Тема 1. Моделирование проблемной ситуации (Лекции и семинары (материалы к занятиям))

Тема 1. Моделирование проблемной ситуации.Постановка задачи принятия решенийКаждый человек в течение своей жизни постоянно сталкивается сситуациями, которые требуют от него принятия решения «как поступить».В одних случаях человек принимает решение не задумываясь – наподсознательном уровне, – если ситуация достаточно простая или частоповторяющаяся.

Тогда решение принимается на основе инстинкта, интуиции илиличного опыта.В других ситуациях решение вопроса «как поступить?» требует серьезныхразмышлений, иногда ведет к необходимости посоветоваться с другими людьми –более опытными или теми, для которых, это решение также важно.В подобные ситуации могут попадать и целые коллективы людей, когда отних требуется принятие общего решения.Теория принятия решений (ТПР) – это математическая дисциплина,призванная помогать человеку вырабатывать «разумное» решение в трудныхситуациях.Будем называть решение разумным, если человек учел при его принятиивсе существенные факторы, основные возможные последствия, получил оценкилучших экспертов, словом использовал всю имеющуюся на момент принятиярешения информацию с точки зрения своих предпочтений, своей интуиции иопыта.Процесс принятия решения включает:1)Определениепредстоящеецелей,действие.скоторымиТ.е.будетосознаниеосуществлятьсятого,чеголицо,принимающее решение (ЛПР) хочет достичь.2)Выбор наиболее предпочтимого («наилучшего», «оптимального»и т.п.) варианта действий, ведущих к достижению поставленныхцелей.3)Реализация выбранного варианта действий (решения).ТПР может быть применена для осуществления второго этапа этогопроцесса.Прежде всего, необходимо сформировать модель проблемной ситуации, т.е.сформулировать задачу принятия решения (ЗПР).

Обычно в ней выделяютследующие элементы:1)S – множество вариантов действий, ведущих в той или инойстепеникдостижениюпоставленнойцели,называемыхвариантами решения задачи, стратегиями или альтернативами.2)G – множество последствий реализации каждой из стратегий,называемых исходами.3)Λ – множество возможных значений неопределенного фактора –описание среды ЗПР, т.е. тех факторов, которые влияют наполучение того или иного исхода при реализации той или инойстратегии.

При этом каждый исход g представляется как функцияот выбранной стратегии s и значения неопределенного фактораλ: g=ψ(s,λ).4)P – описание системы предпочтений ЛПР на множестве G.Обычно для описания предпочтений используются числовые функции,называемые критериями, определенные на множестве G. Значение критерияхарактеризует степень интенсивности некоторого свойства исхода, важного сточки зрения поставленной цели.В частном случае, когда предпочтение удается описать с помощью одногокритерия K:G→E⊆R, предпочтение g’ лучше g’’ ⇔ K(g’)>K(g’’).5)ϑ–всяостальнаяинформацияопроблемнойситуации,представленная в формализованном виде. Например, это можетбыть информация о важности критериев, об отношении ЛПР криску и т.п.6)Требуемое действие на множестве S, например: выделить лучшийвариант,подмножестволучшихвариантов,ранжироватьварианты, классифицировать варианты из S и т.п.Как правило, будем рассматривать задачу выделения из S подмножествалучших вариантов.Пример 1.

Покупка цифрового фотоаппарата.ЛПР – покупатель. Каждая стратегия в этой задаче будет выглядеть так:«Купить фотоаппарат модели X». Каждый исход описывается набором свойствкупленного аппарата, степень выраженности которых можно охарактеризоватьчисленными критериями: дороговизна (сумма в рублях), удобство пользования(оценка по 10-балльной шкале), размер получаемых изображений (размерматрицыфотоаппаратавмегапикселях),zoomкомпактность (сумма измерений по длине, высотеобъектива(кратность),и толщине) и др. Системапредпочтений ЛПР, соответственно, будет описываться набором этих критериев.Неопределенным фактором в этой задаче можно считать, например, заводскойбрак при выпуске конкретного аппарата.

От ЛПР может быть получена такжеинформация о важности критериев (например, «удобство важнее цены») илиограничения на них («размер матрицы не меньше, чем 4 Mpix», «не дороже 10тыс. руб.»). В качестве человека, призванного помочь осуществить выбор, можетвыступать продавец-консультант. Его задача может сводиться к указанию наборанаиболее подходящих аппаратов или к классификации по цене/качеству.Характерной особенностью ЗПР является необходимость получения от ЛПРинформации о предпочтениях P и дополнительной информации ϑ о проблемнойситуации.Дело в том, что в теории принятия решений рассматриваются сложныеситуации, для которых характерно по крайней мере одно из условий: наличиеслучайных или неопределенных факторов, многокритериальность, необходимостьучета мнений нескольких лиц с несовпадающими интересами.Одноизважнейшихисходныхположенийсостоитвтом,чтовперечисленных случаях не существует оптимального в каком-то абсолютномсмысле решения, а можно говорить лишь о «лучших» или «оптимальных»решениях с точки зрения данного ЛПР с его системой предпочтений.В этом состоит отличие ТПР от оптимизационных постановок задач,общеупотребимыхвтеорииоптимальногоуправления,математическогопрограммирования, комбинаторной оптимизации и других областях математики.

Вэтих задачах основанием для выбора служит числовой критерий оптимальности(целевая функция), являющийся мерой качества варианта.Пример 2. Прием студентов в ВУЗ.Количество баллов, набранное абитуриентами на ЕГЭ:Иванов: математика – 88, литература – 69.Петров: математика – 63, литература – 92.Стратегия S1 – принять Иванова, стратегия S2 – принять Петрова.С точки зрения МАИ предпочтительнее стратегия S1, с точки зрениялит.института – стратегия S2.Пример 3.

Изучение дисциплины Х.Стратегии поведения при изучении:А – не посещать групповые занятия, не заниматься самостоятельно.Б – посещать, не заниматься.В – не посещать, заниматься.Г – посещать, заниматься.Исходы будут оцениваться по критериям:К1 (оценка на экзамене) со шкалой: {5,4,3,2,1} (1 – не сдал на пересдаче),К2 (затраченные усилия) со шкалой: {много,средне,мало,никаких}.При таких шкалах теоретически возможно 20 различных исходов, нонекоторые из них, например, характеризуемые векторными оценками (5,никаких)или (1,много), на практике почти не реализуются.(5,никаких)(4,никаких)AAP1P2AP5AP3AP4A(5,мало)(4,мало)Б(3,никаких)Б(2,никаких)(1,никаких)P1P2БP5БP3БP4Б(3,мало)(2,мало)(1,мало)…В результате выбора той или иной стратегии может наступить тот или инойисход с большей или меньшей вероятностью.В более простых задачах стратегии и исходы однозначно соответствуютдруг другу (пример 2).

В таких задачах можно считать, что система предпочтенийP ЛПР задана непосредственно на множестве S.Задачи, в которых система предпочтений P ЛПР задана непосредственно намножестве сравниваемых вариантов S и требуется выделить пожмножество S*лучших в некотором смысле вариантов, называются задачами выбора.Иногдаудаетсязадачупринятиярешенияпредставитькакпоследовательность задач выбора.Правила,позволяющиенаходитьS*⊆Sназываютсяпринципомоптимальности. Математически принцип оптимальности задается как отображениеχ: S*=χ(D), где D – мат.модель проблемной ситуации, включающая S,G,P,Λ,ψ,ϑ.В теории выбора вводится в рассмотрение функция выбора C: S*=C(S).Примеры:1)S*={s*}, где s* - любой (произвольный) элемент множества S –случайный выбор. Когда о сравниваемых вариантах ничего неизвестно, можно «положиться на удачу».2)Если задан единственный критерий К на множестве S, тоS*={s∈S|K(s)=K*}, где K* = max K(s) по всем s∈S – максимизациякритерия.3)Пусть варианты из S оцениваются по критериям K1,K2,…,Kn.

Всекритерии максимизируются. Можно предложить 2 простейшихпригодных принципа оптимальности:а) оптимальность по Парето: вариант s∈S включается в множествоS*, если не существует варианта t∈S, такого, что Ki(t)≥Ki(s) длявсех i=1…n и есть j: 1≤j≤n, Kj(t)>Kj(s);б) оптимальность по Слейтеру: вариант s∈S включается вмножество S*, если не существует варианта t∈S, такого, чтоKi(t)>Ki(s) для всех i=1,…,n.В реальных ситуациях принятия решения информацию о том, какой видпринципа оптимальности использовать, дает ЛПР.Классификация задач принятия решенияВ основу классификации могут быть положены различные признаки:1)В зависимости от количества равноправных ЛПР различают:а) задачи индивидуального принятия решения или выбора (ЛПР – один);б) задачи группового принятия решения или выбора (ЛПР – несколько).2)В зависимости от среды ЗПР различают ЗПР:а) в условиях определенности (неопределенные факторы отстутствуют);б) в условиях риска (имеются случайные факторы λ с известными законамираспределения вероятности Fλ(x) = P(λ<x));в)вусловияхнеопределенности(имеютсяслучайныефакторыснеизвестными законами распределения);г) в условиях противодействия (параметр λ характеризует активныедействия противника).3)В зависимости от количества критериев, используемых дляоценки исходов, различают:а) однокритериальные задачи;б) многокритериальные задачи.4)В зависимости от требований, предъявляемых к результату,различают задачи:а) выбора единственного варианта;б) выбора подмножества вариантов;в) упорядочения вариантов;г) классификации вариантов.Участники процесса принятия решенийВ процессе принятия решений люди могут играть разные роли.