tus3 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 3. Анализ выходных процессов многомерных линейныхдетерминированных системПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть известны:а) входной сигнал g (t ) ;б) система, описываемая уравнениями состояния и выходаx (t )  A(t ) x (t )  B (t ) g (t ) , x (t 0 )  x 0 ,y (t )  C (t ) x (t ) ;в) вектор начальных состояний x 0 .Требуется найти законы изменения вектора состояния x (t ) и векторавыходаy (t ) .АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ1. Найти переходную матрицу (одним из трех способов, рассмотренных далее).2.

Используя соотношенияtx (t )  (t , t 0 ) x 0 (t , ) B () g () d ,t0ty (t )  C (t ) x (t )  C (t ) (t , t 0 )x 0  C (t )  (t , ) B () g () d ,t0илиtx (t )  (t ) x 0   (t  ) B g () d  ,0ty (t )  C x (t )  C (t ) x 0  C(t  ) B g () d ,0в зависимости от типа системы, определить законы изменения векторов состояния и выхода.Рассмотрим различные способы нахождения переходной матрицы.Первый способ. Если фундаментальная матрица (t )  1 (t ),...

,  n (t ) , столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы дифференциальных уравнений, известна, то переходная матрица находится по формуле(t , )  (t )  1 () .З а м е ч а н и е. Общее решение однородной системы можно записать в виде1x 0 (t )  c1 1 (t )  ...  c n  n (t ) ,где c1 ,... , cn – произвольные постоянные.Для стационарных систем следует выполнить действия:1. Найти корни характеристического уравненияA  E  0 ,где E – единичная матрица.2. Выписать выражение общего решения для каждой компоненты вектора х, следуяизвестным правилам в зависимости от типа корней.

При этом коэффициенты при различных компонентах общего решения различны.3. Полученные выражения подставить в однородную систему. Во многих случаяхдостаточно подставить в первые n  1 уравнений системы, что облегчает решение задачи.4. Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в формеx 0 (t )  c1 1 (t )  ...  c n  n (t ) .В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле (t , )  (t )  1 () –переходная.Пример 1. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1  x1  2 x 2 ,x 2  4 x1  3x 2  g . 1 2 Составим матрицу системы A   .

Используем приведенный выше алго 4 3ритм.1. Корни характеристического уравнения12 0 , 2  4  5  0 дейст43вительные разные:  1  5,  2  1 .2. Запишем выражения общего решения для каждой компоненты:x1 (t )  C1 e 5t  C 2 e t ,x 2 (t )  B1 e 5t  B 2 e t .3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:5C1 e 5t  C 2 e t  C1 e 5t  C 2 e t  2B1 e 5t  2B 2 e t .4. Приравняв коэффициенты при e 5t и e t , получим24 C1  2 B1 , 2C 2  2 B2 ,илиB1  2C1 ,B2   C 2 .5.

Из пп. 2, 4 имеем t  5t  x1 (t )   C1 e 5t  C 2 e  t   C1  e   C 2  e  .  5tt   e t  2e 5t  x 2 (t )   2C1 e  C 2 e 1 (t ) 2 (t )Отсюда e 5t(t )   5t 2ee  t , e  t  1 (t ) 1  e  5t3  2e te  5t  e t и по формуле (t , )  (t )  1 () e 5t(t , )   5t 2ee  t  1  e  5 e  t  3  2e e  5  1  e 5(t  )  2e  (t  ) e   3  2e 5(t  )  2e  (t  )1  e 5  2e  3  2e 5  2e  e 5  e    () , где   t   .

2e 5  e   e 5(t  )  e  (t  ) 2e 5(t  )  e  (t  ) Пример 2. Найти переходную матрицу системы, описываемой дифференциальными уравнениямиx1  x 2 ,x 2   x1  2 x 2  g .0 1 Составим матрицу системы A   . Используем приведенный выше ал 1 2горитм.1 0 , 2  2  1  0 дей1. Корень характеристического уравнения1  2  ствительный кратный:   1 , k  2 .2. Выражения общего решения для каждой компоненты имеют видx1 (t )  (C1  C 2 t ) e t ,x 2 (t )  (B1  B 2 t ) e t .3. Подставим полученные соотношения в первое уравнение системы:C 2 e t  (C1  C 2 t ) e t  (B1  B 2 t ) e t .4.

Приравняв коэффициенты при e t и t e t , получим3C 2  C1  B1 , C 2  B2 .5. Из пп. 2, 4 имеемt t  x1 (t )  C1 e  t  C 2 t e  t  C1  e   C 2  t e   e  t  t e  t .  e t  (C  C ) e  t  C t e  t x(t) 2   2121 (t ) 2 (t )Отсюда находится фундаментальная матрица e t(t)    t et e t ,e  t  t e  t e t  t e t 1 (t)  t e t e t e t и по формуле (t , )  (t )  1 () e t(t , )    t e e  (t  )  (t  ) e  (t  )  (t  ) e  (t  )t e te  t  t e  t e    e  e  e  e    e    e  e   (t  ) e  (t  )  ( ) ,e    e   e  (t  )  (t  ) e  (t  )    e  где   t   .Второй способ.

Применение теоремы разложения Сильвестра. Переходная матрицастационарной системы определяется по формуле()  e A  ni 1n A  Ej e i  j 1  i   jij ,где  i – собственные значения матрицы А (здесь предполагается, что они различны), а Е– единичная матрица.Пример 3. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1  x1  2 x 2  g ,y  x1 + x 2x 2  2 x1 + x 2 ,с начальными условиями x1 (0)  1, x 2 (0) = 1 при входном сигнале e t , t  0 ,g (t )   0, t  0 .4 1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1   1 2   x1   1          g , x2   2 1   x2   0 x y = 1 1  1  . x2 2.

Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы А. Получим12 0,21(1  ) 2  4  0 .Отсюда  1  3,  2 = 1 . По формуле имеем()  e 3A  (1)EA  3E 2 2 1    2 2 1  e   e  e 3 3  (1)(1)  3 4 2 2 4 2  2=1  e 3  e  2  e 3  e  e 3  e   .e 3  e   3. Найдем законы изменения векторов состояния и выхода:t1  e 3t  e  t e 3t  e  t   1  1  e 3(t  )  e  (t  ) e 3(t  )  e  (t  )   1     e d  x (t )   3t2  e  e  t e 3t  e  t    1 2 0  e 3(t  )  e  (t  ) e 3(t  )  e  (t  )   0 1 3t 1  t1 3t 3  t e  ee  e  e t  4444,  t  11111333tttttt  e   e  e  e   e  e  e 2424 44x c (t )x вын (t )1 3t 1  te  e e t 44y (t )  1 1   t   1 1 1 3t 1 t 1  t e e  e  e 244111111 1= e  t - e -t   e 3t  e  t  e 3t  e t  e  t   e 3t  e t .442424 2yc (t )  0y вын (t )5Пример 4.

Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1   x 2  g1 ,y1  x 2 ,x 2  x1 + g 2 ,y 2  x1 +1x22с начальными условиями x1 (0)  1, x 2 (0) = 0 при входном сигнале 2, t  0, 1, t > 0 ,g 2 (t ) = g1 (t )   0, t  0 . 0, t  0, 1. Перепишем уравнения системы в матричной форме:ddt x1   0  1   x1   1 0   g 1           , x2  1 0   x2  0 1   g 2 0 1 y   1 0,5  x1   . x2 2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы А. Получим  1 0, 2  1  0 .1 Отсюда  1  i,  2 =  i .

По формуле (1.58) имеем()  e i A  (i )EA  iE1 i  1 1  i    i  e e i  e i  i  (i )(i )  i 2i11 i  2i 1 i e i  + e i e i   e i  cos   sin   , так как cos  == , sin  =.22i sin  cos  3. Найдем законы изменения векторов состояния и выхода:t cos t  sin t    1 cos(t  )  sin(t  )   1 0   2          d x (t )   sin t cos t   0  0  sin(t  ) cos(t  )   0 1   1   cos t   1  2 sin t  cos t   1  2 sin t  + =,  sin t   2  2 cos t  sin t   2  2 cos t x “ (t )x "/… (t ) 0 1    cos t   0 1   1  2 sin t  cos t y (t )     1 0,5   sin t   1 0,5  2  2 cos t  sin t  sin t  2  2 cos t  sin t   2  2 cos t +=15.sin t  cos t  sin t    2 sin t  cos t  22 yc (t )6yвын (t )Третий способ.

Использование теоремы Кели-Гамильтона.Рассмотрим два случая ее применения.1. В случае различных собственных значений матрицы А :()  r0E  r1 A ... rn 1 A n 1  R ( A ) ,(*)где n – число строк матрицы А; A n 1 – (n  1) -я степень матрицы А; коэффициенты r0 ,r1 ,... , rn 1 многочлена R () находятся из системы уравненийe i   R ( i )  r0  r1  i  ...

 rn 1  i n 1 ,i  1,..., n .(**)2. В случае кратных собственных значений матрицы А формула (*) также справедлива. Корню  i кратности  в системе n уравнений (**) соответствуют соотношенияd k e d kd k R ()d kk  0,1,...,   1 .,(***)  iПример 5. Найти переходную матрицу системы, если матрица Aв уравне 1 2нии состояния имеет вид `   (см.

пример 1.24). 2 1 Собственные значения матрицы А:  1  3,  2  1 различны, n  2 . Поэтомусоставим систему уравнений (**):e 3  r0  3 r1 ,Отсюда r0 1 3e  3e  4e    r0  r1 (1) .1 3e  e   . По формуле (*) имеем, r1 4()  r0 E  r1 A 1 3e  3e  41  e 3  e  2  e 3  e    100  1 3 e  e 1 4  1221 e 3  e   .e 3  e   Результат совпадает с полученным ранее.Пример 6. Найти законы изменения векторов состояния и выхода многомернойсистемы:x1  x 2  g ,y1  x1  x 2 ,x 2   x1  2 x 2 ,y 2  x1с начальными условиями x1 (0)  1, x 2 (0)  1 при входном сигнале1, t  0 ,g (t )   0, t  0 . 1.

Перепишем уравнения системы в матричной форме:7ddt1  x1   0    x2    1  2 x1    x2 1   g ,01 1   x1    ,y = 1 0   x 2 A(t )B (t )C (t )где n  2, r  1, k  2 .2. Найдем переходную матрицу. Для этого определим собственные значения матрицы А. Получим1 0, 2  2  1  0 .1  2  Отсюда 1   2 = 1 (корень действительный кратный). По формуле (***) имеемe 1  r0  r1 1 ,d (r0  r1)de,dd  1т.е.e    r0  r1 (1),e    r1.Отсюда r0  e    e   , r1  e  . По формуле (*) получаем1 1 0 0   e    ()  r0 E  r1 A  e     e   0 1  1  2 e    e  e   .  e  e   e3.

Найдем законы изменения векторов состояния и выхода: e  t  te  tx(t )  t  te 1  t    te  t    1 0te  te t e  (t  )  (t  )e (t  ) 1 (t - )e (t  )   d  (t  ) (t  ) (t  )   0 teete()()  e  t   te  t  2e  t  2   te  t  3e  t  2 ,   t   tt tt   e   1  e  te   1  2e  te x c (t )x вын (t )1 1   e  t  1 1   te  t  2e  t  2   y (t )  t  tt 1 0    e  1 0   1  e  te  e t  e t   e t  1e t  1 t   2  2e  t  te  t    2  3e  t  te  t  . e  yс (t )y вын (t )8.