Тема 3. Формальная модель выбора (Лекции и семинары (материалы к занятиям))

Тема 3. Формальная модель выбора.Пусть задано множество вариантов A. Будем обозначать варианты буквамиx, y, z… с индексами или без них. В содержательных задачах роль вариантов могутиграть кандидаты, абитуриенты, планы, стратегии, проекты, товары и т.д. Будемсчитать, что A – конечное множество из двух или более элементов. Пусть далееA – некоторое заданное множество непустых подмножеств X вариантов из A.Любое подмножество X ∈ A может быть предъявлено для осуществления актавыбора и называется далее предъявлением. Будем обозначать A0 – множествовсех непустых подмножеств множества A.

A0 – универсальное множество в даннойзадаче.В специально оговариваемых случаях могут вводиться ограничения на A(например: A содержит пары вариантов из A и т.п.). Акт выбора состоит ввыделении из предъявления X ∈ A по некоторому фиксированному правилуподмножества Y ⊆ X, называемого «выбор из X» или в установлении факта отказаот выбора. В последнем случае говорят, что выбор пуст (Y = ∅).Общая модель выбора:XвыборY⊆XВ результате преобразования выбора каждому X ставится в соответствиеY ⊆ X и возникает пара множеств <X, Y>.

C(⋅) = {<X, Y> | X ∈ A} – функциявыбора, т.е. Y = C(X). Способы задания функции выбора сводятся к одной из двухформ: 1) поэлементное задание: C(X) = { y ∈ X | …}, 2) целостное задание:C(X) = Y ⊆ X такое, что ….Характеристические свойства функций выбораРассмотрим ряд «естественных» требований к «разумному» выбору.Будемговорить,чтофункциявыбораC(⋅)удовлетворяетусловиюнаследования (Н), если ∀ X, X’ ∈ A выполняется условие:[ X’ ⊆ X ] ⇒ [ C(X)∩X’ ⊆ C(X’) ].Т.е., если сузить предъявление, отбросив часть вариантов, то все вариантыиз суженного множества X’, которые были выбраны из исходного множества X,также попадут в выбор из X’.Пример: товары, выбранные из большого ассортимента, естественно будутвыбраны и из содержащего их более узкого ассортимента.Заметим, что это условие не исключает того, что в выбор из X’ попадут ещекакие-то варианты, которые в выбор из X не попали.Усилим условие Н.Будем говорить, что функция выбора C(⋅) удовлетворяет условию строгогонаследования или константности (К) выбора, если ∀ X, X’ ∈ A выполняетсяусловие:[ X’ ⊆ X ] ⇒ [ еслиC(X) = ∅,тоC(X’) = ∅,аеслиC(X)∩X’ ≠ ∅,тоC(X’) = C(X)∩X’ ].Т.е.

все выбранные из X варианты и только они попадают в выбор из X’,если, конечно, они в X’ содержатся. Если выбор из X был пуст, то и выбор из X’будет пуст. И только если пересечение C(X) и X’ пусто, а C(X) непусто, то C(X’)может содержать какие-то другие варианты.Пример 1.Вы выбрали какие-то товары в каталоге, пришли в магазин и в наличииимеются какие-то из выбранных вами по каталогу товаров, то именно их вы ивыбираете в магазине. Если же ни одного из выбранных вами по каталогу товаровв наличии нет, то возможно вы выберете что-то другое. А если вам изначальноничего не понравилось в каталоге, то вы и не пойдете в этот магазин ☺.Функция выбора C(⋅) удовлетворяет условию согласия (С), если ∀ X’, X’’ ∈ Aвыполняется условие:[ X = X’∪X’’ ] ⇒ [ C(X’)∩C(X’’) ⊆ C(X) ].Т.е. все одинаковые варианты, выбираемые из X’ и X’’ по отдельности,должны выбираться и из объединения X’∪X’’.

Хотя в этот выбор могут попасть иеще какие-то другие варианты.Пример 2.В одном доме находятся два магазина. X’ – ассортимент первого магазина,X’’ – ассортимент второго магазина. Вы заходите в любой из этих магазинов, чтобыкупить пиво и закуску. В обоих магазинах есть пиво “Tuborg”, которое вам большевсего нравится. А вот закуска в их ассортиментах представлена по-разному. Изтого, что продается в первом магазине, вам больше всего нравятся сухарики“3 корочки”.

А если вы идете в первый магазин, то покупаете там кальмары“Дальпико”. Таким образом, C(X’) = { “Tuborg”, “3 корочки” }, C(X’’) = { “Tuborg”,“Дальпико” }. Теперь представим, что эти магазины объединятся в один магазин собщим ассортиментом X = X’∪X’’. В таком случае, в ваш выбор C(X), естественно,по-прежнему войдет пиво “Tuborg” = C(X’)∩C(X’’). А вот, какую закуску вы будетепокупать, неизвестно.ФункциявыбораC(⋅)удовлетворяетусловиюнезависимостиототбрасывания отвергнутых вариантов (О), если ∀ X, X’ ∈ A выполняется условие:[ C(X) ⊆ X’ ⊆ X ] ⇒ [ C(X’) = C(X) ].Т.е., сужение предъявления за счет отбрасывания некоторых или всехневыбранных вариантов не изменяет выбор.Пример: на ваш выбор в магазине никак не повлияет отсутствие в наличиитоваров, которые не понравились вам в каталоге.Уровни требований к функциям выбора:0 – никаких;1 – Н и С;2 – Н, С и О;3 – К.Будем обозначать также буквами Н, С, О и К множества функций выбора,удовлетворяющих соответствующим условиям.Теорема: условия Н, С, О независимы (т.е.

все возможные пересечениямножеств Н, С, О и их дополнений не пусты), условие К является усилениемкаждого из условий Н, С, О (т.е. К ⊂ Н∩С∩О).Если справедливо условие Н, то справедливо и следующее, более слабоеусловие: ∀ X ∈ A верно, что [ x ∈ C(X) ] ⇒ [ x ∈ C({ x, y }) ∀ y ∈ X ]. Это условиеназывается обратным условием Кондорсе (Con-).

Оно означает, что если вариантвыбирается из X, то он выбирается и из любой содержащей его пары вариантов.Если справедливо условие С, то справедливо и следующее, более слабоеусловие: ∀ X ∈ A верно, что [ ∀ y∈X x∈C({ x, y }) ] ⇒ [ x∈C(X) ]. Это условиеназывается прямым условием Кондорсе (Con+). Оно означает, что если вариантвыбирается из всех содержащих его парных предъявлений, то он выбирается из X.Функциявыбораудовлетворяетпринципу Кондорсе, если для неёодновременно выполняются условия Con- и Con+.Теорема: множества Con-∩Con+ и Н∩С совпадают..