Дифференциальные уравнения (Соболев С.К. - Дифференциальные уравнения. Методические указания к решению задач)

Московский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана.Соболев С.К.Дифференциальные уравненияМетодические указания к решению задачМоскваМГТУ им. Баумана2008С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения2Предисловие.В обычной школьной математике школьники привыкли, что в задачах и уравнениях, ккоторым эти задачи сводятся, неизвестными являются одно или несколько чисел, т.е.постоянных величин. Однако с развитием математики и более глубоким осознаниемвозникающих проблем, которые можно было решить, применяя математику, сталипоявляться задачи, в которых неизвестными являются не постоянные величины, апеременные, т.е. функции.

Уравнения, содержащие неизвестную функцию, которую надонайти, называются функциональными. Большой класс функциональных уравненийсвязывает между собой аргумент, искомую функцию и её производную. Как правило,аргументом является время. Например, при прямолинейном движении точки уравнениеF (t , x, v, a ) = 0 связывает координату x (t ) точки, её скорость v (t ) = dx и ускорениеdt2a (t ) = dv = d 2x в любой момент времени t, что может быть записано в видеdt dt2 F  t , x, dx , d 2x  = 0 . Уравнение, связывающие аргумент, искомую функцию и её однуdt dt или несколько первых производных, называется дифференциальным уравнением.Оказывается, дифференциальными уравнениями связаны между собой многие физическиевеличины, например, величина заряда на конденсаторе, электрический ток и скорость егоизменения в замкнутом контуре.

Дифференциальными уравнениями описываются многиепроцессы в технике, химии, экономике, биологии, психологии и т.д.Дифференциальное уравнение, в котором, кроме аргумента и искомой функции входятпроизводные искомой функции вплоть до п-го порядка, называется дифференциальнымуравнением п-го порядка. Если дифференциальное уравнение содержит неизвестнуюфункцию одного аргумента, то оно называется обыкновенным. А если неизвестнаяфункция зависит от двух или большего числа аргументов и в уравнение входят частныепроизводные этой функции, то тогда оно называется дифференциальным уравнением счастными производными. В настоящем пособии рассматриваются только обыкновенныедифференциальные уравнения. Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядкаимеет бесконечное число решений, зависящих от п произвольных констант.

Чтобы найтизначения этих констант, надо еще задать дополнительные начальные условия.В настоящем пособии разбираются методы решения дифференциальных уравнений, восновном, первого и второго порядка. Подробно разбираются линейныедифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, метод Лагранжа и методнеопределенных коэффициентов. Данное пособие будет полезно студентамэкономических и технических специальностей.С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения31. Дифференциальные уравнения первого порядка.1.1. Введение в дифференциальные уравнения первого порядкаДифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка имеет вид F ( x, y , y ′) = 0 , где х –dyаргумент, y = y ( x ) – неизвестная функция (которую надо найти), y ′ =– еёdxпроизводная.

Его решение надо начать с того, что привести его в виду:dyy ′ = f ( x, y ) ⇔= f ( x, y ) , где f ( x, y ) – известная функция.dxДифференциальное уравнение имеет бесконечное число различных решений. Каждоеиз таких решений называется частным решением. Совокупность всех частных решенийназывается общим решением дифференциального уравнения. Общее решениедифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную константуС, т.е. имеет вид y = ϕ ( x, C ) ; это значит, что при любом значении C = C0 функцияy ( x, C0 ) является решением, и любое частное решение можно найти из общего, подобравсоответствующее значение константы С. Если задано дополнительное начальное условие:y ( x0 ) = y0 , то, как привило, можно найти единственное частное решение,удовлетворяющее ему.Дифференциальное уравнение вида y ′ = f ( x, y ) с начальным условием y ( x0 ) = y0называется задачей Коши.

Решение дифференциального уравнения может быть полученокак в явном виде y = y ( x ) (у выражено через х), так и в неявном, т.е. в виде G ( x, y ) = 0(когда не удается явно выразить у через х). В последнем случае решениедифференциального уравнения называется интегралом этого ДУ.Теорема Коши. Если в некоторой (двумерной) окрестности1 точки M 0 ( x0 ; y0 )∂f ( x, y )функция f ( x, y ) и её частная производная по унепрерывны, то найдется такая∂y(одномерная) окрестность точки x0 в которой решение задачи Коши y ′ = f ( x, y ) ,y ( x0 ) = y0 , существует и единственно.1.2.

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядкаи методы их решения.Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка видаdy= f ( x, y ) .y ′ = f ( x, y ) ⇔dxМы будем классифицировать эти уравнения в зависимости от вида функции f ( x, y ) .1) f ( x, y ) = g ( x ) ⋅ h( y ) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.В этом случае дифференциальное уравнение имеет видdy= g ( x ) ⋅ h( y ) .dx1Окрестность точки M 0 на плоскости – это внутренность круга или квадрата с центром в даннойточке M 0 .С.К.

Соболев. Дифференциальные уравнения4Метод решения: разделить переменные (т.е. отделить их друг от друга), а затемпроинтегрировать:dydydy= g ( x ) ⋅ h( y ) ⇔= g ( x ) ⋅ dx ⇒ ∫= g ( x ) dx ⇒ H ( y ) = G ( x ) + C .dxh( y )h( y ) ∫2) f ( x, y ) = ϕ( xy )– дифференциальное уравнение с однородной2 правой частью, т.е.данное дифференциальное уравнение имеет вид:dy= ϕ xydx( )ydydu⇒ y = x⋅u ⇒= u+ x⋅ ,xdxdxполучим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительнофункции u( x ) :dydudu ϕ (u ) − ududxdudx= ϕ xy ⇔ u + x ⋅= ϕ (u ) ⇔=⇔=⇒∫=∫ .ϕ (u ) − u xϕ (u ) − udxdxdxxxИнтегрируя, находим функцию u( x ) , а затем и y ( x ) = x ⋅ u( x ) .Метод решения: ввести новую неизвестную u = u( x ) =( )3) f ( x, y ) = A( x ) ⋅ y + B ( x ) (где A( x ) и B( x ) – некоторые известные функции)– линейное дифференциальное уравнение, т.е.

вида y ′ = A( x ) ⋅ y + B( x ) .Метод решения: существуют два метода решения этого уравнения, которые различаютсялишь обозначениями.Первый метод (метод Бернулли): Решение линейного дифференциального уравненияy ′ = A( x ) ⋅ y + B( x ) ищут в виде произведения двух функций y = u ( x ) ⋅ v( x ) , которыенаходят по формулам:A( x ) dxu( x ) = e ∫(без произвольной константы)v( x ) =B( x)∫ u( x ) dx(с произвольной константой).Обоснование: пусть y = u( x ) ⋅ v ( x ) , тогда y ′ = u′ ⋅ v + u ⋅ v′ , подставим в ДУ (*), получимu′⋅ v + u ⋅ v′ = A( x ) ⋅ u ⋅ v + B( x )v ⋅ ( u′ − A( x ) ⋅ u ) + u ⋅ v′ = B ( x )Мы имеем одно дифференциальное уравнение с двумя неизвестными функциями u( x ) иv ( x ) .

Однозначно эти функции найти нельзя. Добавим еще одно условие, а именно,положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении. Получим систему2однородная функция порядка k– функция нескольких переменныхkf ( x1, x2 , ..., xn ) , для которойвыполняется равенство f (λ x1 , λ x2 , ..., λ xn ) = λ ⋅ f ( x1 , x2 , ..., xn ) для любого λ ∈R . Однородная функциянулевогопорядканазываетсяпростооднородной,длянеёвыполняетсяусловие:f (λ x1 , λ x2 , ..., λ xn ) = f ( x1 , x2 , ..., xn ) . Однородная функция двух переменных f ( x, y ) зависит только ототношения переменных, т.е.

имеет вид f ( x, y ) = ϕ( xy ) .С.К. Соболев. Дифференциальные уравнения5дифференциальных уравнений: du = A( x )dx duu′ − A( x ) ⋅ u = 0,  dx = A( x ) ⋅ u∫ u ∫⇔⇔dv = B ( x )u ⋅ v′ = B( x )dvu( x ) ⋅ = B ( x )dx dx u ( x ){Возьмем частное решение первого уравнения u ( x ) = e ∫B( x )получим v = ∫dx .u( x )A( x ) dxи подставим его во второе,Второй способ решения линейного ДУ y ′ = A( x ) ⋅ y + B( x ) :(метод Лагранжа вариации постоянной).Сначала решим соответствующее линейное однородное ДУdyy ′ = A( x ) ⋅ y ⇔= A( x ) ⋅ y .dxРешив это уравнение, получим его общее решение y = C ⋅ y1 ( x ) , где y1 ( x ) = e ∫.Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравненияy ′ = A( x ) ⋅ y + B( x ) будем искать в виде y = C ( x ) ⋅ y1 ( x ) , где функцию C ( x ) надо найти.A( x ) dxНайдем производную y ′ = C ′( x ) ⋅ y1 ( x ) + C ( x ) ⋅ y1′ ( x ) и подставим её в неоднородное ДУy ′ = A( x ) ⋅ y + B( x ) , получим:C ′( x ) ⋅ y1 ( x ) + C ( x ) ⋅ y1′ ( x ) = A( x ) ⋅ C ( x ) ⋅ y1 ( x ) + B( x ) .Поскольку y1′ ≡ A( x ) ⋅ y1 ⇒ C ( x ) ⋅ y1′ ≡ C ( x ) ⋅ A( x ) ⋅ y1 , получим такое уравнение:B( x ), интегрируя которогоC ′( x ) ⋅ y1 ( x ) = B ( x ) , из которого находим C ′( x ) =y1 ( x )находим C ( x ) (при этом возникает настоящая произвольная постоянная).Понятно, что эти два метода различаются лишь обозначениями:u ( x ) = y1 ( x ), v ( x ) = C ( x ) .4) f ( x, y ) = A( x ) ⋅ y + B ( x ) ⋅ yα , (где α ≠ 0 и α ≠ 1 )– дифференциальное уравнение типа Бернулли , т.е.

это ДУ видаy ′ = A( x ) ⋅ y + B( x ) ⋅ yα .Для этого ДУ также существуют два метода решения: метод Бернулли и метод сведенияк линейному ДУ.Первый метод: метод Бернулли.пустьy = u ( x ) ⋅ v( x ) , тогдаy ′ = u′ ⋅ v + u ⋅ v′ , подставим в ДУ (*), получимu′ ⋅ v + u ⋅ v′ = A( x ) ⋅ u ⋅ v + B ( x ) ⋅ uα ⋅ v βv ⋅ ( u′ − A( x ) ⋅ u ) + u ⋅ v′ = B ( x ) ⋅ uα ⋅ v βОпять положим равной нулю выражение в скобках в последнем уравнении. Получимсистему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:С.К. Соболев.

Дифференциальные уравнения6 du = A( x )dxdu = A( x ) ⋅ u ∫ u ∫dx⇔ dvα −1dvu ⋅ = B ( x ) ⋅ uα ⋅ vα ∫ α = ∫ B( x ) ⋅ ( u ( x ) ) dx dx vИз первого уравнения находим функцию u ( x ) (без произвольной константы), а извторого – функцию v ( x ) (с произвольной константой С).Второй метод решения дифференциального уравнения Бернулли: сведение его клинейному ДУ.Умножим обе части уравнения Бернуллиy ′ = A( x ) ⋅ y + B ( x ) ⋅ yαна (1 − α ) y −α , введем новую переменную z = y1−α , тогда z x′ = (1 − α ) ⋅ y −α ⋅ y ′x и получитсялинейное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции z( x ) :z ′x = (1 − α ) A( x ) ⋅ z + (1 − α ) B ( x ) ⇔ z ′x = A1 ( x ) ⋅ z + B1 ( x ) ,где A1 ( x ) = (1 − α ) A( x ) , B1 ( x ) = (1 − α ) B ( x ) .Решая это линейное ДУ методом Бернулли или (что почти одно и тоже) методом1Лагранжа, находим функцию z( x ) , а затем и y ( x ) = z1−α .dy= f ( x, y ) не является ни однимdxdx1из этих четырех видов, надо его «перевернуть», т.е.

записать в виде=.dy f ( x, y )При этом часто получается линейное ДУdx(1)= A( y ) ⋅ x + B( y ) ,dyили ДУ типа Бернуллиdx= A( y ) ⋅ x + B( y ) ⋅ xα(2)dyотносительно неизвестной функции x( y ) , которые решаем вышеописаннымиспособами с тем исключением, что во всех формулах х и у меняются местами.А именно, решение дифференциального уравнения (1) ищется в виде x = u ( y ) ⋅ v( y ) , гдеB( y )A( y ) dy, v( y ) = ∫dy ,u( y ) = e ∫u( y )а дифференциальное уравнение (2) сводится к линейному ДУ умножением обеих частейна (1 − α )x −α и введением новой переменной z = x1−α , получится z ′y = A1 ( y ) ⋅ z + B1 ( y ) .5) если дифференциальное уравнение первого порядка6) Если дифференциальное уравнение имеет вид P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 , то его надоdyP( x, y )=−≡ f ( x, y ) , определить вид данного ДУ и применитьсначала привести к видуdxQ ( x, y )один из вышеописанных методов.