесс называется марковским, если для любогомомента времени условные вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от состояния системы в момент ине зависят от того, когда и каким образом она пришла в это состояние. Иначе говоря, будущее зависит от прошлого только через настоящее. Марковский процесс называют также процессом26без последействия. Мы будем считать процесс функционирования СМО марковским. Хотя марковская модель СМО не является единственно возможной, она достаточно адекватно отражаетширокий класс реальных систем.Пусть система в любой момент времени может находиться в одном из возможных состояний , где = 1, 2, . . .

. В частности, не исключается случай = ∞. То есть множество исходовне более чем счетно. Иногда нам будет удобней говорить не «состояние », а «i-е состояние». Нумерацию состояний мы частобудем начинать не с единицы, а с нуля. Сделаем допущение, чтовероятность перехода системы за время ℎ из − в − состояниезадается равенством (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ), где ̸= .(18)То есть на небольшом интервале времени вероятность переходасистемы из i-го в j-е состояние пропорциональна длине интервала.

Равенства (18), очевидно, делают процесс марковским. Величину , где ̸= , назовем интенсивностью перехода из i-гов j-е состояние. В общем случае могут зависеть от времени,но здесь мы ограничимся случаем постоянных интенсивностей.Равенства (18) аналогичны равенству, доказанному в первой главе для простейшего потока 1 (ℎ) = · ℎ + ∘(ℎ) . Более того, сампоток однородных событий можно интерпретировать как случайный процесс накопления событий. Пусть () – число собы27тий, произошедших до момента .

Каждая реализация такогослучайного процесса представляет собой ступенчатую функцию(рис. 3), значение которой увеличивается на единицу с появлением очередного события.Рис. 3.Простейший поток как случайный процессМожно также связать описанный случайный процесс с системой,имеющей множество состояний , где = 0, 1, 2, . . . , . В данномслучае i – количество событий. Тогда интенсивности переходов:⎧⎨, если = + 1, где , = 0, 1 . . . ∞; =⎩0, иначе.Здесь под мы, как и в первой главе, подразумеваем интенсивность входящего потока событий.

В данном случае на множествесостояний 0 , 1 , 2 , . . . допустимы только переходы слева направо в порядке возрастания номеров.СМО с дискретным множеством состояний мы часто будем схематически представлять в виде направленного графа, вершинами которого являются состояния, а дугами – допустимые переходы из одного состояния в другое.28§ 2.1. Уравнения КолмогороваПусть состояния СМО занумерованы натуральными числами == 1, 2, . .

. . Заметим, что вероятность (18) перехода (ℎ) = ( (+ℎ)/ ()) – условная вероятность, иначе говоря,вероятность того, что система в момент времени + ℎ оказаласьв состоянии при условии, что в момент система находиласьв состоянии . Разумеется, = 1, 2, . . . .Если здесь настоящее, то, таким образом, вероятности всех возможных состояний в будущем зависят только от состояния в настоящем.

Обозначим также (ℎ) = ( ( + ℎ)/ ())– вероятность того, что система за время ℎ не изменит текущеесостояние. Поскольку находящаяся в состоянии система завремя ℎ либо перейдет в какое-либо иное состояние, либо останется в ,∑︁ (ℎ) = 1, откуда (ℎ) = 1 −=1∑︁ (ℎ).̸=По формуле полной вероятности ( + ℎ) =∑︁ () · (ℎ) + () · (1 −̸=∑︁̸=29 (ℎ)).Подставим в последнюю формулу значения из (18), получим: ( + ℎ) =∑︁ ()( · ℎ + ∘(ℎ)) +̸=+ () · (1 −∑︁( · ℎ + ∘(ℎ))) ≠==∑︁ · ℎ · () + () · (1 −̸=Отсюда∑︁ · ℎ) + ∘(ℎ).̸=∑︁ ( + ℎ) − () ∑︁= · () − ().ℎ̸≠=Устремив ℎ к нулю, получим линейное дифференциальное уравнение, соответствующее k-му состоянию системы:′ () =∑︁ · () −̸=∑︁ ().(19)̸=Уравнения (19) для всех состояний СМО образуют систему уравнений Колмогорова, описывающую работу произвольной СМО спостоянными интенсивностями переходов:⎧∑︀⎪⎪1′ () = − ̸=1 1 · 1 () + 21 · 2 () + · · · + 1 · ();⎪⎪⎪⎪∑︀⎪ ′⎨2 () = 12 · 1 () − ̸=2 2 · 2 () + · · · + 2 · ();⎪⎪...⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ′ () = 1 · 1 () + 2 · 2 () + · · · − ∑︀̸= · ().Начальные условия обычно имеют вид 1 (0) = 1 , 2 (0) = 3 (0) == · · · = (0), поскольку в начале работы СМО находится в неко30тором исходном состоянии.Рассмотренной выше СМО соответствует полный направленныйграф, т.

е. допускаются переходы из любого состояния в любоедругое. Граф реальной СМО, скорее всего, окажется неполным.Однако для нас это будет означать только то, что в системе уравнений (19) некоторые интенсивности переходов следует приравнять к нулю.§ 2.2. Одноканальная СМО с отказамиСамая простая СМО – одноканальная с отказами (рис. 4).Рис. 4.Одноканальная СМО с отказамиЭта система в любой момент времени может находиться в одномиз двух состояний. Состояние 0 – единственный канал свободен, 1 – канал занят обслуживанием заявки.

Если в моментпоступления очередной заявки канал занят, заявка получает отказ, т. е. теряется. Как видно на схеме, интенсивности переходов01 = и 10 = . Здесь – интенсивность входящего потока, – интенсивность потока обслуживания. Предполагается, чтовремя обслуживания – случайная величина с экспоненциальнойплотностью распределения () = · −· .