Уравнения Лагранжа второго рода методические указания к курсовому заданию по динамике

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА II РОДАПубликуется по учебному изданиюУравнения Лагранжа второго рода: методические указания к курсовому заданию по динамике / В.И.Дронг,Г.М.Максимов, А.И.Огурцов / под ред. В.В.Дубинина. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1985._________________1. Груз 1 массой m1 скользит по наклонной плоскости,образующей угол α с горизонтом.

К грузу прикреплен конецнерастяжимой нити, которая переброшена через блок 4 инамотана на барабан 3 радиуса r, жестко соединенный с катком 2радиуса R. Каток 2 катится со скольжением по плоскости,наклоненной к горизонту под углом β. Масса катка с барабаномравна m2, его радиус инерции ρ, коэффициент трения скольжениямежду катком и наклонной плоскостью равен f.При решении задачи массами блока 4 и нити, трениемскольжения между грузом 1 и плоскостью, а также трениемкачения и трением на оси блока пренебречь. Полагать, что нитьпо барабану не скользит и что вектор v A скорости точки A катканаправлен вниз по линии наибольшего ската наклоннойплоскости.

Составить дифференциальные уравнения движениясистемы.2. Груз 1 прикреплен к нити, которая перекинута через блок 2, идругой ее конец охватывает внешнюю ступень катка 3. Каток 3движется по горизонтальному рельсу с проскальзыванием.Составитьдифференциальныеуравнениядвижениямеханической системы, если сила трения скольжения катка по рельсунаправлена влево.При расчетах принять:1) массы звеньев m1 = 10 кг, m2 = 5 кг, m3 = 25 кг;2) блок 2 - однородный диск;3) r3 = 0,4 м; R3 = 1,2 м;4) радиус инерции катка 3 относительно его оси ρ = 0,8 м;5) коэффициент трения скольжения катка по рельсу f = 0,3;6) в начальный момент скорость точки контакта катка сплоскостьюравна нулю.Моментом трения качениякатка, массойнити и сопротивлением в опоре блока пренебречь.3.

Груз 1 прикреплен к тросу, охватывающему ступицубарабана 2, который находится в зацеплении с шестерней 3.Шестерня 3 жёстко связана с блоком, на который намотан трос.Другой конец троса прикреплен к оси катка 4. Каток 4 движется погоризонтальному рельсу с проскальзыванием.Составить дифференциальные уравнения движения системы.При расчетах принять:1) массы звеньев m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 1 кг, m4 = 5 кг;2) r2 = 0,12 м, R2 = 0,18 м, радиус инерции второго звенаотносительно оси вращения ρ2 = 0,12 м;3) блок 3 с шестерней и каток 4 - однородные диски, R4 = 0,25 м;4) коэффициент трения скольжения катка по рельсу f = 0,1;5) в начальный момент скорость точки контакта катка с плоскостью равна нулю.Моментом трения качения катка по рельсу, а также сопротивлением в осях пренебречь.4. На однородный круглый цилиндр 2 массой m2, намотананерастяжимая нить, которая переброшена через блок 4, и к ее концуприкреплен груз 3 массой m3.

Цилиндр 2 катится без скольжения поплите 1 массой m1, а плита скользит по горизонтальной плоскости.При решении задачи массами блока 4 и нити, трением на оси блока,трением между плитой 1 и плоскостью, а также трением каченияпренебречь.Составить дифференциальные уравнения движения системы.5. К рейке 4, движущейся поступательно в горизонтальныхнаправляющих, жестко прикреплена шестерня 1 радиусом R.

Общаямасса шестерни 1 и рейки равна m1. К центру шестерни 1 шарнирноприкреплено водило 3, которое несёт ось шестерни 2 массой m2.Шестерня 2 находится в зацеплении с шестерней 1. Механизмнаходится в вертикальной плоскости. К рейке приложена горизонтальная сила F(t).Составить дифференциальные уравнения движения системы.Шестерню 2 принять за однородный диск радиуса r. Трением наосях и в направляющих, а также массой водила пренебречь. Приокончательных вычислениях полагать m1 = 4m2, R = 2r.6. Призма 3 перемещается по шероховатой горизонтальнойплоскости.

Каток 2 катится без скольжения по верхней гранипризмы 3. К оси катка прикреплен трос, который перекинут черезневесомый блок 4 и другим концом прикреплен к грузу 1,скользящему по гладкой грани призмы. Грань образует сгоризонтальной плоскостью угол α.Составить дифференциальные уравнения движения данноймеханической системы.В расчетах принять:1) массы звеньев m1, m2, m3;2) угол α = π/3 рад;3) коэффициент трения скольжения призмы о плоскость f;4) сопротивлением в осях и массой троса пренебречь.7. Маховик 1 массой m1, вращающийся вокруг горизонтальнойоси под действием пары сил с моментом M(t), приводит в движениегоризонтальную рейку 2.

Рейка 2 передает движение ступенчатомуколесу 3 массой m3, которое катится без скольжения понеподвижной горизонтальной направляющей 4. Центр масс колесанаходится в его геометрическом центре. Радиус инерции колесаотносительно оси, проходящей через его центр перпендикулярноплоскостям ступеней, равен ρ. Радиусы наружной и внутреннейступеней колеса равны R и r соответственно. К центру колесашарнирно прикреплён стержень 5 длиной l с грузом 6 массой m6 наконце.Составить дифференциальные уравнения движения системы.Считать, что зацепления рейки 2 с маховиком 1 и колесом 3 являются зубчатыми.

Маховик 1принять за однородный диск радиусом r1, а груз 6 - за материальную точку. Массами рейки 2 истержня 5, а также трением качения колеса, трением в направляющих рейки 2, на оси маховика и вшарнирном соединении стержня 5 пренебречь.При окончательных вычислениях полагать m3 = 2m1 = 4m6; R3 = 2r3 = 4r1; ρ = l = 3r1.8. В дифференциальном механизме шестерня 1 массой m1 ирадиусом r1 находится в зацеплении с подвижной шестерней 2радиусом r2, ось которой закреплена на конце водила 3. Оси вращения шестерни 1, водила 3 и шестерни 2 вертикальны. Кшестерне 1 и водилу 3 приложены пары сил с моментами M1 и M3соответственно, а к шестерне 2 - пара сил трения, момент которойравен M2.При решении задачи шестерни принять за однородные дискиодинаковой толщины и плотности.

Трением в подшипниках имассой водила пренебречь.Составитьдифференциальныеуравнениядвижениямеханизма.9. Кривошип 1 - однородный стержень массой m1, вращаясьвокруг горизонтальной оси, проходящей через точку Oперпендикулярно плоскости рисунка, приводит в движение шатун 4и шарнирно связанную с ним шестерню 2 массой m2.

Шестерня 2находится в зацеплении с рейкой 3 массой m3, которая скользит вгоризонтальных направляющих. К рейке приложена горизонтальнаясила F , а к кривошипу 1 - пара сил с моментом M. Шатун 4 имеетодинаковую с кривошипом длину l.При решении задачи шестерню 2 принять за однородный дискрадиусом r. Трением в шарнирах и направляющих, а также массойшатуна 4 пренебречь.Составить дифференциальные уравнения движения системы.10.

Штанга 2 механического манипулятора, масса которой равнаm2, движется в горизонтальных направляющих, установленных нанеподвижной стойке 4. К штанге в точке O шарнирно прикрепленрычаг 1 со охватом 3. Масса рычага со схватом m1, , его центром массявляется точка A (OA = l ). Момент инерции рычага со схватомотносительно оси, проходящей через точку O перпендикулярноплоскости рисунка, равен I.

К рычагу 1 и штанге 2 присоединеныконцы спиральной пружины 5 и демпфер 6. Коэффициент жесткостипружины с. Приводыманипулятора создают пару сил с постоянным моментом M,приложенную к рычагу 2, и постоянную силу F , приложенную кштанге 2.При решении задачи трением в направляющих и в шарнире O , а также массами пружины 5 идемпфера 6 пренебречь. Полагать, что при φ = 0 пружина не деформирована и что момент силывязкого трения относительно оси ОZ, приложенный к поршню демпфера, пропорционален угловойскорости рычага 1 (MC = -μ·ω1, где μ= const >0).Составить дифференциальные уравнения движения системы.11.

В упрощенной модели промышленного робота кнеподвижной опоре шарнирно крепится полый цилиндр 1 длиной l1,из которого может выдвигаться штанга 2 массой m2 и длиной l1.На конце штанги находится схват 3, несущий деталь, котораяимитируется материальной точкой A. Механизм расположен вгоризонтальной плоскости. Момент инерции цилиндра 1относительно оси шарнира равен J1 . Штанга представляет собойоднородный, стержень с центром масс в точке C.К цилиндру 1 приложена пара сил с моментом M , а к штанге 2 сила F и сила вязкого трения R     vr , где μ =const > 0, vr скорость штанги по отношению к цилиндру 1. Цилиндр 1 соединен снеподвижной опорой спиральной пружиной 4, коэффициентжёсткости которой равен c.Принимая за обобщенные координаты системы параметры s и φ, указанные на рисунке,составить дифференциальные уравнения ее движения.

В начальный момент времени пружина недеформирована. Схват вместе с деталью считать материальной точкой массы m. Трением вшарнире O пренебречь. При окончательных вычислениях полагать m = 2m2, l2 =2l1.12. Исполнительный механизм робота расположен ввертикальной плоскости и состоит из штанги 1, ползуна 2 испиральной пружины 3. Штанга 1 вращается вокруг оси,установленной в точке O ползуна 2 и перпендикулярной плоскостичертежа. Ползун 2 перемещается вдоль вертикальной направляющей4.

Концы спиральной пружины закреплены на штанге и ползуне.Развиваемый спиральной пружиной упругий момент Mупр = cφ.Составить дифференциальные уравнения движения системы вобобщенных координатах s и φ, где s - перемещение ползуна 2, аφ - отклонение штанги от вертикального положения.Штангу 1 считать однородным стержнем массой m1 и длиной l.Масса ползуна m2. Трением в направляющей и в оси O пренебречь.13.