11.03.04_28.03.01_12.03.02_12.05.01_fti_curs_c_2012 (Методические документы)

МИНИСТЕРСТВО ОБАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГОПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТРАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ»Подлежит возврату№КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВС ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ С++Методические указания по выполнению курсовых работ длябакалавров и магистров, обучающихся по направлениям 210100,222900, 200400, 221700.МОСКВА 20122Составители: Е.Ф. Певцов, Б.В. МагницкийРедактор: В.Г. МорозовМетодические указания содержат сведения, необходимыедля выполнения курсовой работы по информатике, имеющей целью закрепление базовых знаний и основных навыков программирования на языке C++.

Задания курсовой работы иллюстрируют применение компьютерного моделирования в физике для определения параметров процессов на основе данных экспериментов.Методические указания по выполнению курсовых работ длябакалавров и магистров, обучающихся по направлениям 210100,222900, 200400, 221700 и может быть использован для самостоятельной работы при освоении информатики и основ программирования на С++, а также методов моделирования физических законов, описываемых дифференциальными уравнениями.Печатается по решению редакционно-издательского советауниверситета.Рецензенты:В.В. Кузнецов (МГТУ МИРЭА)П.А.

Томази-Вшивцева (Физический ф-тМГУ им. М.В. Ломоносова) МГТУ МИРЭА, 20123ВведениеЗадания курсовой работы иллюстрируют применение компьютерного моделирования в физике для определения параметров процессов на основе данных экспериментов. Для выполненияработы требуются базовые знания основ программированияна С++, критерием успешного усвоения которых является выполнение практических заданий и упражнений, приведенных в методических указаниях по лабораторному практикуму на С++ (см.[1 и 2]).1 Применение метода наименьших квадратов для обработкиэкспериментальных данныхПри обработке результатов экспериментов, целью которыхявляется определение параметров моделей, описывающих физические законы, эффективным оказывается применение метода наименьших квадратов (м.н.к), основные положения которого разработаны К.

Гауссом (1795) и А. Лежандром (1806). Суть м.н.к. заключается в минимизации ошибки, возникающей при замене истинного (неизвестного) значения физической величины X её приближённым значением Xexp, определенным по результатам наблюдений.М.н.к обосновывает, что наилучшее приближение соответствуетминимуму квадрата ошибки (X – X exp )2. Таким образом, алгоритмнаилучшего приближения модели с параметром сводится к поиску в заданных пределах его искомого значения по минимумусуммы квадратов разностей между наблюдаемыми в эксперименте данными и вычисленными значениями функции, моделирующей данное явление.Рассмотрим частный пример, когда исследуемая физическаявеличина у линейно зависит от другой величины t:y t   at  b ,(1)где a и b – параметры зависимости.Пусть в результате эксперимента определено, что ряду значений ti соответствуют значения y i (ti ) (где i=1,…,N). Поскольку влюбом эксперименте всегда существуют погрешности, то, как этопоказано на рисунке 1, наблюдаемое значение отличается от истинного на величину y i =y(ti ) – y i (ti )  0.4Иллюстрация м.н.к.y4y=at+b3,5данные эксперимента32,5y i (t i )2yi1,5y(t i )10,5t0024681012 Рисунок 1 – Иллюстрация метода наименьших квадратов.Согласно м.н.к.

задача выбора параметров a и b наилучшегоприближения соотношения (1) сводится к определению минимума функции:S ( a, b) NN yi    ati  b  yi 2i 12(2)i 1Из курса математического анализа известно, что точки минимума этой функции двух переменных определяются из соотношений: S a, b  a  0 S a, b   0 b(3)Подставив (2) в (3), получаем систему линейных неоднородных уравнений для определения значений a и b:5NN N  N 2ti  a ti  b yi  ti  0 ati  b  yi   ti  i 1 i 1 i 1 i 1 (4)NNNyi  0 ati  b  yi    ti   a  N  b  i 1 i 1 i 1Решение этой системы имеет вид:CN  BDaA  N  B2,ADBCb A  N  B2где обозначено: A Ni 1ti2 ,B(5)NNNi 1i 1i 1 ti , C    yi  ti  и D   yi .Полученные по соотношениям (5) значения параметров a иb задают прямую (1), наилучшим образом описывающую полученные экспериментальные данные, что иллюстрируется рисунком 1.

В общем случае часто требуется определить наиболее подходящее значение параметров a i , если заранее известен вид зависимости одной физической величины y от другой t: y =f(a 1 ,…,a n ,t), где a i – параметры зависимости (i=1,…n). В частности, если в результате эксперимента получено, что каждому иззначений физической величины t i соответствуют значения другойфизической величины y i , то оптимальной оценкой при определении зависимости y=f(a 1 ,…,a n ,t), естественно признать такую кривую, для которой значение суммы квадратов отклонений (y(t i )y i (t i )) в каждой точке наблюдений минимально. Используя алгоритм поиска минимальной суммы среди сумм квадратов отклонений при разных значениях параметров a i , можно определить ихнаиболее оптимальные значения.62 Численные методы решения дифференциальных уравненийпервого порядка на примере моделированиязакона внешней теплопередачи НьютонаЗакон теплопередачи был предложен Ньютоном и Рихманомдля описания процесса остывания тела путем теплообмена черезграницу раздела двух сред, не находящихся в тепловом равновесиидруг с другом.

Если теплопроводность рассматриваемого тела достаточно велика, то уместно положить, что в каждый момент времени все точки тела имеют одинаковую температуру. Это же относится и к внешней среде. Считается, что поток тепла на границе двухтел распространяется перпендикулярно поверхности раздела от более нагретого тела к менее нагретому (внешней среде), и его значение пропорционально разности их температур. В таком случае дляописания процесса теплопередачи справедливо следующее соотношение (закон теплопередачи Ньютона):dT(6)T  TS  r T  TS dt,где T – температура тела, T s – температура окружающей среды,r – эмпирический коэффициент, характеризующий скорость остывания (интегральный «коэффициент остывания», коэффициенттеплоотдачи) постоянный в определенном диапазоне температури зависящий от физических свойств тела и его геометрическихпараметров.В простейшем случае, если коэффициент r – константа,уравнение (6) можно решить аналитически:d T  TS  r dtT  TSln T  TS    rt  Const   rt  ln T0  TS T t   TS  TS  T0   e  rt ,(7)где T 0 – температура тела в момент времени t = 0.В общем случае коэффициент теплоотдачи не постоянен иможет даже зависеть от разности температур, т.е.

дифференциальное уравнение, описывающее процесс теплопередачи, имеет вид:7dT(8) g t , T  TS dt,где правая часть уравнения зависит от t и разности температур T–Tsнелинейно и выражается достаточно сложной функцией g(t, T–Ts).В этом общем случае уравнение (8) не решается в квадратурах и требуется применение численных методов. Один из методовчисленного решения дифференциальных уравнений предложенный Эйлером, состоит в замене производных конечными разностями(методконечныхразностей).Такаязаменадифференциальных коэффициентов уравнения (8) позволяет построить его конечно-разностную схему и свести его решение крешению алгебраического разностного аналога.Пусть:dT(9) g (t , T )dtпричем известны начальные значения (т.е.

при t  t0 , T t0   T0 .).Тогда, согласно определению производной, значение функции вточке t  t , близкой к t0 будет приближенно равно:T1  T t0   T  T0  g t0   t(10)Обобщая это соотношение для n-го шага разбиения интервала моделирования, получаем приближенное равенство:Tn  Tn 1  g t n 1   t(11)где n = 1, 2, …, N.Рисунок 2 показывает, что согласно методу Эйлера, для определения значения функции в каждой последующей точке используется аппроксимация нелинейной функции прямой с наклоном, определяемым соотношением (11).Рассмотрим конкретный пример. Пусть dT/dt = 2t и t 0 =1,T 0 =1.

Требуется определить значение функции T(t) в точке t = 2:т.е. T(2). Реализация алгоритма Эйлера при этих начальных условиях иллюстрируется рисунком 3.8TdT/dt=2g(t)g n-1 (t n-1 )=tgT nTnточное значение T n  T n-1t n-1ttntРисунок 2 – Иллюстрация численного решениядифференциального уравнения первого порядка.Рисунок 3 – Блок-схема программы численного решениядифференциального уравнения dT/dt = 2t.9Программный код реализации этого алгоритма, использующий простейшие конструкции языка С++ для приведен на рисунке 4. Пошаговое исполнение иллюстрируется таблицей 1.//Euler_0_v1#include <iostream.h>#include <stdio.h>double t0;//нач. значение аргументаdouble T0;//нач.

значение функцииdouble t;//текущее значение аргументаdouble T;//текущее значение функцииdouble delta_t;//шаг аргументаdouble g;//коэффициент наклонаint n;//количество шаговvoid init_func (void){t0=1.0;//начальные значенияT0=1.0;g=2.0;delta_t=0.1;n=10;}int main(){init_func (); // t0, T0, g, dt, nt=t0;T=T0;double Change_T = 0.0; //изменение функцииfor (int i=1; i <= n+1; i++){Change_T=g*t*delta_t;//вывод на консольprintf ("i=%02d t=%4.2f T=%4.2f Tnew=%4.2f\n", i,t, T, T+Change_T);}}T=T+Change_T;t=t+delta_t;Рисунок 4 – Программный код на языке С++для численного решения уравнения dT/dt = 2t.10Таблица 1 – Итерационное решение дифференциального уравнения dT/dt = 2t с начальными условиями T 0 =1 и t0 =1.

Шаг разбиения t=0,1.t1.001.101.201.301.401.501.601.701.801.902.00T1.001.201.421.661.922.202.502.823.163.523.90g(t) = 2 t2.002.202.402.602.803.003.203.403.603.80T n = T n-1 +tg(t n-1 )1.00 + 0.102.00 = 1.201.20 + 0.102.20 = 1.421.42 + 0.102.40 = 1.661.66 + 0.102.60 = 1.921.92 + 0.102.80 = 2.202.20 + 0.103.00 = 2.502.50 + 0.103.20 = 2.822.82 + 0.103.40 = 3.163.16 + 0.103.60 = 3.523.52 + 0.103.80 = 3.90Очевидно, что погрешность вычисления каждого следующего значения функции, для которой справедливо соотношение (11)зависит от того, насколько мало значение шага разбиения.3 Задания для выполнения первой части курсовой работыПусть проводятся серии экспериментов, в которых в определенные моменты времени фиксируется температура кофе, налитого в керамическую чашку, и остывающего на воздухе (см.таблицу 2). Требуется на основе компьютерного моделированияпроверить справедливость применимости закона теплопередачи(6) к этому процессу и определить экспериментальное значениекоэффициента r.