baryshnikov_yu_n_opredelenie_reaktsiy_po dshipnikov_vraschayuschegosya_tverdogo_t ela_2015 (МУ Барышников динамические реакции подшипников)

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаЮ. Н. Барышников, Н. В. БороховаОпределение реакций подшипниковвращающегося твердого телаМетодические указанияк выполнению индивидуальных заданийпо разделу курса теоретической механикина контролируемых самостоятельных работахУДК 531.38ББК 22.213Б26Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ruпо адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/178/book1216.htmlФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Теоретическая механика»Рекомендовано Редакционно-издательским советомМГТУ им.

Н.Э. Баумана в качестве методических указанийРецензентд-р техн. наук, профессор Г. А. ТимофеевБ26Барышников, Ю. Н.Определение реакций подшипников вращающегося твердоготела : методические указания к выполнению индивидуальных заданий по разделу курса теоретической механики на контролируемыхсамостоятельных работах / Ю. Н. Барышников, Н. В. Борохова. —Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 54, [2] с. : ил.ISBN 978-5-7038-4186-0В методических указаниях даны основы применения метода кинетостатики в задачах динамики.

Приведенный теоретический материал и рекомендуемый порядок решения задач позволяют студентам приобрести навыкирешения задач и освоения теоретических разделов курса во время контролируемой самостоятельной работы (КСР). Предлагается 32 варианта заданий для индивидуальной работы со студентами на КСР.Для студентов, обучающихся по программе бакалавриата. Методические указания могут быть также использованы студентами, обучающимисяпо программе специалитета и выполняющими домашнее задание в соответствии с учебным планом.УДК 531.38ББК 22.213ISBN 978-5-7038-4186-02© МГТУ им.

Н. Э. Баумана, 2015© Оформление. ИздательствоМГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015ПредисловиеПредлагаемые методические указания должны помочь студентам, изучающим применение метода кинетостатики в задачах динамики, приобрести твердые навыки решения задач и освоениятеоретических вопросов контролируемой самостоятельной работы.Указания целесообразно использовать и при закреплении знанийпутем выполнения индивидуального задания модуля по теме «Динамические реакции подшипников». Варианты этого задания длястудентов приведены в конце методических указаний.Метод кинетостатики построен на использовании следствий изпринципа Даламбера для системы материальных точек.

Узловымимоментами решения задач являются:− определение силы инерции материальной точки;− приведение сил инерции точек тела с равномерным распределением массы по объему к заданному центру;− вычисление главного вектора и главного момента сил инерции относительно выбранного центра приведения;− нахождение главных осей инерции тела, а также вычислениецентробежных и осевых моментов инерции относительно исходных осей координат;− статическое и динамическое уравновешивание тела.Теоретические основы метода изложены в учебном пособии [1]и конкретизируются на лекциях. Курсовая работа по одноименному разделу курса сопровождается методическими указаниями[2, 3].31. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧПри решении задач рекомендуется применять метод кинетостатики, в основе которого лежит принцип Даламбера.1.1.

Принцип Даламбера для точкии системы материальных точекДля несвободной материальной точки принцип Даламбера заключается в том, что в каждый момент времени сумма активныхсил, реакций связей и силы инерции равна нулю [1]:nµk =1k =1∑ Fk + ∑ Rk + Ф = 0,(1.1)где Ф = −ma ; n — число активных сил, приложенных к материальной точке; µ — число связей, наложенных на точку.nОбозначим главный вектор всех активных сил F = ∑ Fk , главk =1µный вектор реакций связей — R = ∑ Rk , тогда формулу (1.1)k =1можно переписать в видеF + R + Ф = 0.(1.2)В проекциях на оси декартовых координат получимFx + Rx + Ф x = 0, Fy + Ry + Ф y = 0, Fz + Rz + Ф z = 0,где Ф x = − mx; Ф y = − my; Ф z = − mz.В проекциях на оси естественного трехгранника — касательную, главную нормаль и бинормаль — уравнение (1.2) принимаетвид4Fτ + Rτ + Ф τ = 0; Fn + Rn + Ф n = 0; Fb + Rb + Φ b = 0,где Фτ = −maτ = −m dVτ dt , Фn = −man = −mV 2 ρ , Фb = −mab = 0;ρ — радиус кривизны траектории точки.С учетом приведенных формул сила инерции Даламбера Фможет быть представлена в виде двух составляющих Ф τ = − ma τ иФ n = − ma n .Согласно принципу Даламбера, для каждой точки M k механической системы совокупность активных сил, реакций связей и силинерции ( ( Fk , Rk ,Ф k ) , k = 1, 2, ..., N , N — число точек системы)эквивалентна нулю.Следствиями этого утверждения являются:1) равенство нулю главного вектора всех перечисленных вышесил;2) равенство нулю главного момента этих сил относительновыбранного центра приведения — например, точки О:NNNk =1k =1k =1∑ Fk + ∑ Rk + ∑ Фk = 0;(1.3)∑ rk × Fk + ∑ rk × Rk + ∑ rk × Фk = 0.Полученные векторные уравнения аналогичны по форме векторным условиям равновесия произвольной пространственной системы сил.

Им соответствуют шесть аналитических уравнений вкоординатной форме:∑ Fkx + ∑ Rkx + ∑ Фkx = 0;∑ Fky + ∑ Rky + ∑ Фky = 0;∑ Fkz + ∑ Rkz + ∑ Фkz = 0;∑ M Ox ( Fk ) +∑ M Ox ( Rk ) +∑ M Ox (Фk ) = 0;∑ M Oy ( Fk ) +∑ M Oy ( Rk ) +∑ M Oy (Фk ) = 0;∑ M Oz ( Fk ) +∑ M Oz ( Rk ) +∑ M Oz (Фk ) = 0.(1.4)Уравнения (1.4) лежат в основе метода кинетостатики.51.2. Определение главного вектораи главного момента сил инерцииВведем обозначения главного вектора R и и главного моментасил инерции LОи , проекции которых в уравнениях (1.4) представлены формулами:Rxи = ∑ Ф kx ; Ryи = ∑ Ф ky ; Rzи = ∑ Ф kz ;LиОx = ∑ M Оx (Ф k ); LиОy = ∑ M Оy (Ф k ); LиОz = ∑ M Оz (Ф k ).(1.5)Уравнения (1.4) можно получать, проецируя векторные выражения (1.3) на подвижные и неподвижные оси координат.

В данном случае будем проецировать выражения (1.3) на оси подвижной системы координат, связанной с вращающимся телом. В этойсистеме положение точки определяется неизменными во временикоординатами, а движение системы координат задано в условиизадачи — равномерное вращение вокруг неподвижной оси Oz.Для твердого тела, состоящего из N материальных точек, главный вектор и главный момент сил инерции относительно некоторого центра O определяются соответственно по формулам [1]:Rи = −dKdQ= − M aС ; LОи = − О ,dtdt(1.6)где M — масса тела; aС — ускорение центра масс тела; K О — кинетический момент тела относительно центра O; Q — количестводвижения тела.З а м е ч а н и е.

При определении производных необходимоследовать формуле Бура.Проекции вектора количества движения Q на оси подвижнойсистемы координат Oxyz:Qx = − M ω z yC ; Qy = M ω z xC ; Qz = 0.(1.7)Проекции вектора кинетического момента на оси подвижнойсистемы координат:KOx = − J xz ω z ; K Oy = − J yz ω z ; KOz = J z ω z ,6(1.8)где J xz = ∑ mk xk zk ,J yz = ∑ mk yk zk — центробежные моментыинерции; J z = ∑ mk ( xk2 + yk2 ) — осевой момент инерции тела от-носительно оси Oz, совпадающей с осью вращения.Итак, для тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью, проекции главного вектора и главного моментасил инерции относительно начала координат определяются поформуламRxи = M ω 2 xC ; Ryи = M ω 2 yС ; Rzи = 0;LиОx = − J yz ω 2 ; LиОy = + J xz ω 2 ; LиОz = 0.(1.9)При условии, что оси системы Oxyz жестко связаны с телом, координаты xC , yC его центра масс и центробежные моменты J yz иJ xz остаются постоянными.Для окончательного решения задачи приведения сил инерции кначалу координат (точке О) необходимо определить центробежные моменты инерции.1.3.

Определение центробежныхи осевых моментов инерции одномерных и двумерных телЦентробежные моменты инерции J xz и J yz тела определяютсяпо формуламJ xz = ∑ mk xk zk ; J yz = ∑ mk yk zk .(1.10)Основным способом вычисления моментов инерции тела является выражение их через осевые моменты инерции. В табл. 1.1приведены формулы для вычисления главных центральных моментов инерции однородных тел, необходимость расчета которыхвозникает в задачах предлагаемого задания, а также в вариантахдомашних заданий, выполняемых студентами в рамках учебногокурса (например, [2]).Главные центральные моменты инерции — это моменты инерции тела относительно главных осей инерции, проходящих черезцентр масс.

На рисунках в табл. 1.1 показано расположение главных7центральных осей инерции Сx2 y2 z2 для всех приведенных в таблице изображений тел: сплошной диск, кольцо, квадрат, стержень.Таблица 1.1Плоское тело массой MСплошнойдискФормулы для расчета главныхцентральных моментов инерцииJ x2 = J y 2 =J z2 = J C =Кольцо (тор)J x2 = J y 2 =Mr 24;Mr 22Mr 22;J z2 = J C = Mr 2КвадратJ x2 = J y 2 =J z2 = J C =СтерженьMa 212;Ma 26J x2 = 0, J y2 = J z2 = J C =Ml 212⎛l 2 Ml 2 ⎞⎜ J y1 = J Cy2 + M =⎟43 ⎠⎝Координаты точек xk , yk и zk в выражении для центробежныхмоментов инерции заменяют согласно формулам перехода от системы координат Oxyz (приведенной в условии задания) к системе8Сx2 y2 z2 координатами x2 k , y2 k , z2 k .

Этот переход обусловлен важными свойствами главных осей инерции тела:а) если какая-либо ось тела является главной осью инерции тела в данной точке, то те центробежные моменты, в индексе которых присутствует индекс этой оси, равны нулю;б) ось материальной симметрии однородного тела является егоглавной центральной осью инерции;в) любая ось, перпендикулярная плоскости симметрии тела,является его (тела) главной осью инерции в точке пересечения ее сэтой плоскостью;г) главная центральная ось инерции является главной во всехсвоих точках.При определении момента инерции относительно оси, параллельной главной центральной оси инерции тела, применяют теорему Штейнера [1].В задачах индивидуального задания рассматриваются механические системы, для которых одна из осей Ox или Oy являетсяглавной осью инерции.

Рассмотрим две ситуации, возникающиепри вычислении центробежных моментов.Ситуация 1. Ось Оx — главнаяось инерции тела в точке O как ось,перпендикулярная плоскости симметрии тела. Вид с главной осиинерции на плоскость симметриитела поясняет рис. 1.1.Выделим произвольную точкутела M k , координаты которой в исходной системе yk и zk запишемчерез ее же координаты в системеРис. 1.1главных осей инерции:yk = yC + y2 k cos α − z2 k sin α;zk = zC + y2 k sin α + z2 k cos α.(1.11)Тогда центробежный момент инерции равен:J yz = ∑ mk yk zk == ∑ mk ( yC + y2 k cos α − z2 k sin α)( zC + y2 k sin α + z2 k cos α ) +9+ ∑ mk yC zC + ∑ mk yC y2 k sin α + ∑ mk yC z2 k cos α ++ ∑ mk y2 k zC cos α + ∑ mk y 2 2 k z2 k cos α sin α + ∑ mk y2 k z2 k cos 2 α −− mk zC z2 k sin α − ∑ mk z2 k y2 k sin 2 α − ∑ mk z22k sin 2α / 2.(1.12)В суммах выражения (1.12) введены следующие обозначения:∑ mk yC zC = MyC zC ,M — масса тела;∑ mk yC y2k sin α = MyC y2C sin α = 0,поскольку y2С = 0 как ко-∑ mk yC z2k cos α = MyC z2C cos α = 0,поскольку z2C = 0, точка∑ mk y2k zС cos α = MzC y2C cos α = 0,y2C = 0 как координатаордината центра масс в системе, связанной с центром масс;С — начало координат;центра масс в системе с началом в центре масс;∑ mk zС z2k sin α = MzC z2C sin α = 0,z2C = 0 — координата цент-ра масс в системе с началом в центре масс;∑ mk y2k z2k cos2 α = J y z2 2cos 2 α= 0, поскольку Oy2 и Oz2 —главные оси инерции;∑ mk z2k y2k sin 2 α = J z y2 2sin 2 α = 0,поскольку Oz2 и Oy2—главные оси инерции.Объединив четвертую и восьмую суммы выражения (1.12), получимsin 2αsin 2α−∑ mk z22k=22sin 2αsin 2α=mk ⎡ y22k + x22k − x22k + z22k ⎤ =J z 2 − J y2 ,∑⎣⎦22∑ mk y22k(() ())(где J z = ∑ mk y22k + x22k ; J y2 = ∑ mk z22k + x22k2()— осевые мо-менты инерции тела относительно главных осей инерции.10)Окончательно центробежный момент инерции J yz получим ввидеJ yz = MyC zC +sin 2αJ z 2 − J y2 .2()Ситуация 2.