tus16 (Практические занятия по теории управления)

Семинар 16.СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМНахождение оптимального программного управления. Задачи с ограничениямина управление.Пример 5. Даны модель объекта управленияx1 (t )  x 2 (t ) ,x 2 (t )   x1 (t )  u(t ) ,| u |  1,с начальными условиями x1 (0)  0 , x 2 (0)  0 и функционалI  x 2 (2)  min .Требуетсянайтиоптимальноепрограммноеуправлениеu  ()исоответствующую ему траекторию x  () . Здесьx  ( x1 , x 2 )T  R 2 , t  [0; 2] , на управление наложено ограничение| u |  1,u  U  [1; 1] ,f 0 (t , x, u )  0 ,F (t1 , x )  x 2 ,f1 (t , x, u )  x 2 ,т.е.f 2 (t , x, u )   x1  u , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  2  0 .

Решается задача Майера.1. Составляем гамильтониан H (t , , x, u )  1  x 2   2  [  x1  u ] .2. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как имеютсяограничения на управление, требуется найти условный максимум гамильтониана поуправлению. В данной задаче гамильтониан линеен по u на заданном отрезкеизменения управления [-1; 1], поэтому оптимальное управление имеет вид 1,  2 (t )  0 ,u  (t )  arg max H (t , (t ), x (t ), u ) = 1  sign  2 (t )  |u |  1 1,  2 (t )  0 .т.е.

является релейным. Величина управления определяется знаком функции  2 (t ) .3. Выписываем канонические уравнения (6) принципа максимума:x1 (t )  x 2 (t ) ,x1 (0)  0 ,x 2 (t )   x1 (t )  u  (t )   x1 (t )  sign  2 (t ) , 1 (t )   2 (t )  x 2 (0)  0 ,H (t , (t ), x (t ), u  (t ))   2 (t ) , x1H (t , (t ), x (t ), u  (t ))   1 (t ) . x24. Проверяем условия трансверсальности (5):F  H (t1 )  t1 (t)x j 1jj 12t1  2  0,1где F F (t1 , x )t1  t1F (t1 , x )x j  x 2 .

Группируя члены, получаемxjj 12 H (2) t1  1 (2) x1  [ 1   2 (2) ] x 2  0 .Момент окончания t1 задан, поэтому t1  0 . Так как правый конец свободен, товариации x1 , x 2 считаются произвольными. Чтобы равенство выполнялось длялюбых вариаций, необходимо, чтобы 1 (2)  0 ,  2 (2)  1 .5. Решаем двухточечную краевую задачу с учетом пп. 2 и 4:x1 (t )  x 2 (t ) , x1 (0)  0 ;x 2 (t )   x1 (t )  sign  2 (t ) , x 2 (0)  0 ; 1 (t )   2 (t ) , 1 (2)  0 ; 2 (t )   1 (t ) ,  2 (2)  1 .Имеем: 1 (t )   sin t ,  2 (t )   cos t , u  (t )  sign ( cos t )   sign (cos t ) . Найденноеоптимальное управление u  (t ) на отрезке [0, 2] имеет две точки переключения и,следовательно, три промежутка знакопостоянства:, u  (t )  1 , x1 (t )  cos t  1 , x 2 (t )   sin t ;232) при, u  (t )  1 , x1 (t )  cos t  2 sin t  1 , x 2 (t )   sin t  2 cos t ;t 2233) при t  2 , u  (t )  1 , x1 (t )  cos t  4 sin t  1 ,2x 2 (t )   sin t  4 cos t .1) при 0  t Минимальное значение функционала равно x 2 (2)   4 .

Пример 6. Даны модель объекта управленияx (t )  u(t ) , x (0)  1 ,где x  R ; u  R ; t  [0; t1 ] , и функционал1I 2t1u 2 (t ) dt  4 x (t1 )  min .0Задано конечное условие: x (t1 )  t1  1 .Требуется найти оптимальную тройку (t1 , x  (), u  ()) , на которой достигаетсяминимум функционала.1 Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: f 0 (t , x, u )  u 2 ,2F (t1 , x )  4 x , f (t , x, u )  u , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  x (t1 )  1  0 .

Решается задача Больца.1. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )    u 1 2u .22.Находим максимум гамильтониана по управлению:2H (t, (t ), x(t ), u)  (t )  u  0 .u2 u2Отсюдаu  (t )  (t )иH (t, (t ), x(t ), u)  1  0 .3. Выписываем уравнения системы (6) с учетом результата п. 2:x (t )  u  (t )  (t ) , (t )  x (0)  1 ,H (t , (t ), x (t ), u  (t ))  0 .x4. Проверяемусловиятрансверсальности(5)сучетомусловия1 (t1 , x (t1 ))  t1  x (t1 )  1  0 . Имеем F  4 x , 1 (t1 , x (t1 ))  t1  x  0 и,следовательно, 4 x  H (t1 ) t1  (t1 ) x  0 , t1  x (t1 )  1  0 , t1  x  0 , где11H (t1 )  H (t1 , (t1 ), x (t1 ), u  (t1 ))  (t1 )  (t1 )   2 (t1 )   2 (t1 ) .

Для любых x2211имеем 4   2 (t1 ) + (t1 ) x  0 , а отсюда 4   2 (t1 ) + (t1 )  0 .225. Решаем краевую задачу:x (t )  (t ) , (t )  0 ,4x (0)  1 ,1 2 (t1 ) + (t1 )  0 , t1  x (t1 )  1  0 .2Получаем: u  (t )  (t )  C  const , x (t )  C t  1 . Для определения постояннойпри t  t1 решаем систему уравнений:14  C 2 C  0,2Ct1  C t1  2  0 .22или C  4 , t1   . Второе решение не подходит, так как t133должно быть положительно. Таким образом, искомая тройка имеет вид:2оптимальный момент окончания t1  , оптимальное управление u  (t )   2 ,3оптимальная траектория x (t )  2 t  1 .

Отсюда C  2 , t1 Пример 7. Даны модель объекта управленияx (t )  u(t ), x (0)  3 2,где x  R ; u  R ; t  [0; t1 ] , и функционал1I 2t10u 2 (t ) dt 11(t1  1) 2  x 2 (t1 )  min .223Требуется найти оптимальную тройку t1 , x  (), u  () , на которой достигаетсяминимум функционала.1 Сравнивая с общей постановкой задачи, имеем: f 0 (t , x, u )  u 2 ,211F (t1 , x )  (t1  1) 2  x 2 , f (t , x, u )  u . Решается задача Больца.2211. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )    u  u 2 .22. Находим максимум гамильтониана по управлению. Так как ограничения науправление отсутствуют, можно применить необходимые условия безусловногоH (t , (t ), x (t ), u )  (t )  u  0 .

Отсюда u  (t )  (t ) .Найденноеэкстремумаuуправление обеспечивает максимум функции H (t , (t ), x (t ), u ) по управлению, таккакудовлетворяютсядостаточныеусловияэкстремума2H (t , (t ), x (t ), u )  1  0 . u23. Выписываем уравнения системы (6):x (t )  u  (t )  (t ) , x (0)  3 2, (t )  H (t , (t ), x (t ), u(t ))  0 .x4.

Проверяем условия трансверсальности (5). Имеем F  (t1  1)  t1  x  x и,следовательно, (t1  1)t1  x (t1 )x  H (t1 )t1  (t1 )x  0 или (t1 )  x (t1 )   x   t1  1  H (t1 )   t1  0 .Так как x (t1 ) и t1 не заданы, то x и t1 произвольны. Поэтому из условиятрансверсальности следует (t1 )   x (t1 ), t1  1  H (t1 )  0.5. Решаем краевую задачу:x (t )  (t ), (t )  0,x (0) = 3 2 ,(t1 )   x (t1 ),t1  1  H (t1 )  0.Отсюда (t )  const  C1 , x (t )  C1 t  C 2 , x (0)  C 2  3 2 .Тогда(t1 )  C1   x (t1 )   C1 t1  3 2 ,t1  1   2 (t1 ) 1 2 (t1 )  0 или2Из первого уравнения C1 1t1  1  C12  0.293 2.

Поэтому t1  1  0 или1  t1(1  t1 ) 2t13  t12  t1  10  0,(t1  2)(t1 2  3t1  5)  0.4Полученное уравнение имеет один действительный корень t1  2. ОтсюдаC1   2 и в результате получаем искомую тройкуt1  2,x  (t )   2 t  3 2,u  (t )   2 . Пример 8. Найти оптимальное по быстродействию управление,соответствующие ему траекторию и время, затрачиваемое на переход из состоянияx1 (0)  0 , x 2 (0)   4 в начало координат для модели объекта управления,описываемой системой дифференциальных уравненийx1 (t ) = x 2 (t ) ,x 2 (t ) = u(t ) ,где x  ( x1 , x 2 )T , | u |  1 . Сформулируем проблему в форме задачи минимизации функционалаTI  dt  min ,0где момент окончания процесса управления T не задан и подлежит определению. Вданном примере f1 (t , x, u)  x 2 , f 2 (t , x, u )  u и f 0 (t , x, u )  1 , F (t1 , x )  0 , t1  T ,1 (T , x (T ))  x1 (T )  0 , 2 (T , x (T ))  x 2 (T )  0 .

Решается задача Лагранжа.Требуется найти оптимальное программное управление u  () , соответствующуюему траекторию x  () и время T.1. Составляем гамильтониан: H (t , , x, u )  1  x 2   2  u  1 .2. Находим условный максимум гамильтониана по управлению (аналогично п.2.примера 5):u  (t )  arg max H (t , (t ), x (t ), u )  1  sign  2 (t ) .|u |  13. Выписываем канонические уравнения (6) принципа максимума:x1 (t ) = x 2 (t ) ,x1 (0)  0 ,x1 (T )  0 ,x 2 (t )  u * (t )  sign  2 (t ) , x 2 (0)   4 , x 2 (T )  0 , 1 (t )   2 (t )   H (t , (t ), x (t ), u  (t )) 0, x1 H (t , (t ), x (t ), u  (t ))  1 (t ) . x24.

Проверяем условия трансверсальности (5):5[F  H (t1 )  t1 2  j (t1 )  x j ]j 1t1 T= 0,где F  0 . Так как момент окончания T не задан, а x1 (T ) и x 2 (T ) заданы, товариация t1 произвольна, а x1  0 , x 2  0 . Поэтому из условия трансверсальностиследует H (T )  H (T , (T ), x (T ), u(T ))  0 .5. Решаем двухточечную краевую задачу с учетом пп.

2 и 4:x1 (t )  x 2 (t ) ,x1 (0)  0 ,x1 (T )  0 ,x 2 (t )  sign  2 (t ) , x 2 (0)   4 , x 2 (T )  0 , 1 (t )  0 , 2 (t )   1 (t ) ,H (T , (T ), x (T ), u(T ))  0 .Решая два уравнения для вспомогательных переменных, получаем1 (t )  C1  const , 2 (t )   C1 t  C 2 ,u  (t )  1  sign ( C1 t  C 2 ) .Так как линейная функция меняет знак не более одного раза, то оптимальноеуправление является кусочно-постоянной функцией, имеющей не более двухинтервалов знакопостоянства.