Учебно-методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТАлгебра и геометрия1 семестрУчебно-методическое пособиеДля студентов очно-заочной и заочной форм обученияинститутов РТС, ИТ, ЭлектроникиМОСКВАМИРЭА20162Составители: Кузнецова Е.Ю., Морозова Т.А., Малыгина О.А.,Таланова Л.Н., Чекалкин Н.С.ВведениеПособие разработано коллективом преподавателей кафедры высшейматематики-2 Московского технологического университета (МИРЭА) длястудентов очно-заочной и заочной форм обучения институтов РТС,Информационных технологий и Электроники.

Пособие содержит списоктеоретических вопросов для подготовки к экзамену (зачету) по курсу алгебры игеометрии 1-го семестра, перечень рекомендуемой литературы. Приведеныпримерные варианты контрольных работ по курсу, образец билета, а такжетиповой расчет.Методические указанияДля студентов очно-заочной формы обучения по курсу «Алгебра игеометрия» (1-ый семестр) рекомендуется проведение двух контрольных работ.Для студентов очной формы обучения рекомендуется проведениеконтрольной работы №1.Контрольная работа №1 проводится по теме «Алгебра матриц.

Решение системлинейных уравнений».Примерный вариант контрольной работы №11. Вычислить определитель матрицы:2. Решить матричное уравнение:2X 312 1 230 3461   13 1. Сделать проверку.3. Решить систему уравнений двумя способами: методом Крамера и с помощьюобратной матрицы (при нахождении обратной матрицы проверка обязательна): x1  2 x 2  3 x 3  0 2 x1  x 2  4 x 3  53 x1  x 2  x 3  2.34. Найти общее решение линейной однородной системы уравнений методом x1  3 x 2  x 3  2 x 4  0 2 x1  5 x 2  4 x 3  3 x 5  0Гаусса. Сделать проверку. x1  2 x 2  3 x 3  2 x 4  3 x 5  05.

Найти общее решение линейной неоднородной системы методом Гаусса.3 x1  5 x 2  2 x 3  4 x 4  257 x1  4 x 2  x 3  3 x 4 Сделать проверку.5 x1  7 x 2  4 x 3  6 x 4  3Контрольная работа №2 проводится по теме «Скалярное, векторное исмешанное произведение. Прямая и плоскость».Примерный вариант контрольной работы №21. Даны точки A( 1; 0;-1), B( 0; 2;-3), C( 2; 4; -2), D(-2; 6; 2).

Найти:- величину внутреннего угла при вершине А в треугольнике ABC;- площадь треугольника ABC;- объем тетраэдра DABC.2. Даны точки A( -2; 7; 3), В( 1; -2; 8), С (1, 1, 6). Составить:- уравнение плоскости, проходящей через эти три точки;- каноническое и параметрическое уравнение прямой АВ.3. В треугольнике АВС с вершинами A( -2; 7; 3), В( 1; -2; 8), С (1, 1, 6) проведенамедиана АД. Найти длину медианы. Составить ее каноническое уравнение.Замечание: по усмотрению преподавателя количество задач контрольных работможет быть изменено.Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной тетради всоответствии с назначенным ему номером варианта. Студент подробно описываетрешение каждой задачи, объясняет решения задач преподавателю, отвечает навопросы.

Наличие выполненного типового расчета является обязательнымусловием допуска студента на экзамен или зачет.По итогам обучения на основе учебного плана проводится экзамен илизачет.Примерный вариант экзаменационного (или зачетного) билета1. Решить уравнениеAX B, где 1A   12  3, 1 2 5B   4  31.Сделать проверку.42. Решить систему уравнений3 x  2 y   32 x  у  1методом Крамера.3. Найти общее решение системы линейных уравнений, сделать проверку, x1  2 x 2  2 x 3  3 x 4  42 x1  5 x 2  x 3  4 x 4  9 x1  3 x2 x3  x4 54. Даны вершины треугольника A ( 1 , 2  1 ) , B ( 5 , 5 ,1 ) , C ( 3 , 8 ,  3 ) . Составитьканоническое и параметрическое уравнение медианы АД.5. Найти длину высоты пирамиды АВСD, опущенной из вершины D, еслиD ( 6 , 8 ,1 ) .A ( 1 , 2  1 ) , B ( 5 , 5 ,1 ) , C ( 3 , 8 ,  3 )6.

Определение гиперболы. Составить уравнение гиперболы с фокусами в точках3 .Сделать чертеж.F (  6 , 0 ) и F ( 6 , 0 ) и эксцентриситетом равным7. Теоретический вопрос (из списка теоретических вопросов).12Теоретические вопросы по курсу1. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.Транспонирование матриц.

Основные свойства этих операций.2. Определители 2-го и 3-го порядка. Основные свойства определителей.Методы вычисления.3. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы. Решениематричных уравнений и систем линейных уравнений с помощью обратнойматрицы.4. Понятие ранга матрицы. Элементарные преобразования матриц. Сохранениеранга матриц при элементарных преобразованиях.5. Системы линейных уравнений: однородные и неоднородные, совместные инесовместные. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.ТеоремаКронекера-Капелли.

Теорема о существовании нетривиального решенияоднородной системы. Фундаментальная система решений. Общее решениесистемы линейных уравнений.6. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейныхопераций. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам на плоскости ипо трем некомпланарным векторам в пространстве. Понятие базиса.7. Скалярное произведение векторов, свойства, координатное выражение.8.

Векторное произведение векторов. Геометрические и алгебраическиесвойства векторного произведения, его координатное выражение.9. Смешанное произведение векторов. Геометрические и алгебраическиесвойства смешанного произведения, его координатное выражение.10. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей череззаданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Взаимное расположениедвух плоскостей.

Угол между плоскостями.511. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей черездве различные точки. Параметрические уравнения прямой. Прямая как линияпересечения плоскостей. Взаимное расположение двух прямых, прямой иплоскости в пространстве.12. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.Выводы уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрическихсвойств.13.

Исследование формы эллипса, гиперболы и параболы по их каноническимуравнениям. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Директрисы эллипса игиперболы.14. Поверхности второго порядка в пространстве: эллипсоид, гиперболоиды,параболоиды, конусы, цилиндрические поверхности. Канонические уравненияповерхностей второго порядка. Примеры.Рекомендуемая литература1. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И.Вся высшая математика.

Том 1- 4. М.: URSS, 2005.2. Краснов М.Л., Киселев А.И. и др., Вся высшая математика, ч.1.М: Эдиториал УРСС, 2012.3. Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч.1./Под ред.А.В. Ефимова и А.С. Поспелова – М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2003.4. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. –М.: Проспект, 2012.6Основные типы задачпо курсу «Алгебра и геометрия» (1-ый семестр)Задача 1. Вычислить определитель.181 1 −23 6 −2|1 062 3523456726|0421|3005|4−10 −1 33 −9 0|2 −1 320 67211 −10|4025 −1 −34 −5 −1 −5−328 −2||1353−2 4 −683 235241 0||1 −2 2 151 −2 434|1023010 −5−50|−23−3402 −1 234 12||2 −1 0112 3 −29101112131435|−2−112 00 −6 1|21 332 131 −1 0321 −1||12 −1 3401 250 4 21 −1 2 1||41 2 011 1 162 −10 41−5 −7 −4||24 −2 −630 −54−1 −241230 6||2 −21431 −2 −11234−21 −43||3 −4 −1243 −2 −1−11|−221 −2 322 3|31 03 −2 07Задача 2.

Решить систему по формулам Крамера. Сделать проверку.1.2.3.4.2 1 + 2 + 33 = 7{ 21 + 32 + 3 = 131 + 22 + 3 = 621 − 2 + 23 = 3{ 1 + 2 + 23 = −44 1 + 2 + 4 3 = −33 1 − 2 + 3 = 12{ 1 + 22 + 43 = 651 + 2 + 23 = 321 − 2 + 33 = −4{ 1 + 32 − 3 = 111 − 2 2 + 2 3 = −731 − 22 + 43 = 125.

{ 3 1 + 42 − 2 3 = 62 1 − 2 − 3 = −981 + 32 − 63 = −41 + 2 − 3 = 26. {4 1 + 2 − 3 3 = −51 − 22 + 33 = 1412.{ 2 1 + 32 − 4 3 = −163 1 − 2 2 − 5 3 = −831 + 42 − 23 = 1113.{ 2 1 − 2 − 3 = 43 1 − 2 2 + 4 3 = 1141 + 2 − 33=9= −27. { 1 + 2 − 38 1 + 32 − 6 3 = 1221 + 32 + 43 = 33= 248. { 7 1 − 524 1+ 11 3 = 392 1 + 32 + 43 = 129. {7 1 − 52 + 3 = −3341+ 3 = −71 + 42 − 3=652 + 43 = −2010.{3 1 − 2 2 + 5 3 = −2231 − 22 + 43 = 2111.{ 3 1 + 42 − 2 3 = 921 − 2 − 3 = 101 + 52 − 63 = −1514.{ 31 + 2 + 4 3 = 132 1 − 3 2 + 3 = 9Задача 3. Решить неоднородную систему линейных уравнений методомГаусса. Выделить общее решение однородной системы и частное решениенеоднородной системы.21 − 2+ 34 = −31. { −31 + 22 + 3 − 44 = 32 + 23 + 4 = −382.3.4.5.1 + 32 + 53 + 54 = 3{−1 + 32 + 73 + 4 = 32 1 + 2 +54 = 11− 3 + 24 = 1{ 31 + 2 − 3 + 54 = 131 + 22 + 3 + 44 = −11 + 32 + 23 − 4 = 3{ 1 − 2 + 34 = 631 + 2 + 23 + 54 = 151 + 2 + 2 3=1{1 − 22 − 3 + 34 = 431 + 2 + 43 + 24 = 51 + 22 + 53 − 4 = 16.

{1 − 32 − 53 + 44 = −4−21 − 2 − 43 − 4 = 11 + 2 + 3 + 24 = 27. {21 − 32 + 12 3 − 4 = 931 + 2 + 73 + 44 = 8−1 + 22 + 53 + 4 = 38. {−31 + 22 + 73 − 4 = 11 + 2 + 3 + 24 = 31 + 32 + 23 + 44 = 29. { 31 − 22 − 53 + 4 = −5−21 + 52 + 73 + 34 = 71 + 2 − 3 + 34 = 310.{ 21 + 2 − 43 + 54 = 5−31 − 22 + 53 − 84 = −81 − 22 − 73 − 4 = 311.{1 + 2 − 3 + 24 = −321 − 2 − 83 + 4 = 01 + 22 + 53 − 4 = 412.{ 21 + 63 + 24 = 1231 − 22 + 73 + 54 = 201 − 2 + 33 − 44 = 113.{−21 + 2 + 3 + 74 = −331 − 2 − 53 − 104 = 591 − 2 + 3 − 34 = −514.{−21 + 2 + 3 + 24 = 731 − 2 − 33 − 4 = −9Задача 4. Даны векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ .а) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два указанныхвектора;b) проверить, будут ли компланарны три вектора.№1234567891011121314⃗3i+4j+k2i- 3j+k2i- 4j-2k-7i+2k-4i+2j-k3i- 2j+k4i- j+3k4i +2j -3k-i+5k6i -4j+6k5i-3j+4k-4i +3 j-7k-5i+2j-2k-4i -6j+2k⃗⃗i-2j+7kj+4k7i+3j2i-6j+4k3i+5j-2k2j-3k2i+j-5k2i +k-3i+2j+2k9i -6j+9k2i-4j-2k4i+6j-2k7i-5k2i+3j-k⃗3i-6j+21k5i+2j-3k5i+2j-7ki-3j+2kj+5k-3i+2j-k7i+2j +4k-12i -6j +9k-2i -4j +ki - 8k3i+5j-7k6i+9j-3k2i+3j-2k-i+5j-3ka)⃗⃗, ⃗⃗, ⃗⃗, ⃗⃗⃗, ⃗⃗, ⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗, ⃗⃗, ⃗⃗⃗, ⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗, ⃗⃗, ⃗⃗, ⃗⃗б)2⃗, −3⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗, 2⃗⃗, 3⃗3⃗, 2⃗⃗, 3⃗2⃗ , 4⃗⃗, 3⃗⃗, 6⃗⃗, 3⃗5⃗⃗⃗⃗, 4⃗⃗, 3⃗7⃗, 2⃗⃗ ,5⃗2⃗, 3⃗⃗ , −4⃗7⃗, 2⃗⃗ , −3⃗3⃗, −4⃗⃗ , −9⃗⃗, −2⃗⃗ ,6⃗−2⃗, 4⃗⃗ ,7⃗8⃗, −3⃗⃗ ,11⃗3⃗, 7⃗⃗ , −2⃗Задача 5.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти:- в треугольнике АВС угол между сторонами АВ и АС;- площадь треугольника АВС;- объем пирамиды ABCD;- длину высоты пирамиды, опущенной из вершины D.№1А (1; 2; 1)В (-1; 2; 4)С (2; 0; 6)D (-2; 5; -1)102А (0; 1; 2)B (2; 3; -4)C (-1; 2; 5)D (-3; 1; -1)3А (0; 2; 3)В (3; 1; 2)C (1; 3; -1)D (4; -1; -3)4А (1; 0; 3)В (6; -5; 2)C (0; 2; 3)D (6; 5; 1)5A (1; 1; 0)B (3; 2; -5)C (3; 3; -2)D (5; 3; -2 )6A ( 6; 0; 4 )B (0; 6; 4 )C (4; 6; 0 )D (0; -6; 4 )7A (3; 2; 4 )B (2; 4; 3 )C (4; 3; -1 )D (4; -2; 3 )8A (6; -3; 5 )B (5; -6; 3 )C (9; -1; 6)D (5; -1; 2)9A (1; -1; 6)B (4; 5; -2)C (-1; 3; 0)D (1; 2; 5)10A (4; 2; 2)B (3; 0; 4)C (0 ; 2; 3)D (5; -2; -4)11A (-2; 3; 2)B (-3; 0; 4)C (0; 2 ; 3)D (1; 2; -4)12A (4; 2; -1)B (3; 0; 4)C (1; 2; 1)D (2; 8; 4)13A (1; 2; 3)B (-1; 2; -3)C (-2; 3; 1)D (7; 5; 9)14A (3; 5; 4)B (8; 7; 4)C (5; 10; 3)D (4; 7; 8)Задача 6. Для точек A,B,C,D из задачи 5 составить уравнения:- плоскости AВС;- плоскости, проходящей через точку D, перпендикулярно прямой АВ;- каноническое и параметрическое уравнения прямой ВС.Задача 7.