01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела (01.02.04 — Механика деформируемого твёрдого тела)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (национальный исследовательский университет)» (МАИ) КАФЕДРА ИНЖЕНЕРНАЯ ФИЗИКА «УТВЕРЖДАЮ» р Института № 3 Ю.А. Костиков я 2017 г. № 1/17 Прот ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 01.06.01 МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 01.02.04 МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА Механика деформируемого твердого тела в настоящее время должна рассматриваться как единая наука, объединяющая ряд научных дисциплин, которые по сложившейся исторически традиции излагаются и изучаются в соответствии со следующей схемой: теория напряжений и деформаций сплошных тел.

основные физические законы сохранения, термодинамика сплошных сред, теория упругости, теория пластичности, теория вязкоупругости и наследственной упругости, теория ползучести, механика разрушения и накопления повреждений в твердых телах. Механика деформируемого твердого тела исторически сложилась как ярко выраженная прикладная научная дисциплина. Ее составные части, такие как теория упругости, пластичности, ползучести и механика разрушения, были вызваны к жизни вполне конкретными практическими проблемами. Самая первая в ряду дисциплин, слагающих механику деформируемого твердого тела, — теория упругости, история которой начинается на заре нового естествознания и насчитывает уже более трех веков (именно тогда Р.Гуком был в отчетливой форме сформулирован основной определяющий закон упругости).

Теория пластичности в этом плане — значительно более молодая наука, фундамент которой был сформирован Б. де Сен-Венаном и М.Леви во второй половине девятнадцатого века. Механика разрушения берег свое начало в классических работах А. Гриффитса, относящихся к началу двадцатых годов. Отдавая себе отчет в важности прикладного аспекта указанных научных дисциплин, не следует забывать о том, что механика деформируемого твердого тела является ветвью более общего комплекса научных дисциплин, который принят называть механикой сплошных сред.

Механика сплошных сред выступаег как общий формальный базис и единая схема математического моделирования в рамках феноменологического метода исследования как для механики деформируемого твердого тела, так и для другой своей главной составляющей— гидромеханики. Овладение методами механики сплошных сред совершенно необходимо для ясного понимания механики деформируемого твердого тела как современной науки. Изучение механики сплошных сред требует освоения целого ряда математических дисциплин, таких как дифференциальная геометрия евклидова и риманова пространства, тензорный анализ, теория функций комгшексного переменного., вариационное исчисление, уравнения в частных производных, и умения на практике применять современные аналитические и численные методы решения нелинейных краевых задач.

Введение Программа состоит из четырех разделов: механика и термодинамика сплошных сред, теория упругости, механика разрушения и накопления повреждений, численные и современные прикладные пакеты. Содержание настоящей программы диктуется современными приоритетами развития механики деформируемого твердого тела как единой науки и отражает почти тридцатилетний опыт ее преподавания сотрудниками кафедры «Физика» (ныне «Инженерная Физика») в МАТИ (ныне МАИ). Естественно, нашли свое место в программе и основные научные интересы и результаты фундаментальных и прикладных научных исследований кафедры, которые проводятся в таких областях механики деформируемого твердого тела, как теория пластичности и ползучести, механика трещин, механика разрушения„механика поврежденности.

При написании программы мы имели ввиду именно уровень подготовки соответствующий специальности 010701 Физика университета. Ясно, что специалисты подобного уровня должны сочетать свободное владение концепциями, методами и результатами собственно механики с глубоким пониманием и освоением математической подосновы всего комплекса дисциплин механики деформируемого твердого тела. На зто и нацелена программа.

1. Механика и термодинамика сплошных сред Криволинейные координаты. Локальные базисные системы. Тензоры в механике сплошных сред. Определение тензора и закон преобразования его компонент. Ковариантные и контравариантные компоненты тензора. Преобразование компонент симметричного тензора второго ранга при повороте осей координат. Метрический и фундаментальный тензоры. Кососимметричный тензор Леви-Чивита. Инварианты тензора второго ранга. Шаровая часть и девиатор тензора второго ранга. Дифференцирование тензорных полей.

Ковариантная и контравариантная производная тензорного поля. Представление основных операторов теории поля в криволинейной системе координат. Оператор Гамильтона. Символы Кристоффеля. Преобразование символов Кристоффеля при замене координат. Тензор Римана-Кристоффеля. Гипотеза сплошности. Физически и геометрически малый элемент. Два способа описания деформации сплошного тела. Координат Эйлера и координаты Лагранжа.

Переход от Эйлерова описания к Лагранжеву и обратно. Тензор деформации Альманси. Геометрический смысл компонент тензора. Тензор деформации Грина. Геометрический смысл компонент тензора деформации Грина. Вычисление компонент тензора деформации Грина. Линеаризация тензоров деформации и ее обоснование. Условия совместимости малых деформаций.

Формулировка условий совместности малых деформаций в цилиндрической и сферической системе координат. Вычисление тензора малых деформаций по заданному полю перемещений. Формулы Чезаро. Циклические постоянные и многозначные поля упругих перемещений. Распределение скоростей в элементе сплошного тела.

Тензор скорости деформации и спин-тензор. Классификация сил в механике сплошных сред: внешние и внутренние силы, массовые и поверхностные (контактные) силы. Теорема о существовании тензора напряжений. Тензоры напряжений Коши, Пиола и Кирхгофа. Законы сохранения механики сплошных сред: уравнения баланса массы, импульса, момента импульса, кинетической, потенциальной и полной энергии. Энергетически сопряженные пары тензоров напряжений и деформаций.

Термодинамические процессы и циклы. Термодинамические параметры состояния. Понятие о работе, теплоте, внутренней энергии, температуре и энтропии. Первый и второй законы термодинамики. Статистический подход. Канонический ансамбль Гиббса. Функция распределения. Вычисление внутренней энергии и энтропии усреднением по каноническому ансамблю. Термодинамические потенциалы состояния: внутренняя энергия, свободная энергия Гиббса, свободная энергия Гельмгольца, энтальпия, химический потенциал. Термодинамические потенциалы двухпараметрических сред. Статистическое определение основных термодинамических потенциалов состояния. Вариационные уравнения баланса энергии и энтропии.

Термодинамические потоки и силы. Принцип ортогональности. Производство энтропии в необратимых процессах, Общие формы определяющих уравнений механики сплошных сред, следующие из принципа термодинамической ортогональности. Постановка задач механики сплошных сред. Упрощенные постановки: установившиеся процессы, уменьшение размерности по координатам, учет симметрии, автомодельность, линеаризация, замена граничных условий. Геометрическое и механическое подобие. Критерии механического подобия. Примеры: критерий подобия при установившемся движении тела в вязкой несжимаемой жидкости (моделирование по числу Рейнольдса), движение хорошо обтекаемого тела по поверхности жидкости (моделирование по числу Фруда). 2.

Теория упругости Упругость как фундаментальное свойство твердых деформируемых тел. Упругий потенциал и энергия деформации. Линейно упругое тело Гука. Тензор упругих модулей. Упругие модули изотропного тела. Частные случаи анизотропии: трансверсально изотропное и ортотропное упругое тело. Постановка краевых задач математической теории упругости.

Три основные краевые задачи теории упругости. Существование решения, единственность и корректность. Принцип Сен-Венана. Уравнения теории упругости в перемещениях. Формулировка краевой задачи теории упругости в напряжениях. Уравнения Бельтрами-Митчелла. Общие теоремы теории упругости: теорема Клапейрона, тождество взаимности, теорема единственности. Основные энергетические функционалы линейной теории упругости. Вариационные принципы теории упругости: вариационный принцип ХеллингераВашидзу„вариационный принцип Рейснера, вариационный принцип Лагранжа, вариационный принцип Кастильяно.

Приближенные методы решения, основанные на вариационных уравнениях. Действие сосредоточенной силы в неограниченной упругой среде. Тензор Грина. Вычисление тензора Грина с помощью преобразования Фурье. Другие особые решения линейной упругости. Граничные интегральные представления напряжений и перемещений. Формулы Сомильяни.