tus9 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 9.АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается одномерная линейная стационарная система, описываемая передаточной функциейW (s ) bm  s m    b0a n  s n    a0M (s ).D (s )Требуется определить, является ли система асимптотически устойчивой.1 способ.КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИПри решении поставленной задачи используется следующий факт: корни характеристического многочлена D (s )  an  s n    a0 (или, что то же самое, корни характеристического уравнения an  n    a0  0 ) являются полюсами передаточной функции.В общем случае характеристический многочлен имеет n корней s1 ,  , s n .Для асимптотической устойчивости одномерной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все полюсы передаточной функции имели отрицательные действительные части: Re s i  0, i  1,  , n , т.е. располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости..

Для проверки отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения можно использовать критерий Рауса–Гурвица.Для устойчивости системы по начальным данным необходимо и достаточно,чтобы при an  0 угловые миноры  i матрицы an 1 an  3 a n an  2 0an 1an 0 0 0an  5 an  4 an  3 an  2 00000a0 a aбыли положительны:  i  0 , i  1,  , n , где 1  an 1 ,  2   n 1 n  3  и т.д. an an  2 При заполнении квадратной порядка n матрицы отсутствующие в уравнении коэффициенты an  i и ai при i  n заменяются нулями.1Пример 1. Определить, при каких значениях коэффициента усиления k система,заданная структурной схемой (рис.

1), будет устойчивой.g1T2 s  11T1 s  1ksxT1  0,005T2  0,2Рис. 1 Найдем передаточную функцию замкнутой системы:kkM (s )(T1s  1) (T2 s  1) s.W (s ) 32kD (s )()TTsTTssk12121(T1s  1) (T2 s  1) sВыделим характеристический многочлен3D( s )  TT1 T2) s 2  1 s  k1 T2 s  (a3a2a1a0и применим критерий Рауса–Гурвица:T1  T2kT1 T201T1  T2Отсюда находим, что при 0  k 0 1  T1  T2  0,0 ,k 2  (T1  T2 )  T1 T2 , k  0,T1  T2T1T2 3  k  2  0.0,205 205 система является устойчивой.0,0012 способ.

Критерий Михайлова. Этот критерий позволяет сделать вывод об устойчивости системы по годографу характеристического многочлена.Утверждение. Для устойчивости (по начальным данным) линейной стационарM (s ) bm s m  ...  b0ной системы, описываемой передаточной функцией W (s ) =,D (s )an s n  ...  a0необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена D (i)при изменении частоты  от 0 до   , охватывал начало координат на угол  n , где n  порядок характеристического многочлена.22QQBD (i)CA0QD (i)D (i)0032аPP0P002бвРис. 2АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1.

Определить порядок n знаменателя D (s ) передаточной функции W ( s ) системы.2. Построить на комплексной плоскости годограф многочлена D (i) при изменении частоты  от 0 до   .3. Вычислить величину  угла, на который годограф охватывает начало координат(точку z  0 ):   Arg D (i) .0    n . Если условие выполнено, то система устойчива2по начальным данным. Если, кроме того, порядок m числителя передаточной функции небольше порядка n ее знаменателя, то система устойчива и по входу.

Если годограф характеристического многочлена проходит через начало координат, то говорят, что системанаходится на границе устойчивости (оставаясь неустойчивой).Проверить выполнение условия  На рис. 2 приведены различные случаи применения критерия при n  3 ,P ()  Re D (i), Q ()  Im D (i) . Годограф, изображенный на рис. 2,а, соответствуетустойчивой системе, годографы, изображенные на рис. 2,б-в  неустойчивой.З а м е ч а н и е.

Существуют эквивалентные формулировки критерияМихайло-ва.1. Для устойчивости линейной стационарной системы по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена, начинаясьна положительной части действительной оси, проходил против часовой стрелки последовательно n квадрантов.3На рис.

3 приведены примеры годографов характеристических многочленов устойчивых систем.Qn2Pn4n3Рис. 32. Для устойчивости линейной стационарной системы по начальным данным необходимо и достаточно, чтобы нули действительной P () и мнимой Q () частей характеристического многочлена чередовались, а их общее число равнялось n .PABC0QCA 0BРис. 4На рис. 4 изображены графики действительной и мнимой частей характеристического многочлена, соответствующие устойчивой системе при n  3 .Пример 2. Найти все положительные значения коэффициента усиления K , прикоторых устойчива система (рис. 5).g1s2  s  21s 1Рис. 54KxW (s ) K32s  2s  3s  K  2.1. Знаменатель этой функции является многочленом 3-й степени, т.е. n  3 .2.Построимгодографэтогомногочлена,используязначения22D (i)  K  2  2  i(3   ) при некоторых характерных частотах  (рис.

6).3. Как видим, при K  4 годограф проходит через начало координат, а приK  (0; 4) годограф проходит последовательно через I , II , III квадранты, охватывая3. При K  (4; ) годограф проходит через I , IV , III квадточку z  0 на угол  2ранты, а    . Таким образом, при всех K  (0; 4) система будет устойчивой.2Im D (i)2K 62D (i)K 2KKi 1(2  )2202 4 6 8 Re D (i)12K2K 4K  16  18i i 33K 2K 4Рис. 6Воспользуемся альтернативной формулировкой критерия Михайлова. Найдем корни действительной и мнимой частей характеристического многочлена:P ()  K  2  22  0 ,Q ()   (3  2 )  0 .Из второго уравнения получаем 1  0,  2  3 (корень 3   3 не принадлежит промежутку [0, )).

Из первого уравнения следует  K 2. Условие чередо2вания корней будет выполнено, еслиK 2 3,0 или2 K  0,  2  K  4, K  0.Отсюда получаем, что при 0  K  4 система будет устойчивой.5Пример 3. Является ли устойчивой система, описываемая дифференциальнымуравнением 2 x t   x t   2 g t  ? 1. Передаточная функция системыW s  2,2s  1поэтому D  s   2 s  1 , n  1 .2.

На рис. 7,а изображен годограф D i   1  i 2 , так как Re D i   1 ,Im D i   2 .Im D (i)D (i)00013  2i3-9а  iбРис. 73,4. Очевидно, при изменении  от 0 до   угол  ловию  n при n  1 . Поэтому система устойчива.

2, что удовлетворяет ус2Пример 4. Исследовать устойчивость системы с передаточной функциейW (s ) 800,01 s 3  0,52 s 2  7s  80. 1. Знаменатель передаточной функции является многочленом третьей степени,т.е. n  3 .2. Построим годограф характеристического многочленаD (i)  D (s ) s  i    0,01 i 3  0,52 2  7 i  80 6 80  0,52 2  i (7  0,01 3 ) ,P ()Q ()вычислив действительную P () и мнимую Q () части при различных значениях частоты  (рис.

8,а) и графики действительной и мнимой частей характеристического многочлена (рис. 8,б).048121620242832P ()8071,746,75,1-53,1-128-219,5-327,7- 452,5Q ()027,450,966,771,06029,8-23,5- 103,7P,QQ80D (i)Q ()0080P048 1216 20 2428 32P ()Рис. 83. Очевидно, годограф проходит последовательно через I, II, III квадранты, охва3. Одновременно корни действительной и мнимой частывая точку z  0 на угол  2тей характеристического многочлена чередуются, а их общее число равно трем.4. Согласно критерию Михайлова система является устойчивой.3.

Критерий НайквистаМихайлова. Рассматривается система управления (см.рис. 9), замкнутая отрицательной единичной обратной связью. Передаточная функция разомкнутой системы имеет видM (s ) bm s m  ...  b0W (s ) ,D (s )an s n  ...  a0причема) многочлены M (s ) и D (s ) не имеют общих корней;б) порядок m числителя не больше порядка n знаменателя;7в) передаточная функция имеет  полюсов (с учетом их кратности), лежащих вправой полуплоскости, и H полюсов, лежащих на мнимой оси. В этом случае (при  H  0 ) разомкнутая система неустойчива.Требуется исследовать устойчивость замкнутой системы по годографу частотнойхарактеристики W (i) разомкнутой системы.gW(s)xРис.

9Утверждение. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики W (i) разомкнутой системы при изменении частоты  от 0 до   охватывал точку z  1  i 0 на угол (2  H ) :2 Arg (1  W (i))  (2  H ) .20   АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти передаточную функцию W (s ) разомкнутой системы. Определить количество корней знаменателя передаточной функции W (s ) , лежащих в правой полуплоскости (  ) и на мнимой оси ( H ).2. Построить на комплексной плоскости годограф функции W (i) при изменениичастоты  от 0 до   .3. Подсчитать величину  угла, на который построенный годограф охватываетточку z  1  i 0 .

Для этого нужно построить вектор с началом в критической точке1  i 0 , конец которого перемещается по годографу W (i) , и вычислить величину угла,на который поворачивается вектор при изменении частоты  от 0 до   .4. Проверить выполнение условия   (2  H ) . Если условие выполняется, то2система устойчива, в противном случае  неустойчива.З а м е ч а н и я.1. Критерий НайквистаМихайлова представляет собой необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы как по входу, так и по начальным данным.В приведенной формулировке критерий применим, если разомкнутая система строго физически реализуема, т.е. когда порядок числителя передаточной функции W ( s ) не больше порядка знаменателя.